|
|
为什么说减法是加法的逆运算？
|
|
|
四则运算都是源于加法，因为从加法运算可以产生减法运算、乘法运算和除法运算。因此，如果不想无源头地、硬性地定义加法以外的其他运算，那么可以认为：四则运算都是源于加法。
|
|
|
在最初阶段，可以采用问题9中所说的对应的方法，对小学低学段的学生解释减法运算。比如，仍然用图来解释减法：在（3）的基础上，利用下面的图
|
|
|
□□□ →□ □□□
|
|
|
来解释减法：4 - 1 = 3。
|
|
|
显然，利用这样的与问题9对称的教学方法，可以让学生感悟加法和减法互为逆运算，并且让学生知道，减一个自然数比原来的数小。在这样教学的基础上，对于小学高年段的学生、以及初中阶段的学生，可以进一步通过加法的逆运算来解释减法。
|
|
|
减法是加法的逆运算。比如，可以认为4 - 1 = 3是由4 = 3 +
|
|
|
1产生的。更一般地，对于a ≧ b，可以这样产生减法：
|
|
|
a - b = x ←→ a = b + x，
|
|
|
其中双向箭头 ←→ 表示等价关系。因为a ≧ b，所以计算结果 x ∈
|
|
|
N是一个自然数。这就表明了减法是加法的逆运算。可以用语言表达减法与加法之间的逆运算关系：
|
|
|
对于数量而言，b比a"少"多少等价于a比b"多"多少；对于数而言，b比a"小"多少等价于a比b"大"多少。
|
|
|
在上面的论述中所说的"多少"表述的是一个量化的过程，这也是a大于b的理由：a
|
|
|
≧ b等价于存在一个自然数x，使得 a = b + x。
|
|
|
当a ﹤ b的时候，问题就变得复杂了，因为这时a - b
|
|
|
的差将小于0，这时的"差"将不是自然数。但在日常生活中，这样的数是有意义的，回顾问题5的讨论。
|
|
|
除了像问题5中所说的那样，用对应的方法表示负数之外，还可以通过自然数和自然数的加法给出负数的定义：对于a
|
|
|
∈ N且不为0，称满足
|
|
|
a + x = 0
|
|
|
的数x为负数，把这个数表示为 --a，并且称 -a为a的相反数。必须注意到，这时
|
|
|
--a代表的是一个数，详细讨论参见附录的话题10。一般来说，对于任意数a，称a和
|
|
|
-a互为相反数。从定义的过程中可以看到，0对加法运算是重要的，因为有了加法运算和0就可以产生负数。这也是为什么自然数要从0开始而不是从1开始的理由。
|
|
|
> 为了研究问题的方便，人们称不为0的自然数为正整数，正整数对应的相反数为负整数[^11]，把负整数、0和正整数统称为整数。这样，整数集合就可以表示为：
|
|
|
Z = {负整数，0，正整数}。
|
|
|
或者具体地表示为
|
|
|
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }。
|
|
|
这也表示了整数之间的大小关系：从0开始，正整数是一个一个大起来的；从0开始，负整数是一个一个小下去的。因此，整数的序既无开头也无结尾。
|
|
|
现在，我们已经把数的集合从自然数集合扩充到整数集合。那么，数学进一步必须做的事情是：把加法运算由自然数集合扩充到整数集合。在教学活动中，虽然不需要让小学生知道这个扩充的过程，但应当让小学生知道，加上一个正数，比原来的数大；加上一个负数，比原来的数小。
|
|
|
有了整数集合上的加法，就可以在整数集合上一般性地定义减法：对于a ∈ Z，b ∈
|
|
|
Z
|
|
|
a - b = x ←→ a = b + x，
|
|
|
其中 x ∈ Z是一个整数。容易验证，整数集合对于加法和减法运算都是封闭的。
|
|
|
上面的表达式准确地说明：减法是加法的逆运算。基于这个结果，容易验证减法与相反数之间的关系：减去一个数等价于加上这个数的相反数。可以把这个关系表示为
|
|
|
a -- b = a + (- b)，
|
|
|
详细讨论参见附录的话题9。 |
