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【2025年长春市中考真题第23题】
等腰直角△ABC中，AC = BC = 4，D是AC中点，E是AB上一动点，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转45°得到线段EF。
（1）求线段AB的长；
（2）当EF ∥ AC时，求AE的长；
（3）当F点落在BC上时，求证：△AED ≅ △BFE；
（4）若点E到直线BC的距离是点F到直线BC距离的2倍时，直接写出AE的长。

解析与答案
（1）求AB的长
在等腰直角△ABC中，AC = BC = 4，由勾股定理得：
AB = √(AC² + BC²) = √(4² + 4²) = 4√2。
答案：AB = 4√2

（2）当EF ∥ AC时，求AE的长
当EF ∥ AC时，由旋转性质可知∠A = ∠ADE = ∠DEF = 45°，因此∠AED = 90°，即△AED为等腰直角三角形。
∵ D是AC中点，∴ AD = AC/2 = 2。
在等腰直角△AED中，AE = AD = 2。
答案：AE = 2

（3）当F点落在BC上时，求证：△AED ≅ △BFE
当F落在BC上时，有：
∠A + ∠AED + ∠ADE = 180°，
∠DEF + ∠AED + ∠BEF = 180°。
由旋转性质得∠DEF = 45° = ∠A = ∠B，且DE = EF。
结合∠ADE = ∠BEF（由角度关系推导），根据ASA全等条件，△AED ≅ △BFE。
（4）若点E到直线BC的距离是点F到直线BC距离的2倍，求AE的长
分两种情况讨论：
① 当F在△ABC内部时
延长EF交BC于点H，过F作FG ⊥ BC。
易证△ADE ≅ △GEF（旋转全等），得EG = AD = 2。
由题意EH = 2FG，结合几何关系可得BE = 2EG = 4。
因此，AE = AB − BE = 4√2 − 4。
② 当F在△ABC外部时
过F作FG ∥ BC交AB延长线于点G。
同理可证△ADE ≅ △GEF，得EG = AD = 2。
由题意EH = 2HF，推导得BE = 4/3。
因此，AE = AB − BE = 4√2 − 4/3。
综合答案：
AE的长为 4√2 − 4 或 4√2 − 4/3（需根据F的位置具体判断）。


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【2025年长春市中考真题第24题】
### 题目内容  
在平面直角坐标系中，\( O \) 为坐标原点，抛物线 \( y = x^2 + bx \) 经过点（3，3），点 \( A、B \) 是该抛物线上的两点，横坐标分别为 \( m、m + 1 \)；已知点 \( M（1，1） \)，作点 \( A \) 关于点 \( M \) 的对称点 \( C \)，作点 \( B \) 关于点 \( M \) 的对称点 \( D \)，构造四边形 \( ABCD \)。  

问题如下：  
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；  
（2）当 \( A、B \) 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 \( C \) 的坐标；  
（3）设抛物线在 \( A、B \) 两点之间的部分（含 \( A、B \) 两点）为图象 \( G \)，当 \( 0 < m < 1 \) 时，若图象 \( G \) 的最高点与最低点的纵坐标之差为 \( \frac{1}{2} \)，求 \( m \) 的值；  
（4）连结 \( OA、OB \)，当 \( ∠AOB = ∠OAD + ∠OBC \)（其中 \( ∠AOB、∠OAD、∠OBC \) 均是大于 0°且小于 180°的角）时，直接写出 \( m \) 的取值范围。  


### 答案与解析  


#### （1）求抛物线对应的函数表达式  
已知抛物线 \( y = x^2 + bx \) 经过点（3，3），将点（3，3）代入函数表达式：  
\[
3 = 3^2 + 3b
\]  
化简得：  
\[
3 = 9 + 3b \implies 3b = -6 \implies b = -2
\]  
因此，抛物线的函数表达式为 \( y = x^2 - 2x \)。  


#### （2）当 \( A、B \) 两点关于抛物线对称轴对称时，求点 \( C \) 的坐标  
点 \( A、B \) 的横坐标分别为 \( m、m + 1 \)，代入抛物线 \( y = x^2 - 2x \) 得：  
- 点 \( A \) 坐标为 \( \left( m, m^2 - 2m \right) \)  
- 点 \( B \) 坐标为 \( \left( m + 1, (m + 1)^2 - 2(m + 1) \right) = \left( m + 1, m^2 - 1 \right) \)  

抛物线 \( y = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \)，其对称轴为直线 \( x = 1 \)。  
因 \( A、B \) 关于对称轴对称，故两点横坐标满足对称关系：  
\[
\frac{m + (m + 1)}{2} = 1 \implies 2m + 1 = 2 \implies m = \frac{1}{2}
\]  
因此，点 \( A \) 坐标为 \( \left( \frac{1}{2}, \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \times \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4} \right) \)。  

点 \( A \)（\( \frac{1}{2}, -\frac{3}{4} \)）关于点 \( M（1，1） \) 的对称点 \( C \)，利用对称点坐标公式（若点 \( (x_0, y_0) \) 关于点 \( (a, b) \) 的对称点为 \( (x, y) \)，则 \( a = \frac{x_0 + x}{2} \)，\( b = \frac{y_0 + y}{2} \)）：  
设点 \( C \) 坐标为 \( (x, y) \)，则  
\[
\frac{\frac{1}{2} + x}{2} = 1 \implies x = \frac{3}{2}, \quad \frac{-\frac{3}{4} + y}{2} = 1 \implies y = \frac{11}{4}
\]  
因此，点 \( C \) 的坐标为 \( \left( \frac{3}{2}, \frac{11}{4} \right) \)。  


#### （3）当 \( 0 < m < 1 \) 时，图象 \( G \) 最高点与最低点的纵坐标之差为 \( \frac{1}{2} \)，求 \( m \) 的值  
图象 \( G \) 是抛物线在 \( A、B \) 两点之间的部分（含 \( A、B \)），抛物线 \( y = x^2 - 2x \) 开口向上，顶点为 \( (1, -1) \)，分两种情况讨论纵坐标之差：  

- **情况一：\( 0 < m < \frac{1}{2} \) 时**  
  最高点为 \( A \)（纵坐标 \( y_A = m^2 - 2m \)），最低点为抛物线顶点（纵坐标 \( -1 \)），则纵坐标之差为：  
  \[
  (m^2 - 2m) - (-1) = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2
  \]  
  根据题意，\( (m - 1)^2 = \frac{1}{2} \)，解得 \( m = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)。  
  因 \( 0 < m < \frac{1}{2} \)，故 \( m = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \)（舍去 \( 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \)，因大于 \( \frac{1}{2} \)）。  

- **情况二：\( \frac{1}{2} \leq m < 1 \) 时**  
  最高点为 \( B \)（纵坐标 \( y_B = m^2 - 1 \)），最低点为抛物线顶点（纵坐标 \( -1 \)），则纵坐标之差为：  
  \[
  (m^2 - 1) - (-1) = m^2
  \]  
  根据题意，\( m^2 = \frac{1}{2} \)，解得 \( m = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)。  
  因 \( \frac{1}{2} \leq m < 1 \)，故 \( m = \frac{\sqrt{2}}{2} \)（舍去负解）。  

综上，\( m \) 的值为 \( \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \) 或 \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)。  


#### （4）\( ∠AOB = ∠OAD + ∠OBC \) 时，\( m \) 的取值范围  
由于点 \( A \) 关于 \( M（1，1） \) 对称得到点 \( C \)，点 \( B \) 关于 \( M（1，1） \) 对称得到点 \( D \)，则 \( MA = MC \)，\( MB = MD \)，故四边形 \( ABCD \) 为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），因此 \( AD \parallel BC \)，且 \( ∠OAD = ∠OBC \)（内错角相等）。  

过 \( O \) 作直线 \( EF \parallel BC \)（即 \( EF \parallel AD \)），则 \( EF \parallel BC \parallel AD \)，根据平行线性质得 \( ∠AOB = ∠BOF \)，\( ∠OAD = ∠FOA \)。  

原条件 \( ∠AOB = ∠OAD + ∠OBC \) 转化为 \( ∠BOF = ∠FOA + ∠OBC \)，说明点 \( A、O、F \) 共线（即直线 \( AF \) 经过原点 \( O \)）。  

设点 \( A（m, m^2 - 2m） \)，点 \( B（m + 1, m^2 - 1） \)，利用对称点公式得点 \( C（2 - m, 2 - m^2 + 2m） \)、\( D（1 - m, 3 - m^2） \)。  

直线 \( OA \) 的解析式为 \( y = (m - 2)x \)，直线 \( OB \) 的解析式为 \( y = (m - 1)x \)。  
当直线 \( OA \) 与 \( AD \) 重合时，斜率相等，解得 \( m = \frac{5}{3} \)；当直线 \( OB \) 与 \( BC \) 重合时，斜率相等，解得 \( m = 4 \)。  

因此，\( m \) 的取值范围为 \( \frac{5}{3} < m < 4 \)。