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十进制的自然数
在古时候，为了表示更大的自然数，人们除了创造出一到九的符号外，还创造出表示十进制数位的符号，比如，在中国是十、百、千，在古罗马相应的是X、C、M。应当注意到的是，在这个符号系统中，十、百、千等是数位的符号，而在利用数位符号的数字系统中，数位符号是一种具体的存在，是不允许忽略的。比如，在这个数字系统中，用十二来表示12这个数，但要读为一十二、即要把一个十读出来；同样的道理，五十并不是指50，而表示的是五个十。因此可以认为，利用数位符号的数字系统是由语言符号系统向完全数字符号系统的一种过渡。同时也可以看到，利用数位符号的数字系统保留了语言符号系统的合理内核，因此在问题3中，我们强调了这样的"读数"方法。
在古代汉字系统中，表示数字符号最大的数位符号是"兆"，这是10的12次方，虽然这是一个很大的数，但终究是有限的。由此可见，利用数位符号的数字系统使用起来还有一些不方便的地方。那么，怎样构建一个完全数字符号系统呢？
可以回想我们的祖先发明的算盘，在算盘上同样多的珠在不同的位置表示的量是不同的，比如，两个珠在个位表示的是二，在十位表示的是二十。由此可以知道，借助算盘可以帮助学生建立数位的直观认识，正因为如此，在修订的《义务教育数学课程标准》恢复了对算盘的认识。但是，应当如何通过数字符号来表述这样的数位功能呢？就像算盘中的空挡一样，只需要再发明一个符号：零。
"零"是印度人发明的，用sunya表示，原意是"空"。大概因为佛教的影响，印度人认为"空"是一种存在，甚至是绝对的存在。后来阿拉伯人在公元十世纪左右把这个数字符号系统带到了欧洲，现在人们称含有0的数字符号系统为阿拉伯数。
十进制的数字系统对人类的贡献极大。马克思终生喜爱研究数学，他称赞十进制记数法是：最妙的发明之一[^35]。关于十进制的数字系统，拉普拉斯[^36]有一段非常精彩的阐述：
用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
可惜在那个时代，拉普拉斯对于中国还不十分了解，于是把这项发明完全归功于印度。许多史料表明，更早地萌发了使用十进制记数法是中国，正如吴文俊[^37]所说：
位值制的数字表示方法极其简单，因而也掩盖了它的伟大业绩。它的重要作用与重要意义，非但为一般人们所不了解，甚至众多数学专家对它的重要性也熟视无睹。而法国的数学家拉普拉斯则独具慧眼，提出算术应在一切有用的发明中列首位。中华民族是这一发明当之无愧独一无二的发明者。这一发明对人类文化贡献之巨，纵然不能与火的发明相比，至少是可与文化史上我国的四大发明相媲美的。中华民族应以出现这一发明而引以自豪。