如何解释自然数的加法运算？
在问题2中谈到，可以有两种方法认识自然数。与此对应，可以有两种方法来解释自然数的加法[^9]：一种方法是基于对应的，一种方法是基于定义的。在问题2中还谈到，因为定义的方法过于抽象，在小学阶段、特别是低年段的数学教学中，采用定义的方法认识自然数是不可取的。但不知道为什么，在现行小学数学的教科书中、以及在大多数小学的教学过程中，关于加法的解释却借助了定义的方法。很可能是教科书的编写者没有注意到这个问题，因而导致教师也没有注意到这个问题。事实上，除了定义的方法之外，还有对应的方法。下面，我们来仔细分析这个问题。
在现行教科书中，都是用图来表示加法运算。具体呈现过程是这样的，给出下面的图
□□□ ←□，
于是就得到3 + 1 =
4。可是，为什么这样得到的就是4呢？这是利用了等号"="的对称性：因为从自然数的定义知道4
= 3 + 1，所以利用对称性有3 + 1 =
4。因此，这是用定义的方法解释加法，详细讨论参见附录的话题7。
用上面的方法解释加法当然可以，但是，这样的解释方法脱离了现实背景，特别是没有述说"相等"的涵义到底是什么、进而没有涉及到"等于"的本质。因此，这样的教学方法只是让学生记住了加法的计算规则，而没有让学生感悟到数学的思想。
下面描述一下，如何利用对应的方法来解释加法。比如，同样是3 + 1 =
4的问题，可以采用这样的方法进行教学。
首先，给出下面的两组方块
□□□ □□□□ （3）
问学生：哪边的方块多？学生当然会回答：右边的方块多。因为这个时候学生已经通过对应的方法认识了十以内的自然数：称左边的方块为3个，右边的方块为4个。可以通过这个图让学生再次感悟：4个比3个多、进而4比3
大。
然后，再拿出一个方块加到右边，形成下面的图
□□□ ←□ □□□□ （4）
问学生：现在哪边的方块多？学生当然会回答：一样多。于是在这个直观的基础上，就可以向学生解释加法的算式：3 +
1 =
4。当然在具体的教学过程中，可以讲述的生动活泼一些，比如，左边的是小红的苹果数，右边的是小华的苹果数。甚至可以尝试地讲述，左边的是小红的苹果数，右边的是小华的橘子数，这样就更体现了抽象了的数。
正如前面反复强调的那样，数学研究的不是概念本身，而是研究概念之间的关系，这样的解释突出的是一种相等关系：左边
=
右边。这就揭示了符号"="的本质含义：符号两边的量相等。由此可以看到，通过这样的教学，既可以让学生感悟到"量相等"的本质（这对学生未来理解方程是非常重要的），又可以让学生感悟加法运算的本质特征：加上一个自然数比原来的数大。
显然，不能期望通过一堂课或者几堂课就让学生感悟其中的道理。但是，通过日积月累的、富有启发性的引导，就必然会让学生逐渐感悟数学的思想，最终理解其中的道理[^10]。