dsProject/dsRag/Txt/MATH_1_124.txt

利用反证法证明 √2是无理数
在上一个话题中谈到，因为
√2的出现促使古希腊数学家把数进行了分类：一类称为有理数，一类称为无理数。其分类的标准就是这个数是否能用整数表示，更具体地说：是否能用整数或者整数的比表示。而
√2就体现了无理数的存在性。后来，古希腊数学家给出了"√2是无理数"这个命题的证明，证明过程使用了反证法。具体证明如下。
首先提出归谬假设：√2是有理数。
如果这个假设成立，那么√2就能够表示为两个整数比的形式：√2 =
a/b，其中a和b为整数，不失一般性，可以认为两个整数a和b没有公因数。上式等号两边同时平方，整理后得到：
a^2^ = 2b^2^。
这样，a^2^
就是一个偶数。因为只有偶数的平方才能为偶数（因为任何一个奇数都可以表示为2n+1的形式，其中n为自然数，由恒等式
(2n+1)^2^ =
4n^2^+4n+1可以知道奇数的平方必为奇数，所以只有偶数的平方才能为偶数），所以a为偶数。因为a和b没有公因数，那么a为偶数则b必然为奇数。因为a为偶数，可设a
= 2c，其中c为自然数。等号两边同时平方得到a^2^ = 4c^2^，于是又有
2b^2^ = 4c^2^，
即b^2^ = 2c^2^。因此，由b^2^ 为偶数可以得到b为偶数。
根据矛盾律，b不可能又是奇数又是偶数，因此√2不能表示成两个整数比的形式，这就意味着归谬假设不成立。
根据排中律，归谬假设的反命题成立，即 √2是无理数。
显然，这个结论与古希腊学者固有的"一切与量有关的事物都可以用整数或者整数比进行度量"的理念相悖，于是，崇尚理性的古希腊学者基本放弃了对代数学的深入研究、而热衷于几何学的研究，甚至用几何学的研究结果来解释代数学的问题，后来人们称这样的研究为几何代数。事实上，用几何作图的方法可以很好地解释诸如
√2这样的无理数，但无法处理更为复杂的诸如 π 这样的无理数。