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素数的故事
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如果要研究素数，那么，第一个要研究的问题是：素数是否会有无限多个。回顾问题4中关于素数的定义：只能被1和自己整除的自然数。凭借直觉，我们很难想象这样的数会有无限多个，因为很难想象一个非常大的数"只能被1和自己整除"。因此，这个命题的正确与否是需要证明的。
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为了方便起见，证明这个命题的等价命题：不存在最大的素数。证明方法就是前面讨论过的演绎推理。据说，是欧几里得第一个给出这个命题的证明。更重要的是，在这个证明过程中使用了反证法，这很可能是人类最早使用反证法论证问题的例证。具体证明如下：
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假设存在最大的素数（通常称这样的假设为归谬假设，是所要证明命题的反命题），设这个素数为p。令p!
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表示所有小于等于p的素数的乘积，那么，p!
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就必然能被所有的素数整除。下面考虑自然数p!+1，因为p!+1除以任何素数都将余1，所以p!+1是一个素数。但p!+1大于p，这就与"p是最大的素数"这个归谬假设矛盾，所以根据矛盾律，归谬假设不成立。再根据排中律，归谬假设的反命题、即"不存在最大素数"这个命题成立，这便是所要证明的结果。
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可以看到，上面的证明过程是符合人们的思维常理的。事实上，绝大多数用反证法证明的命题都可以直接证明，但因为用反证法证明问题简洁有力，因此反证法不仅在数学证明中被普遍采纳，在其他学科、甚至在日常生活中也被广泛采纳。在话题14，我们将用反证法证明
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√2是无理数。现在要说明的是，上述证明的基本依据是矛盾律和排中律，这两个命题就是亚里士多德所说的直接前提，这两个直接前提的正确与否是不需要证明的，详细讨论参见话题16。
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即便证明了素数有无限多个，但人们仍然会感觉到：很大的素数一定会很少。如果要把这个想法抽象为数学问题，可以这样设想：1100到1200之间的素数应当比100到200之间的素数少，虽然两个数之间的间隔是一样大的。这就意味着，随着数的增大，存在素数的数的区间也应当增大。因此，可以进一步用符号来表示这个问题：是否存在随着自然数n变化的自然数的区间，使得这个区间内必定存在素数？1845年，法国数学家伯特兰（Joseph
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Bertrand，1822-1900）提出了猜想：
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令 n 为大于 1 的自然数，那么，至少存在一个素数p，使得n ﹤ p ﹤ 2n。
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1850年，俄罗斯数学家切比雪夫（Пафну́тий
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Чебышёв，1821-1894）证明了波特兰的猜想是正确的，人们称这个结果为波特兰-切比雪夫定理。至今为止，人们发现最大的素数是2^30402457^
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-- 1，这是一个位数超过900万位的数，几乎是不可想象的。
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很大程度上是因为陈景润[^57]的原因，中国的中老年人几乎都知道哥德巴赫[^58]猜想。这个猜想描述了偶数与素数之间的关系：任意一个大于2的偶数可以表示为两个素数之和，即
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偶数 = 素数 + 素数。
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比如，4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5，10 = 3 + 7，...
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等等。人们诙谐地称哥德巴赫猜想为"1加1"，即1个素数加1个素数。这个问题简单易懂，但要严格地证明这个结论、或者否定这个结论却不是一件容易的事情。人们利用电子计算机对所有小于一亿的偶数进行了验证，结果显示这个猜想是对的，但在严格证明之前，猜想依然是猜想。哥德巴赫猜想是当今数学领域最重要的猜想之一，至今为止最好的结果仍然是陈景润给出的[^59]。
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谈到对于数的认识，必然要提到古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约前572-约前497），因为他以及他所创立的学派对数的近乎宗教的崇拜，罗素在他的《西方哲学史》中说[^60]："自从他以来，而且部分由于他的缘故，数学对哲学的影响是既深刻又不幸。......
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数学是我们得以信仰永恒而严格真理的主要源泉，也是得以信仰存在一个超感而可知世界的主要源泉。"
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比如，毕达哥拉斯学派认为大于1的奇数代表男性、偶数代表女性（或许是一个巧合，这个认识与古代中国关于单数为阳、双数为阴的说法是一致的，但古代中国的阳是从1开始的[^61]）。因为5
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= 3 + 2是第一个男性数与第一个女性数之和，因此他们认为5象征男女的结合。
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毕达哥拉斯学派还认为，如果一个数所含有的因数之和正好等于这个数（因数之和等于因数之积），这个数就是一个完满数，显然第一个完满数是6，因为6含有的因数是1，2，3，而6
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= 1 + 2 + 3。后来，基督教思想家圣奥古斯丁（St.
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Augustine，354-430）基于这个想法，在《天堂》一书中说："虽然上帝能够在瞬间创造世界，但为了表现天地万物的完满，他还是用了6天。"容易验证，第二个完满数是28，因为因数1，2，4，7，14之和等于28。现在人们得到的最大的完满数是一个130000位数，回想问题3中所说的人们用语言表达的最大数位是"兆"，这是10的12次方、即一个12位数，由此可见这个完满数之大。人们用两个数的乘积来表示这个最大的完满数：2^216090^
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×（2^216091^ --
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1）。至今为止，人们得到的完满数都是偶数，于是可以提出猜想：所有的完满数都是偶数。与哥德巴赫猜想猜想一样，这个问题也是简洁易懂的，但要严格证明这个结论、或者严格否定这个结论都是相当困难的，其困难程度或许不亚于对哥德巴赫猜想的验证。
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数学中有一个分支叫做数论，主要是研究整数的性质，其中有许多问题都与素数有关。因为数论的一些结论可以直接应用于现代信息传递的密码设计，因此数论的研究依然方兴未艾。 |
