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发现问题和提出问题有什么不同？
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中国传统的数学教育重视的是"双基"，即基础知识和基本技能，要求是基础知识扎实，基本技能熟练；与此对应，培养的是两个能力：分析问题的能力和解决问题的能力。毋庸置疑，重视"双基"的教育对我国基础教育的贡献是巨大的。
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重视"双基"的教育与传统的"以知识为本"的教育理念是一脉相承的，但随着社会的发展，教育理念也在不断地更新。现代社会的基本理念不是"以物为本"而是"以人为本"，这种新的理念落实在教育上就是：以学生发展为本[^20]。这种新的教育理念强调培养学生的基本素质，强调培养学生的社会责任感、创新精神和实践能力。为了与这种教育理念相对应，在修改《义务教育数学课程标准》的课程总体目标时，在传统的"双基"的基础上又增加了两基：基本思想和基本活动经验，这样课程目标就由"双基"变成了"四基"，与此同时，在原有两个能力的基础上又增加了两个能力：发现问题的能力和提出问题的能力。现在的问题是，在数学教学的过程中，发现问题与提出问题有什么不同吗？
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发现问题的前提是勤于思考、敢于质疑，因此与培养学生的创新意识关系密切；提出问题则要求能用数学的语言阐明问题，因此与培养学生的创新能力关系密切。进一步，提出问题可以分为两个层次：一个层次是用语言表述，一个层次是用符号表达。可以看到，无论是发现问题的能力培养、还是提出问题的能力培养都是我国现行教育的薄弱环节，这个环节的缺失对培养创新性人才的影响是重大的，因此，加强这样的教育应当是我国未来基础教育改革的重点。
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下面，我们举例说明发现问题和提出问题的区别，在说明的过程中探讨在数学教学中应当如何培养这两种能力。
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代数的例子。我们讨论《义务教育数学课程标准》中所给出的两个例子，这两个例子是前后照应的。我们把这两个例子分别抄录如下：
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例28 利用计算器计算15 × 15，25 × 25，......，95 × 95，并探索规律。
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例50 利用公式证明例28所发现的运算规律。
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可以看到，例28强调的是发现问题。虽然例50说的是证明问题，但没有明确说出问题是什么，因此这个例子在本质上强调的是提出问题。并且通过下面的讨论将可以看到，对于许多问题，如果能够明确地提出问题，就意味已经有了解决问题的思路。
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因为在两个例子中乘数和被乘数是一样的，因此无论是发现问题还是提出问题，都必然是探讨乘数与乘积之间的关系。我们曾经反复说过，归纳推理是发现问题（发现规律）的有效途径，而操作过程最好是一步一步依次递进。这样，我们就可以依次给出乘数与乘积之间的关系：
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15 × 15 = 225，25 × 25 = 625，35 × 35 = 1225，......。
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通过对结果的分析，学生可以感悟到其中是存在规律的，因此教学的重点是引导学生如何用语言表述出其中的规律。很明显，上面计算得到的乘积是一个三位数或者四位数，其中个位数和十位数都是25，而百位数和千位数存在这样的规律：1
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× 2 = 2，2 × 3 = 6，3 × 4 =
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12，......。这样，学生通过一些具体数值的依次计算，能够发现其中存在的规律，并且能够用语言来表达这个规律，这就是发现问题的过程。
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那么，在发现问题的基础上，应当如何提出问题呢？我们前面谈到，提出问题可以分两个层次。通过下面的讨论可以看到，在教学过程中可以跳过第一个层次，即语言表述的层次，而直接进入第二个层次，即符号表达的层次。但是，在思维过程中，第一个层次是不可逾越的。
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语言表述直接来源于发现问题。在发现问题的基础上，需要进一步引导学生表述出一个结论性的东西，这个结论性的东西就是人们通常所说的数学命题。比如，可以表述出这样的结论：个位数是5的两位数的平方是一个三位数或者四位数，其中后两位是25、百位或者千位是乘数的十位数与这个数加1的乘积。可以看到，语言层次的表述往往是很困难的，因此在教学过程中不能要求学生用语言表达的非常准确，甚至可以越过这个环节。但是，在人的思维过程中，这样思考的环节是不可缺少的，因为思考必然要经历一个从混沌到清晰的过程。事实上，只有利用符号才能摆脱用语言表达的困境，使得结论的表述清晰明了，这也体现了符号表达的重要性。
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符号表达是数学表述的重要形式。对于上面讨论的问题，如果用a表示乘数的十位数，这个两位数就可以一般表示为a
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×10 + 5。那么，就可以把语言表述的结论用符号表示为
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(a ×10 + 5) ^2^ = a × (a + 1) × 100 + 25。 （9）
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这样，就用符号表达了一个公式，现在的问题是：这个公式是否正确。这就是一个提出问题的过程，可以看到，用符号表达可以使问题非常清楚。因为这是一个通过归纳推理提出问题的过程，因此所得到的结论不一定是正确的，结论正确与否还需要通过演绎推理进行验证。但无论如何，得到结论的过程是非常重要的，这是培养创新能力的核心。特别是，对于大部分数学问题，一旦用符号表达了结论，那么就有了证明结论的方向，比如，对于上面的问题，我们很容易验证这个结论是正确的。
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在上面公式的基础上，还可以把结论进一步扩充，而扩充的过程往往不需要经过具体数值计算的尝试，只需要进行形式化的扩充。比如，把上面的问题扩充到不是平方、而是十位数差1的情况，通过（9）式可以形式化地考虑这样的问题：
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(a ×10 + 5) \[ (a + 1) ×10 + 5)\] = ?
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当然，还可以把结论扩充到三位数的情况，等等。
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几何的例子。几何的问题看起来简单，但要叙述清楚却很困难，这主要是因为很难用符号对问题给予直接表达，因此在符号表达的过程中往往要借助代数的工具。考虑下面的问题：
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直线上的任何一个点都能把直线分为两个部分。
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在教师的引导下，通过画图等实际操作，学生能够发现上面所说的问题，甚至能够用语言表述这个问题：点的右边为一部分，点的左边为一部分。可是，应当如何用数学符号提出问题呢？
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符号表达的第一步是表示出直线上的点。为了表示直线上的点，就必须建立数轴、即在直线上定义方向、原点和单位：确定数轴的方向是为了表示数的大小关系；确定数轴的原点是为了用点到原点的距离来表示数；确定单位是为了度量距离。这样，借助数轴就把直线上的点与数一一对应起来了。
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然后由特殊到一般的原则，先考虑具体的数值计算，即把直线上的某一个点转化为数，比如2。因为已经把直线上的点与数一一对应起来了，因此可以有两种形式把直线分为两部分："小于2的数"为一部分，"大于等于2的数"为一部分；或者，"小于等于2的数"为一部分和"大于2的数"为一部分。因为对于其他具体的点都可以这样处理，因此可以用字母a来代替2、或者其他具体的数值，一般性地表示这个问题。更为一般地，可以用集合（参见问题13）表示划分后的两个部分：
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A = { x；x ≦ a} 和 B = { x；x ﹥ a}；
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或者
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B = { x；x ﹤ a} 和 B = { x；x ≧ a}。
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通过上面的表示和论证过程可以看到，在许多情况下，用代数的方法处理几何问题，可以使表达更加清晰，逻辑更有条理；反过来，用几何的方法来分析代数问题，可以提供分析问题的直观，有利于厘清解决问题的思路。上面的问题可以进一步扩充：一条直线可以把平面分为两个部分；一个平面可以把空间分为两个部分；等等。
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进一步，还可以考虑更加复杂一些的问题，比如下面的问题：
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如果多边形的周长给定，什么形状的多边形面积最大。
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这个问题对小学生似乎是困难的，但只要学习了面积的计算方法，通过具体的数值计算，还是能够猜想出结果的。特别是，通过对这样问题的探索，能够让小学生感悟"对称"对于数学、以至于对于自然界的重要性，让小学生感悟数学的美。因为探索需要较多的计算和想象，因此，这样的内容可以安排在小学高年级"综合与实践"的课程中。
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探索的过程还是遵照循序渐进的原则，即从简单的情况开始思考。首先探索三角形的情况，通过计算容易知道，三角形的三个边长之和一定时，三角形的形状不同面积的大小是不一样的，这是一个发现问题的过程。进一步，可以用语言提出问题：
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周长一定时，是不是存在一个最大面积的三角形？这个三角形的形状是什么样的？
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要回答这个问题，就要进入深入探索规律的过程。还是从最简单的情况入手：从直角三角形开始计算。通过计算可以推测：在三个边长之和给定的情况下，两个直角边长的比是2:1时面积最大[^21]；因为两个这样的三角形可以合并为一个等边三角形，因此可以想象：对于周长给定的三角形，等边三角形时面积最大。因为等边三角形是一种"对称"，可以让学生感悟到，这种不偏不倚的情况能够使三角形的面积达到最大。
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然后探索四边形的情况，还是从最简单的情况入手：从矩形开始计算。通过具体数值计算能够推测：周长给定的矩形中，正方形的面积最大。很容易把这个结论推广到一般的四边形。
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进而猜想五边形时正五边形面积最大，\...\...，一般多边形时正多边形的面积最大。遵循这个思路在想下去，可以猜想：对于任意图形，圆的面积最大。圆是最对称最和谐的。
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可以看到，这就是一个完满的提出问题的过程。虽然对于小学生来说，证明这些结论是困难的，但也可以给学生们留下一些进一步学习的悬念，感悟到发现问题和提出问题的魅力。
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要鼓励学生自己得到一般性结论，并且用数学的语言、数学的符号来表达一般性的结论，哪怕是很简单的问题。让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程，是帮助学生积累思维经验和实践经验的有效方法，这应当是未来数学教育改革的重点。
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第三部分 图形与几何
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空间是一个关于物体存在形式的基础概念，人们从物体的存在形式中抽象出关于图形以及图形关系的概念，构成数学的研究对象，人们还构建空间的度量方法来研究这些概念的位置关系和变化规律，而几何学就是研究如何构建空间度量方法的学科。人们根据度量方法的不同称谓不同的空间。
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在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间：点不分大小、线不分宽窄、面不分薄厚。这些抽象了的概念本身不是现实的存在，只是一种理念上的存在。
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在欧几里得几何空间中，两点间的直线距离是本质的。通过两点间的直线距离还可以定义线段的长度。所谓矩形就是两个对边长度分别相等的四边形；所谓两条直线平行是指两条直线之间的距离处处相等；所谓两个图形全等就是指这两个图形任意两个对应点之间距离相等；所谓勾股定理就是描述直角三角形三个边长之间的关系；所谓三角函数就是描述直角三角形中的锐角与边长之间的关系。
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在线段长度的基础上，人们在平面定义了面积的度量，在空间定义了体积的度量，这些度量的基础都是两点间的直线距离。
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平移、旋转、轴对称是小学数学"图形与几何"的内容中最为生动的部分，是在"图形的运动"这样的标题下给出的。运动是需要参照物的，平移和旋转的参照物都是一条射线，轴对称的参照物是一条直线。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持两点间距离不变，这样就保证了物体运动之后形状不变，称这类运动为刚体运动。
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在小学阶段，与"图形与几何"的内容关系密切的核心概念是"空间观念"和"几何直观"。空间观念是对空间中物体的位置、以及位置之间关系的感性认识；几何直观是指能够利用图形描述和分析问题，是指借助图形对事物的直接判断。 |
