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加法运算和减法运算性质的证明
虽然话题8中的五个公理超出了数学的范畴，
命题1. 等式（不等式）关系具有传递性。
命题2. 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。
可以看到，上面这两个命题对于数学是最为基本的、是非常重要的。虽然让小学生完全理解这两个命题是困难的，但教师在教学活动中应当很好把握这两个基本命题，让小学生通过具体的实例感悟这些命题的内涵，而不是单纯地记忆命题的语言表述。事实上，从这两个命题出发，可以论证小学数学中许多常识性的、概念性的东西。
加上一个正数比原来的数大。如果用数学符号表示， ， ： ，
b ＞ ： ， ＞
0； ，
a + b ＞ ，
因此结论成立。利用类似的方法可以证明与这个结果对称命题：加上一个负数比原来的数小。下面我们来证明两个稍微复杂一些的问题，证明方法是相似的。
减去一个正数等于加上这个正数的相反数。如果这个命题成立，因为正数的相反数是一个负数，因此通过上面的结论知道：减去一个正数比原来的数小。
现在证明这个命题。用数学符号表示这个命题： ， ＞
0。回忆问题10关于"减法是加法逆运算"的定义：
a - b = x ←→ a = b + x。
根据命题2， （ ） ：
(-b) + x。根据相反数的定义可以得到：
x。于是，
减去一个负数等于加上这个负数的相反数。如果这个命题成立，因为负数的相反数是一个正数，因此通过这个命题知道：减去一个负数等于加上一个正数。这样，利用已经证明了的结论可以知道：减去一个负数比原来的数大。
现在证明这个命题。用数学符号来表示这个命题：
a + b。在这个等式分别两边加上b的相反数（ ） ，
x + (-b) = a + b + (-b)
= a。
然后，在上面等式的两边同时减去(-b)， ， ：
x + (-b) -- (-b) = a -- (-b)。
因为同样的数相减为0， ：
b， ： ，
上面加重的命题都是加减法运算中最重要的概念，记住这些命题对于学生掌握计算方法、特别是判断运算结果是非常有用的，因此，在教学过程中应当让学生知道这些命题。再一次强调的是，虽然让学生完全理解这些命题的证明过程是困难的，但在教学过程中，还是应当通过一些实际的例子、或者具体的例子让学生感悟其中的道理，而不是让学生单纯的背诵记忆。特别是，如果能够设计出好的教学方案，一定能够成为"帮助学生积累数学思维经验"的有效载体。
