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"平均数的意义是什么"相关教学设计\
前 言
自从1998年担任东北师范大学校长以后， ， ， ， ， ， ， ， ？ ， ？ ， ， ， ？ ， ？
思考的结果，促使我在传统的课程目标、即基础知识和基本技能这"双基"的基础上，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，形成了"四基"的课程目标。与传统的"双基"不同，基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，不言而喻，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。我确信：数学素养的培养、特别是创新人才的培养是"悟"出来的而不是"教"出来的；数学的结果是"看"出来的而不是"证"出来的。可以想象，会"悟"会"看"的底蕴是把握数学思想，会"悟"会"看"的教育是一种经验的积累（包括思维的经验和实践的经验），需要受教育者本人的思考和实践，因此，受教育者本人参与其中的教育教学活动是至关重要的。
令人欣慰的是，"四基"的提出得到修改组的成员的一致支持，后来又得到数学家、数学教育专家、教研员、以及活跃在教学第一线教师的广泛支持。这样的支持迫使我更加深入地思考：数学基本思想是什么？为此，我给出了一个判定数学基本思想的准则，这个准则包含两条：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；二是学习过数学的人与没有学习过数学的人的思维差异。这样，就把数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个字表达：抽象、推理、模型。我计划写六本书来说明这些想法，即每一方面的内容写两本书。在东北师范大学出版社的敦促下，已经写完五本并陆续出版了。
恰逢中国的基础教育要实现从"能上学"到"上好学"的转变，这个转变的核心是：实现教育公平，提高教学质量；实现这个转变的基础是：全员提高教师的教育教学水平。于是在我国，由政府主导的大规模的中小学教师培训开始了，培训内容从教育理念到教学方法是全方位的。在这个培训中，修改了的课程标准的解读与实施就自然而然地成为了重要内容。在培训的过程中，我收到了许多问题：有来自培训者的、也有直接来自学员的；有教育理念的、也有教学内容的。在回答问题的过程中，我深切地感悟到基础教育阶段的数学教育应当有所变化，而变化的依据就是"四基"。
比如小学数学。小学阶段所涉及到的数学内容几乎都是常识性的，只要记住一些法则就会计算；此外，小学生的抽象能力、特别是演绎推理能力尚未养成，不应当、也不可能过多地讲授数学道理。或许就是因为这些原因，在我国长期以来就形成了基于"双基"的数学教学，不仅影响到了小学、并且影响到了整个基础教育。这种教学的目标是：基础知识（主要是概念和法则的记忆）扎实，基本技能（主要是计算和证明的能力）熟练；适于这种教学目标的主要教学形式是：通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧；对应于这种教学目标的考试是：概念的记忆与理解，计算的准确与速度。显然，对于这样的考试而言，上面所说的教学形式是合适的，效果也是明显的。简而言之，就短期行为而言，上面所说的教学方法是简便有效的。但是，这样的教学形式不利于培养学生的数学素养，不利于让学生感悟数学的思想，不利于帮助学生积累思维的和实践的经验，更不利于培养学生的创新意识和创新思维。因此，这样的教学形式将无法实现基于"四基"的课程目标。
基于"四基"的课程目标对中小学数学教师提出了更高的要求，除了传统的"双基"之外，还要求教师：能够把握教学内容的数学实质、并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；引发学生思考问题、并且帮助学生建立起良好的独立思考习惯；引导学生能够正确地思维与实践、并且帮助学生积累思维的和实践的经验。在同样的条件下，一个人的事业成功与否，并不仅仅取决于知识掌握的多少，还取决于这个人的思维方法。毋庸置疑，为了实现新的教学目标就必须改变传统的教育理念和教学方法。
这本书的写作目的就是讲述小学数学内容的实质，探讨能够实现"四基"课程目标的、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。为了讲述得更加直接， ， ， ， ， ， ， ， ，
为了启发教师把"问题"所涉及的内容落实于具体的教学活动， ， ， ， ， ，
因为小学数学所涉及的内容，无论是基本概念（比如自然数、负数、有理数、点线面角等）还是基本法则（比如四则运算、交换律、分配率、全等、距离等）都是最基础的、因而是最本质的，要把这些本质的东西讲述清楚往往是非常困难的，因此我想，这本书的内容对于中学数学教师、甚至对大学生和大学教师都是有参考价值的。
我没有小学数学的教学经验，也没有系统地研究过课程论和教学方法，因此，这本书的内容述说可能并不完全符合实际，特别是关于如何实施教学的那些内容。但是我相信，数学教育工作者、活跃在教学第一线的教研员和广大的教师有着无限的创造力，只要理解了这本书所述说的内容和理念，就一定能够创造出生动活勃、行之有效的教学方案和教学方法。
第一部分 数的认识
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在于十个符号和数位。
为了减法运算的需要，人们把自然数集合扩充到整数集合；为了除法运算的需要，人们把整数集合扩充到有理数集合。减法运算和除法运算都是逆运算，因此，逆运算是数集合扩充的原因，详细讨论参见第二部分：数的运算。
虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是比例关系。最初人们用分数定义有理数，后来又用有限小数和无限循环小数定义有理数，这两个定义是等价的。
