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整数集合上的乘法是如何得到的？
在上一个问题谈到，在整数集合上，乘法不是加法的简便运算，那么，应当如何定义整数集合上的乘法运算呢？
整数集合上的乘法是自然数集合上乘法运算的推广，推广的工具是交换律和分配率。乘法的交换律与分配率可以表示如下：对于a
∈ Z，b ∈ Z，c ∈ Z有
交换律：a × b = b × a。
分配率：(a + b) × c = (a × c) + (b × c)。
对于乘法运算，交换律与分配率是本质的。甚至可以认为，这两个定律与乘法运算是等价的，也正因为如此，才可能把乘法运算由自然数集合N推广到整数集合Z上，具体讨论参见附录的话题19。这样，对于问题11中所提出的乘数为负数的情况，通过交换律可以得到
3 × (-2）= -2 × 3 = -6。
可以看到，对于乘法运算，1是非常重要的数（相当于0对于加法运算），通常可以把这个数理解为乘法的单位元。用1和相反数
-1可以把乘法的计算法则表示为
1 × 1 = 1
1 ×（-1）= (-1) × 1 = -1
（-1）×（-1）= 1。
其中，第一个等式来自乘法的基本性质，第二个等式可以通过交换律直接得到，第三个等式可以用下面的方法给予证明：
0 = 0 × (-1)
= \[(-1) + 1\] × (-1)
= \[(-1) × (-1)\] + \[1 × (-1)\]
= \[(-1) × (-1)\] + (-1)。
在上面最后的式子中，因为 -1的相反数为1，因此得到结论：（-1）×（-1）=
1。在上面的运算过程中，第一个等号是因为0乘以任何数为0；第二个等号是因为1与
-1互为相反数，和为0；第三个等号是因为乘法分配率；第四个等号是因为已知1 ×
(-1) = -1。
在上面的证明过程中可以看到，交换律与分配率对于乘法运算是何等重要：没有交换律就解释不了1
×（-1）= -1；没有分配率就解释不了（-1）×（-1）=
1。当然，也可以利用相反数的概念直观解释乘法： \[(-1) × 1\] 这个数是 (1
× 1) 这个数的相反数，所以从1 × 1 = 1知道 (-1) × 1 =
-1；同样的道理可以得到（-1）×（-1）=
1。但是，这样的述说至多是一种直观解释，因为我们并没有讨论"相反数"与"运算"之间的关系，更没有讨论"相反数"与"算理"之间的关系。
因此，算理是重要的：绝不可以简单地把算理理解为依附于运算方法的一种性质，而应当把算理理解为运算方法的本质，详细讨论参见附录的话题19。也正因为如此，《义务教育数学课程标准》专门设定了一个核心概念运算能力，其中特别强调：培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。