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长度单位的确定
关于几何学、或者说关于空间的研究，庞加莱曾经说过[^111]："如果没有测量空间的工具，我们便不能构造空间。"因此，几何学所研究的空间本身是人为设定的，设定的基础就是度量，度量的基础就是两点间距离，两点间距离是由长度单位决定的。
几乎所有古老民族，对空间的界定都远不如对时间的界定那样重视。人们最初度量距离的参照物都是人体的外在器官，因为这样的度量是便捷的、也是形象的，甚至现今的人们在日常生活的言谈中仍然广泛使用这样的度量：比如"拃"，即大拇指与中指之间的距离；比如"庹"，即两臂张开之间的距离；比如"步"，即人正常行走的步幅。正如《孔子家语》中所说："布手知尺，布指知寸"。事实上，现在人们常说的"拃"就是古代中国的"尺"，是成年男人拇指到中指伸展后的距离；还有一个距离单位为"咫"，是成年女子拇指到中指伸展后的距离。人们常说的成语"咫尺之间"意味的是男人的度量和女人的度量，这两种度量之间的差距是不会很大的。
虽然这样的度量是便捷的，但这样的度量是因人而异的，因此是不确切的，于是人们在这种度量的基础上规定了"尺"的大小。商代的一尺约合现在的17厘米，一丈十尺就是现在的1.70米左右，相当于成年男子的平均身高，据说"丈夫"一词就是由此而来。秦始皇嬴政（前259-前210）统一中国之后，首先做的一件事情就是统一了全中国的度量衡，其中明确规定了"尺"的大小，当时规定的一尺约合现在的23.1厘米。据《[史记](http://baike.baidu.com/view/10088.htm)》中的记载，西楚霸王项羽（前232---前202）身高八尺有余，更有《[汉书](http://baike.baidu.com/view/18673.htm)·项籍传》中记载项羽："长八尺二寸，力扛鼎，才气过人。"由此可以推算，项羽身高约合现在的1.89米，真是高大魁梧。
现在，全世界统一使用的长度单位米（meter）源于法国。1790年，法国科学家特别委员会提出建议，定义"米"为巴黎子午线全长的四千万分之一。为了使用方便，1889年第一届国际计量大会决定，把长度单位"米"固化，用一根相当于这个长度的、截面呈X型的铂铱合金棒为"米"的基准，人们称之为"米原器"，这是第一次在全世界范围内确定的长度标准，这个"米原器"现在保存在巴黎国际计量局的地下室中。但是，凡是固化了的东西就必然会因为时间、或者其他种种原因而有所改变，这不利于精确地刻画距离。于是，当人们已经能够很精确地测定时间和光速以后，1983年国际计量大会通过了下述定义：米的长度为光在真空中1/299792458秒所经过的距离。回忆我们曾经讨论过的路程模型：距离
= 速度 ×
时间，那么，在对距离"米"的规定中：速度为光速，时间为1秒。因此，正如我们在话题23中所说的那样，距离是由速度和时间定义的，人们称这样定义的距离单位为"光秒"。显然在光秒中，前者为速度、后者为时间。
虽然这个定义非常精确，但在日常生活中人们还是喜欢使用传统的度量名称或标准，比如在中国，就把传统的"尺"定义为"米"的1/3，把传统的"里"定义为"千米"的1/2，并且称"千米"为公里。在英联邦国家和美国，还是习惯用传统的、源于罗马千步（mille
passus）的英里（mile）。英里与米的换算非常复杂：1英里 = 5280 英尺
=1609.344 米。其中的英尺的英文为
foot，是脚的意思，即用成年男子一只脚的长度作距离的单位。由于脚的长度因人而异，16世纪的德国人采用了一个折中的方法，在一个礼拜日，把从教堂里走出来的16个成年男子集中在一起，测量每人左脚的长度、加在一起除以16，定义这个平均脚长为foot，使用至今。
在现今社会，有两个长度单位具有非常特殊的意义：一个长度单位是"纳米"，为了度量小；一个长度单位是"光年"，为了度量大。
纳米是一个非常小的长度单位。纳米只有一米的十亿分之一，大约有四个原子的大小。纳米的国际公用名称为nanometer，缩写为nm，其中字头nano来源于希腊语，是侏儒的意思。这个度量单位之所以重要，是因为材料科学发展的需要：一门在上个世纪九十年代发展起来的新兴技术就是纳米技术。科学家们在研究物质的构成时，发现在1-100纳米的尺度下隔离出来的几个、几十个原子或分子，可以显著地表现出许多新的特性，这个发现使得人类第一次能够按照自己的意识直接操纵单个原子或者分子，并且通过各种组合的方法制造出具有特定功能的产品。这种在纳米级单位制造具有特定功能产品的技术，就被称为纳米技术。
光年是一个非常大的长度单位。光年这个长度单位是指光以每秒30万公里的速度行走1年所通过过的距离。我们知道，光1秒钟能够围绕地球转
7.5
圈，因此，光年这样的距离在地球上是不可想象的。但脱离了地球，表示距离就需要用到光年了。地球处于太阳系，其中恒星太阳拥有太阳系质量的99.87%，凭借着这样的质量，太阳吸引着八颗大行星和二百多颗小行星围绕它旋转，地球是其中的一颗大行星，距离太阳大约为1亿5千万公里。太阳系又是银河系中众多星系中的一个，太阳系距离银河系中心28000光年，而银河系的直径大约为10万光年。银河系外还有众多的河外星系，距离银河系最近的是仙女座星系，距离银河系大约220万光年，仙女座星系的直径是16万光年，比银河系还要大许多。至今为止，人们已经发现了10万多个河外星系。