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数学证明的思维过程
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在话题8中，我们讨论了现代数学的三个特征：研究对象的符号化、论证逻辑的公理化、证明过程的形式化。在上面的几个话题中，我们进一步讨论了一些数学命题的证明。在这个话题，我们将讨论数学命题是什么、数学证明是什么；讨论数学命题是如何证明的、证明的道理是什么。如果能够理解这些道理，对提高数学教师的数学素养，对数学教师更好地把握数学教学都是很有必要的。
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首先应当清楚的是，数学的目的不是论证研究对象的存在性，即不是论证数是什么、数是如何存在的；也不是论证点、线、面、角是什么、这些东西是如何存在的。数学的目的是论证这些研究对象之间的关系，可以回顾话题8中引用的希尔伯特关于这个问题的述说。因此，除去定义以外，数学命题论述的都是研究对象之间的关系。
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数学命题。在一般意义上，命题是一个能够进行肯定或者否定判断的语句。因此，数学命题也是这样的一个语句。数学命题的核心，就是表示研究对象之间的关系，即把关系概念应用于对象概念。数学命题主要有两种叙述形式。一种命题的形式可以表示为：
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数是可以比较大小的。 （A4）
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称这种形式的命题为正命题。另一种命题的形式可以表示为：
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不是所有的乘法都满足交换律。 （A5）
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称这种形式的命题为否命题。我们称"正"或者"否"是命题本身的属性。
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数学证明的目的、或者说数学证明的功能，就是对数学命题进行"肯定"或者"否定"的判断。显然，数学命题只存在四种可能结果：正正、正否、否正、否否，前面的"正"或者"否"表示判断的结果，后面的"正"或者"否"表示命题本身的属性[^65]。
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直接判断。所谓的直接判断，就是明确地对命题给出"肯定"或者"否定"的判断。这种判断是针对命题本身的，而不是针对命题的内容。比如，如果肯定命题（A4），那么就是肯定命题的主张，认为数是可以比较大小的[^66]；再比如，如果否定命题（A5），那么就是否定命题的主张，而认为所有的乘法都满足交换律[^67]。因此，这种判断是一种直接的行为，判断的正确与否依赖于对命题、以及对命题所涉及概念的理解。
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比如关于代数命题，要判断"11是一个素数"这个命题是否正确，就取决于对素数的理解：如果真正理解了素数的概念，就应当直接验证11是否能被所有小于11的素数整除，即验证是否能被2、3、5、7整除。因为11不能被这些数整除，因此这个命题是正确的。
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比如关于几何命题，如果真正理解了"三角形内角和为180度"这个概念，那么就应当能够对下面的命题："一个三角形有两个钝角"、"四边形内角和为360度"、"三角形外角和为360度"这样的命题的正确与否做出直接判断。
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可以看到，小学数学的大部分问题的证明都是基于直接判断，因此在教学过程中，应当注意上面提到的两件事情，一件事情是对命题本身的说明，这便是所谓的"破题"，参见问题6中所提到的例子；另一件事情是加强学生对概念的理解，而不能满足于学生对概念的知道。
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数学推理。所谓推理是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。回顾话题9中关于"减去一个正数等于加上这个正数的相反数"这个命题的论证，就至少经历了下面三个判断过程：
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1\. 令x = a + b。在这个等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2得到
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x + (-b) = a。
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2\. 在上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2得到：
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x = a -- (-b)。
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3\. 利用x为中介体，即利用 x = a + b 且x = a --
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(-b)，根据命题1就得到了命题。
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这就是数学推理的过程，即从一个命题判断到另一个命题判断，最终得到达到所要论证的结论。依据直觉，我们可以认为上面的推理过程是正确的，得到的结论是可信的。因此，数学推理是推理的一种形式，是指那些推理过程正确的推理。可是，如何才能知道推理过程是否正确呢？这就要求推理的过程符合逻辑。那么，什么样的推理过程才是符合逻辑的呢？
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逻辑推理。假设一个推理经历了若干命题判断的步骤，并且假设每一个步骤对命题的判断都是正确的。那么，如果这些命题的内涵之间具有传递性，这个推理就是有逻辑的，否则这个推理就是没有逻辑的。更通俗地说，如果有一条主线能够把命题从头到尾地串联起来，推理就是有逻辑的，否则就是没有逻辑的。
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为了说清楚什么是能够串联命题的主线，我们分析两个话语。第一个是亚里士多德曾经说过的名言：
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凡人都有死。
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苏格拉底是人。
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所以苏格拉底有死。 （A6）
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这段话是由三个命题组成的，从头至尾的判断是一种推理。因为三个命题涉及的都是"死"，因此存在一条主线，这样的推理是有逻辑的。再比如，英国数学家、逻辑学家德·摩根（A.
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De Morgan,
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1806-1871）举例说明不具有传递性推理可能会出现错误的结果[^68]：
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苹果是酸的。
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酸的是味道。
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所以苹果是味道。
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这段话也是由三个命题组成的，从头至尾的判断也是一种推理。直觉告诉我们，这样的推理是不对的，或者说，这样的推理是没有逻辑的。为什么是没有逻辑的呢？就在于没有贯穿前后的主线：第一个命题与第二个命题的联系是"酸"，第二个命题与第三个命题的联系是"味道"。
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那么，有逻辑的推理就必然是正确的吗？
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逻辑推理的两种形式。在一个推理过程中，假设每一个步骤对命题的判断都是正确的，并且假设命题的内涵之间是具有传递性的，这就构成了逻辑推理。可以想象，在本质上逻辑推理只存在两种形式：一种形式是命题内涵由大到小，称这样的逻辑推理为演绎推理；一种形式是命题内涵由小到大，称这样的逻辑推理为归纳推理。
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演绎推理。因为这是一种命题内涵由大到小的推理，因此演绎推理是一种从一般到特殊的推理。因为在大的范围内成立的事情在小的范围必然成立，因此通过演绎推理得到的结论一定是正确的。
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我们来分析（A6）的前后逻辑：第一个命题涉及到"所有"人都具有的，第二个命题涉及到"一个"人所具有的，因此，第三个命题的"结论"必然是正确的。亚里士多德依次称这三个命题为"大前提"、"小前提"和"结论"，并且称这种推理形式为"三段论"。"三段论"还有其他的表现形式，但其核心就是那一条贯穿于各个命题的主线[^69]。
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数学证明在本质上就是演绎推理，在形式上就是三段论。所以，数学证明能够使得：通过证明得到的结论与证明起点具有同样的正确性，更明确地说，只要证明的假设条件是正确的，那么通过数学证明得到的结论就是正确的。或许，这就是人们感觉"数学结论类似真理"的缘由。显然，对于数学和一切自然科学，这种形式的推理是不可或缺的，甚至社会科学和人文学科也需要这种形式的推理，因此对于学生来说，了解和掌握这种形式的推理是一种数学素养。事实上，很长一个历史时期，我国基础教育阶段所讲授的数学推理就是这种形式的。
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但是，对于培养创新性人才，仅仅靠演绎推理是不够的，因为演绎推理不能用于发现新东西，我们来说明这个问题。从形式上看，演绎推理从条件到结论的基本形式是：已知A求证B，其中A和B都是已经知道的命题，因此即便数学证明无误，这样的形式也产生不了新的东西；从逻辑上看，演绎推理是从"大命题"的结论得到"小命题"的结论，正像亚里士多德所希望的那样，"大命题"的结论是已知知道的、或者是不可证明的，因此，从逻辑上也产生不了新的东西。
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对于发现新东西而言，还需要另一种形式的逻辑推理，这就是归纳推理。
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归纳推理。这是一种命题内涵由小到大的推理，因此与演绎推理相反，归纳推理是一种从特殊到一般的推理。形象地说，人们借助归纳推理，通过经验过的东西推断那些未曾经验过的东西。比如，对应于述说（A6），归纳推理的述说形式是：
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苏格拉底是人，苏格拉底有死。
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柏拉图是人，柏拉图有死。
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亚里士多德是人，亚里士多德有死。
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...... 。
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所以，凡人都有死。
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可以看到，这样的述说形式就是从经验过的东西推断未曾经验、或者不可能经验的东西：凡人都有死。数学上所有重要的结论，包括已经证明了的重要定理和没有证明的重要猜想，其结论都是这样得到的。或许可以这样说：数学的结论是"看"出来的，而不是"证"出来的。当然，通过这样的"看"所得到的结论不一定是正确的，因此，通过归纳推理所得到的结论是或然的，得到的结论需要通过演绎推理进行验证。
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通过归纳推理可以发现新的东西。可惜的是，长期以来，我国基础教育完全忽略了这种形式的逻辑推理，因此，新修订的《义务教育数学课程标准》提出数学的"基本思想"就包含了这方面的内容，并且在关键词"推理能力"的阐述中，既强调了演绎推理、也强调了归纳推理。
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在前面的问题17、18和19
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中都举例说明了什么是归纳推理的教学，但无论如何，我国的基础教育、特别是义务教育阶段的数学教育，还缺少归纳推理的教学经验。这既是存在的问题、也是一个机会，这给广大的活跃在教学第一线的中小学教师提供了一个施展才能的舞台。
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通过归纳推理发现结论，通过演绎推理验证结论，这就是整个数学的论证过程。因此，数学的论证是有逻辑的，数学的体系是严谨的。
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我们已经看到，就数学整体而言，结论的正确性依赖于最初的出发点，比如，数学的公理和假设，就像我们在话题8中、以及这个话题中所讨论的那样。那么，逻辑推理是不是也有最初的出发点呢？我们进行逻辑推理所依赖的思维基础是什么呢？ |
