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如何认识小数？
人们对小数的认识要比对分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示为6.75元；另一方面是为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数。如果没有无理数的小数表示，人们就就很难进行无理数的加法运算，比如，虽然人们很早就知道
√2和
√3，但无法进行这两个无理数数的加法运算。如果借助小数，就可以把这两个无理数分别数表示为：
√2 = 1.4142135 ... 和 √3 = 1.7320508 ...，
这样，于是就可以进行这两个无理数的加法运算：
√2 + √3 = 1.4142135 ... + 1.7320508 ...
= 3.1462643 ... 。
为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于重新理解十进制。人们终于发现，可以用10的幂（次方）的形式来表示十进制。因为10的正整数次幂、0次幂、以及负整数次幂可以表示为：
10^1^ = 10，10^2^ = 100， 10^3^ = 1000，...
10^0^ = 1，
10^-1^ = 1/10 = 0.1， 10^-2^ = 1/100 = 0.01， 10^-3^ = 1/1000 =
0.001，...
这样，无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合表出，比如：
238 = 2 × 10^2^ + 3 × 10^1^ + 8 × 10^0^，
6.75 = 6 × 10^0^ + 7 × 10^-1^ + 5 × 10^-2^。 （2）
人们通常称这样的表示为线性组合，称其中10的整数次幂为基底。因此，一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合，而一个小数就可以用10的负整数次幂表示。这样，就可以清晰地解释乘法运算
0.1 × 0.1 = 0.01，这是因为
0.1 × 0.1 = 10^-1^ ×10^-1^ = 1/10 × 1/10 = 1/100 = 0.01。
可以看到，这种运算的实质是对分数单位的进一步等分、得到新的分数单位，只要注意到每次进行的都是十等分。根据这个理由，为了更好地理解小数的乘法运算，教科书在教学内容的安排上，分数单位的进一步等分（参见问题6）应当安排在小数乘法运算之前。比如，在介绍分数的时候就介绍分数单位、并且介绍分数单位的进一步等分。否则就很难说明为什么0.1
× 0.1 = 0.01。
需要强调的是，上面（2）式的表示方法是具有一般性的。基底原本是几何空间的概念，在几何空间中基底是一些向量，这些向量的个数与空间的维数是一致的。这些向量的重要性在于：几何空间上的任何一个向量都可以用这些向量的线性组合表出；反之，用这些向量的线性组合表出的向量必然对应于几何空间的一个点。在代数学中借用这种表示方法，就把几何与代数有机地结合起来了，从而建立了代数学的几何直观，比如，可以用这种方法建立代数方程解空间的概念。事实上，这种表示方法已经成为现代数学的基础，几乎应用于现代数学的每一个研究领域。
后来，人们为了更好地解释实数理论，就用小数重新定义了有理数和无理数：有限小数和无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数。有理数与无理数统称实数，详见附录的话题18。