dsProject/dsRag/Txt/MATH_1_86.txt

如何认识分数？
虽然可以把分数看作是除法运算的一种表示（参见问题13），但分数本身是数而不是运算。人们通常称形如a/b的数为分数，称其中的a为分子b为分母，在一般情况下，要求分子和分母都是正整数。古希腊的学者对分数进行了深入的研究，他们最初认为现实中的所有数量关系都能写成分数的形式，也就是说，所有的数都能够用整数表示，后来发现
√2
不能写成分数的形式，于是称能写成分数形式的数为有理数，不能用整数表示的数为无理数。详细讨论参见附录的话题13。
分数的本质在于真分数，即分数的分子小于分母。这样的分数有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间的比例关系。我们称后者为整比例关系。
整体与等分关系。问题的关键是对整体的等分。比如，把一个月饼等分为5份，那么其中的一份是1/5，两份是2/5。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的1/5就是分数单位，而2/5表示的是两个分数单位：2/5
= 2 × 1/5 =1/5 + 1/5。
利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1/5 + 2/5 =
3/5；这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。
对于分母不同的分数的大小比较、以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。比如，对分了5份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的1/10，即1/5
× 1/2 = 1/10。原来单位与新单位的关系是1/5 =
2/10；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份：2/5 = 2 × 1/5 = 2 × 2/10
=
4/10。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变。这样，分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数大小的比较，进而得到一般的不同分母分数的加法运算法则：
a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad + cb)/db。
整比例关系。分数还可以表示两个事物量之间的比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。比如，在一些小学数学教科书中有这样的例题：
小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？
其中的1/3说的就是比例：1只鹅对应于3只鸭子，2只鹅对应于6只鸭子，如此类推，4只鹅就对应于4
× 3 =12只鸭子。
解释1/3的含义是一个破题的过程，可以看到，有许多问题只要破题清楚，就自然而然地得到了解题的思路。因此，在小学数学的教学过程中，许多应用问题必须重视破题这个环节。
对于上面的问题，更一般性的表达是这样的：如果用x
表示鸭子的数量，得到比例关系4 : x =
1:3。借助这个比例关系，可以通过两种运算方法得到所求结果，一种方法是上面所说的乘法，一种方法是教科书所希望的除法：鸭子数量
= 4 ÷ 1/3 = 4 × 3
=12。因此，这个例子也说明：除法是乘法的逆运算。详细讨论参见问题13和附录中的话题21。
通过上面对两种关系的分析还可以知道，分数是一种无量纲的数。也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是1/5，与整体本身的大小无关；无论是4只鹅还是4百只鹅，与鸭子的比例都是1比3，这个比例与数量的无多少关。正因为如此，现实生活中一些看来无法比较的事情用分数就可以进行比较了，这就是通常所用的百分数。比如，一个大国与一个小国的GDP（国内生产总值）是不能进行比较的，但这两个国家GDP的增长率是可以进行比较的，通常用百分数来表示这种增长率：
增长率 = \[（今年GDP -- 去年GDP）/ 去年GDP\] × 100%。