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一、题目示例
注: 因前3问题,数学模型都可以正确做答,第4题数学模型回答错误,故此处只讨论如何解决第4个子问题。
二、解决思路
-
1、建设考点、组合考点知识库
-
2、建设解题思路库
总结解题思路,按考点、组合考点等形式收录到知识库中,比如 三角形中有中线,倍长中线是关键,8字全等立呈现,转移边角平行线。
也就是经验、文字类知识内容。
- 3、建设典型题题库
组织老师建设典型题库, 把最新、最典型的题目及答案,以图片等形式录入到知识库,以机器视觉进行整理保存,并利用LLM
抽取出相应的考点,组合考点有哪些。
比如:
-
当学生询问一道题目时
-
使用大模型抽取题目中的关键特征,有哪些考点、组合考点。注意:这里的考点、组合考点可能不是列表形式,可能是一个树状结构的数据,比如直角三角形,中点,与直角三角线斜边中点 就存在明显差异,此处有继续优化的可能。
-
到解题思路库中去查找最匹配的解题思路。
使用知识图谱的相关性搜索实现。
-
到典型题库中去查找最匹配的典型题目及相关答案、解析。
使用知识图谱的相关性搜索实现。
-
将上面获取到的信息做为提示信息提供给数学大模型,让其参考给定的路线、参考的同类题目进行作答。
-
-
大模型总结
每次在它回答问题后,都要求大模型进行自我总结:
- 本题有哪些关键考点
- 一般的思路路径是什么?
- 可能遇到哪些坑点?
三、思考进化
下面是我让大模型整理的一个思考样例,大模型在我提供了典型题和典型题答案的情况下,它开始自我总结,返回内容如下:
解题步骤及关键点分析
问题描述
在等腰直角三角形 \triangle ABC
中,\angle C = 90^\circ
,AC = BC = 4
,点 D
为 AC
的中点,点 E
为 AB
上一动点。将线段 DE
绕点 E
顺时针旋转 45^\circ
得到线段 EF
。当点 E
到 BC
的距离是点 F
到 BC
距离的 2 倍时,求 AE
的长。
关键步骤与思考过程
-
辅助线构造
- 过点
D
作DH \perp AB
,垂足为H
,则DH = AH = \sqrt{2}
(由等腰直角三角形性质)。 - 过点
F
作FK \perp EG
,垂足为K
,形成矩形FKGQ
,故FQ = GK = GE
。
- 过点
-
旋转性质与全等三角形
- 旋转后
DE = EF
,\angle DEF = 45^\circ
。 - 通过角度关系证明
\triangle DHE \cong \triangle EKF
(AAS),得到EK = DH = \sqrt{2}
。
- 旋转后
-
距离关系与比例
- 根据
EG = 2FQ
,结合矩形性质FQ = GK = GE
,得EG = 2GK
。 - 分类讨论
F
的位置(左/右):F
在BC
左侧:
EG = 2\sqrt{2}
,BG = GE = 2\sqrt{2}
,BE = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = 4
,故AE = 4\sqrt{2} - 4
。F
在BC
右侧:
EG = \frac{2\sqrt{2}}{3}
,BG = \frac{2\sqrt{2}}{3}
,BE = \frac{4}{3}
,故AE = 4\sqrt{2} - \frac{4}{3}
。
- 根据
-
勾股定理应用
- 在直角三角形中计算边长,如
BE = \sqrt{EG^2 + BG^2}
。
- 在直角三角形中计算边长,如
核心思路
- 旋转与全等:利用旋转后的线段关系和角度条件,通过全等三角形建立边长等式。
- 矩形性质:通过构造矩形将距离关系转化为边长比例,简化计算。
- 分类讨论:根据
F
的位置不同,灵活调整辅助线和计算方法。
答案
当点 E
到 BC
的距离是点 F
到 BC
距离的 2 倍时,AE
的长为:
\boxed{4\sqrt{2} - 4} \quad \text{或} \quad \boxed{4\sqrt{2} - \frac{4}{3}}