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欧几里得《几何原本》
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欧几里得的《几何原本》对于几何学、乃至数学的贡献，几乎怎么评价都不过分，直到十九世纪末叶，欧几里得几乎与几何学还是同义词。
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欧几里得的书更准确地应当称为《原本》[^100]，因为原书的题名为希腊文
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Στοιχεία，这是希腊文"定理"一词 Στοιχείου
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的复数形式，因此原书直接的意思是"诸定理"[^101]，这本书的拉丁文译本为Elementa，现代西方普遍沿用拉丁文译名，比如英文翻译为
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Elements，就是"原本"的意思。
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人们关于欧几里得的生平所知甚少，普罗克洛斯的著作《几何学发展概要》中记载，他是托勒密一世（Soter
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Ptolemy,
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前367-前283）时代的人，现在普遍认为欧几里得大约生于公元前325年，死于公元前265年[^102]。欧几里得早年在雅典学习，后受托勒密一世的邀请来到了亚历山大图书馆。因为欧几里得的活跃时代比亚里士多德大约晚50年左右，他的思想方法应当是受到了亚里士多德学说的影响。据说，欧几里得《原理》的初稿是他在亚历山大城图书馆教书时使用的教材[^103]。
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最初的《原理》包括十三卷，每卷的结构基本是一样的，由定义和命题两部分组成，只是在第一卷给出定义的同时还给出了公理和公设。欧几里得已经把握住数学研究的根本：通过定义给出概念，得到了数学研究的对象；建立公理和公设，构建了数学研究的前提；利用演绎推理验证命题，规范了数学的论证过程。可以看到，欧几里得的《原本》构建了数学公理化体系的雏形，为未来数学、乃至自然科学的发展提供了范例。
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欧几里得《原理》的开篇就给出了23个定义[^104]，这些定义描述了平面几何研究的基本对象，依次为：点、线、面、角、多边形、三角形、平行线。事实上，通过长期的日常生活和生产实践，人们已经创建了这些术语并且能够用这些术语进行交流，说明人们已经清楚这些术语的含义。但是，要明确给出这些术语的定义却是一件非常困难的事情，这不仅需要把握术语含义的本质，还必须进行高度的抽象概括。现在我们来分析欧几里得给出的定义，关于点、线、面是这样（其中序号是原序号）：
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1\. 点是没有部分的。2. 线只有长度没有宽度。5.
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面只有长度和宽度。
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进一步，他又定义了直线和平面：
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4\. 直线是它上面的点一样的平放着的线。7.
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平面是它上面的线一样的平放着的面。
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关于角、平角、直角和垂直是这样定义的:
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8\. 平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。
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9\. 当包含角的两条直线是一条直线时，这个角叫做平角。
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10\.
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当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称其中一条直线垂直于另一条直线。
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还有一个定义是必须提到的，这就是第23个定义也就是最后一个定义，是于关平行线的：
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23\.
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平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。
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欧几里得的定义是幼稚的，这至少表现在两个方面：首先，定义中使用了没有定义的术语，比如长度和宽度；其次，定义中使用了"没有部分的"、"只有长度没有宽度"、"一样的平放着"等令人费解的描述。我们称这样的定义为具有物理属性的定义。
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虽然欧几里得的定义是幼稚的，可是，即便是在两千多年以后的、科学技术已经如此发达的今天，我们能够给出比欧几里得的更好的、具有物理属性的定义吗？或许可以这样认为，数学知识的最后确立通常需要两步抽象：第一步抽象是为了创造新的方法，就像欧几里得所作的这样，这样的抽象往往带有物理属性；第二步抽象是为了更好地解释这些方法，就像下一个话题将要讨论的希尔伯特所作的那样，第二步抽象就是要尽量摆脱物理属性。
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欧几里得更重要的工作是给出了公理和公设，正如亚里士多德所希望的那样。在《原理》中，欧几里得给出了五个公理和五个公设。五个公理是：
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1\. 等于同量的量彼此相等。
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2\. 等量加等量，其和相等。
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3\. 等量减等量，其差相等。
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4\. 彼此能重合的物体是全等的。
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5\. 整体大于部分。
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这五个公理是超出数学的，符合人们生活的经验和思维的常理，这五个公理的表述简洁高雅，体现了数学的美。但是，其中第四条中存在一个隐患，这就是使用了意义不明的"重合"这样的术语，要实现图形的重合就必然要涉及图形的运动，但欧几里得的整个几何体系中都没有涉及到图形的运动。在下一个话题可以看到，希尔伯特修改了这个公理。欧几里得《原理》中的五个公设是：
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1\. 由任意一点到任意一点可以作直线。
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2\. 一条有限直线可以继续延长。
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3\. 以任意点为心及任意的距离可以画圆。
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4\. 凡直角都相等。
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5\.
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同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两个直角，则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
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这五个公设都是关于图形以及图形关系的假设，这些假设也是基于人们的直观经验。或许是因为所涉及的问题过于具体，这五个公设的描述远远没有五个公理那样优雅。
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前三个公设是关于作图的。欧几里得对于几何作图情有独钟，《原理》中的第一个命题就是关于作图的：对于给定线段，可以做边长等于这个线段的等边三角形。很可能欧几里得希望通过作图来说明几何图形的存在性，后来，这三个公设就成为"尺轨作图"的依据[^105]。
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第四个公设是不必要的，因为从定义9可以确认周角为两个平角，如果用360度来刻画周角的，那么由定义10可以知道所有的直角都是90度，因此根据公理1所有的直角相等。
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第五个公设的叙述最为繁杂，从这个繁杂的叙述中可以体会到欧几里得给出这个公设时的犹豫不决。欧几里得没有从正面回答平行线的问题，既没有给出平行线存在的公设、更没有给出平行线唯一存在的公设[^106]，比如，没有直接给出下面这样的公设：
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同平面内一条直线和另外两条直线相交，若一侧的两个内角和等于两个直角，这两条直线平行。若两个内角和小于两个直角，这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
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我们仔细分析《原理》的定义、公理和公设就会发现，欧几里得是非常谨慎的，他希望在有限的空间来研究几何学的问题，比如，在教室这么大的范围、或者在课桌这么大的范围。因此，我们在进行平面几何的教学过程中，一定要尊重欧几里得的初衷，不要把平面几何的概念和定理应用于很大的空间[^107]。因为想像是需要凭借经验的，在欧几里得的那个时代，人们能够经验、能够感知的空间是相当有限的，比如，对于永远延长下去的直线是无法想像的，对于两条不相交的直线更是无法想象的。事实上，当时的人们已经知道地球是圆的，那么，能在地球表面上能划出一条永远延长下去的、欧几里得所定义的直线吗？进一步，能够确立两条永远延长下去并且永远平行下去的直线吗？
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无论如何，欧几里得所创造的几何学使得数学向科学迈出了强有力的一步，从欧几里得开始，作为科学的数学就开始扬帆起航了。 |
