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几何基本概念的进一步抽象
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人们普遍认可，希尔伯特是上个世纪最伟大的数学家之一。在1900年巴黎召开的世界数学家大会上，希尔伯特做了题为《数学问题》的重要讲演，在讲演中针对未来数学发展提出了的23个问题，现在这些问题的大多数得到了解决，问题的解决过程极大地促进了二十世纪数学的发展。
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与高斯一样，希尔伯特也是哥廷根大学的教授，但比高斯整整晚100年，在这里我们能体会到哥廷根大学学术传统之深远。希尔伯特于1899年出版了他的著作《几何基础》，后来又有多次修改，最后一版是1930年的第七版，而这部著作的初稿就是纪念高斯的讲座笔记。关于几何学的研究对象，希尔伯特认为最初的定义应当是形式化的，我们在话题8中曾经引用过他的解释：
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欧几里得的关于点、线、面的定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的。
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这样，希尔伯特就形成了他的形式化公理体系的基本理念。虽然希尔伯特扬弃了欧几里得的借助物理属性的论述方法，但与欧几里得的《原理》一样，希尔伯特《几何基础》开宗明义也是定义，只是这些定义完全是符号化的：
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定义 设想有三组不同的对象：第一组对象叫做点，用A，B，C，...
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表示；第二组对象叫做直线，用a，b，c，...
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表示；第三组对象叫做平面，用α，β，γ，...
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表示。点也叫做直线几何的元素；点和直线叫做平面几何的元素；点、直线和平面叫做空间几何的元素或空间元素。
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为什么最初的定义必须符号化呢？这是因为，凡是具体的定义就一定会出现悖论，也就是说，如果研究对象的定义不摆脱物理属性，就一定会出现悖论。比如，欧几里得几何关于点的定义是具有物理属性的：点是没有部分的那种东西。那么，依据这个定义就无法解释：两条直线相交必然交于一点，因为无法理解两条直线相交于没有部分的东西。为了避免出现这种意义不明的命题，最好的方法就是将研究对象符号化。事实上，只有符号化才能实现最高度的抽象，并且，只有通过对于符号的计算或者推理，才可能真正地消除经验的直觉，才可能得到更为一般的结论。
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如果实现了符号化，那么，几何学的研究对象就是一堆字母了。对于字母如何研究呢？这就要研究那些被定义了的字母之间的关系。在处理了几何学的研究对象之后，希尔伯特就通过公理的形式给出了描述对象之间的关系术语。事实上，要明晰地定义这些术语也是非常困难的。我们引用希尔伯特公理体系中的一部分，从中感悟希尔伯特是如何构建术语来表示研究对象之间关系的[^108]：
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第一组公理：关联公理。
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（1）对于两点A和B，恒有一直线a，它同A和B这两点的每一点相关联。
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（2）对于两点A和B，至多有一直线，它同A和B这两点的每一点相关联。
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（3）一直线上至少有两点，至少有第三点不在同一直线上。
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（4）对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，恒有一平面α，它同A，B和C这三点的每一点相关联。
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（5）对于不在同一直线上的任意三点A，B和C，至多有一平面，它同A，B和C这三点的每一点相关联。
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（6）若直线a上的两点A和B在一平面α上，则a的每一点都在平面α上。
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（7）若两平面α和β有一公共点A，则它们至少还有一公共点B。
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（8）至少有第四点不在同一平面上。
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第二组公理：顺序公理
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（1）若点B在点A和点C之间，则A，B和C是同一直线上的不同点，这时，B也在C和A之间。
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（2）对于两点A和C，直线AC上至少有一点B，使得C在A和B之间。
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（3）一直线上任意三点中，至多有一点在其他两点之间。
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（4）设A，B和C是不在同一直线上的三点：设a是平面ABC的一直线，但不通过A，B和C这三点中的任一点，若直线a通过线段AB的一点，则它必定也通过线段AC的一点，或者线段BC的一点。
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除了上面的两组公理之外，希尔伯特公理体系中还有三组公理：第三组公理（合同公理）的核心是规定了研究对象之间的相等关系，包含了欧几里得几何中所说的全等[^109]。第四组公理（平行公理）的核心是规定了平行线的唯一性。第五组公理（连续公理）的核心是引进了无穷集合的概念。
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这样，经过十九世纪末、二十世纪初包括希尔伯特在内的一批杰出数学家的努力，通过研究对象的符号化、证明方法的形式化、论证逻辑的公理化，现代数学的根基就逐渐建立起来了。但我们也应当看到，这种扬弃现实背景的数学也使数学失去了外在的动力，关于这一点，美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼（John
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von Neumann, 1903-1957）有过清晰地论述[^110]：
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数学思想来源于经验。...
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换句话说，在距离经验本源很远很远的地方，或者在多次"抽象的"近亲繁殖之后，一门数学学科就有退化的危险。
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也正因为如此，现代数学家们更加努力地在现实世界中寻找发展数学的源泉。这也提醒数学教育工作者、特别是义务教育阶段的数学教育工作者，应当采取科学合理的教学方法让学生感悟数学的现实性，从而让学生感悟数学的思想，帮助学生积累数学思维的经验。 |
