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表示自然数的关键是什么？
表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是与十进制联系起来的，因为在使用二进制时只需要两个符号。人们在日常生活中之所以采用十进制，大概与人有十个手指头有关，正如前面问题所讨论的那样，人们在规定"数"的时候考虑到了对应，而十进制就是对应于人的十个手指头。在现实生活中，与数量有关的规定还有十二进制和六十进制，这些规定大多与时间有关、与古代历法有关，参见附录的话题5。
自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的，在表示过程中0起到了重要的作用，参见附录的话题4。从小到大，十进位的数位法则是依次相差十倍。即十个"个"是"十"、十个"十"是"百"、十个"百"是"千"，十个"千"是"万"等等。在现行小学教科书中，解释如何认识一万时说：一万是由十个一千产生的。这样的解释是不合适的，事实上，是"万"这个数位是十个"千"，而不是说一万这个数是十个"千"，数与数位是不同的[^1]。在问题2中已经讨论过，数是一个一个大起来的，据此可以这样认识一万这个数：已经知道用千位表示的最大数是9999，现在又多了1，那么，应当如何称呼这个新的数是什么呢？在中国称这个数为"一万"，在西方称这个数为"十千"，但符号表示是一样的：10000。
有了十个符号与数位，读自然数的法则是：符号 + 数位。比如，下面的形式
十 个
2 3
表示的是两个"十"和三个"个"，在通常情况下读为二十三，符号表示为23。同样的道理，把两个"十"和零个"个"读为二十，符号表示为20。进一步，
千 百 十 个
3 0 0 2
表示的是三个"千"零个"百"零个"十"和两个"个"，可以直接读为：三千零百零十二，在通常情况下可以简约读为：三千零二，符号表示为3002。更为详细的讨论可以参见附录的话题4。
数位的名称。因为各民族传统文化的不同，对于数位的读法也不尽相同。比如，基于汉语的东亚语言系统的数位基础是四，即数位是[^2]
个 十 百 千；万 十万 百万 千万； 亿 十亿 百亿 千亿； 兆 ......
其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13，差为4。与此不同的是，基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三，即数位是
个 十 百；千 十千 百千；百万、十百万、百百万；十亿 ......
其中个（ones）、千（thousands）、百万（millions）、十亿（billions）所代表的数位（digit）分别是1、4、7、10，差为3。虽然数位的读法不同，但用符号表示出来的"数"是一致的。现代会计系统源于西方，因此，所有会计报表中记账数字的数位基础是三。
自然数集合。基于十个符号与数位就可以用符号表示所有的自然数，一般用N表示自然数集合：
N = { 0, 1, 2, 3, ... }。
这种表示显示了自然数的序有开头无结尾。
人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情，这个发明经历了相当漫长的抽象过程，甚至现今仍然有一些原始部落还没有抽象出完整的数字概念，那里的人们只能分辨一、二和许多[^3]，详细讨论参见附录中的话题4。因此，在小学阶段的数学教学中，不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，应当努力创设出一些情景让学生清晰地感悟到这个抽象过程，比如，在问题2中曾经强调过的利用对应的方法。