乘法的定义
在问题12中，通过交换律和分配率，把乘法运算由自然数集合N扩充到整数集合Z。但是，为了说明这种扩充的合理性，我们必须证明这种扩充的唯一性，也就是证明：通过这样的扩充方法得到的运算是、并且只能是已经定义了的乘法运算。下面证明这个问题。
令"·"是一种运算，这种运算满足两个性质和两个定律：对于a ∈ N，b ∈ N，c ∈
N，有
性质：0·a = 0，1·a = a；
定律：a·b = b·a，（a + b）·c = a·c + b·c。
在定律中，人们称前者为交换律，后者为分配律。
下面说明证明思路。回忆问题12中的论述，首先在自然数集合N上通过加法的简便运算得到了满足两个性质的乘法运算，然后再通过两个定律把乘法运算从自然数集合扩充到整数集合。因此，为了证明扩充的唯一性，只需要证明：在自然数集合N上，上面定义的运算"·"是加法的简便运算，即证明由性质和定律得到的算法的唯一性。
证明：对于任意a ∈ N，有
a·2 = 2·a = (1 + 1) ·a = 1·a + 1·a = a + a = 2a，
a·3 = 3·a = (1 + 2) ·a = 1·a + 2·a = a + 2a = 3a，
......
需要注意到，这里2a和3a表示的是自然数序列中的数，比如，如果a =
4，那么2a表示的就是8，3a表示的就是24。下面用数学归纳法论证一般情况。假设对于n
∈ N，
a·n = n·a = a + a + ... + a = na
成立，其中na ∈ N。那么对于n + 1，可以得到
a·(n + 1) = (n + 1)·a = n·a + 1·a = na + a = (n + 1)a，
其中运算结果 (n+1)a
是自然数集合N中的数。比较问题12中乘法运算的表达可以知道：在自然数集合N上，运算"·"是加法的简便运算。也就是说，在自然数集合N上，满足上面两个性质和两个定律的运算只能是乘法运算。这就完成了唯一性的证明。
通过上面的运算可以看到，a乘以b得到的结果就是b个a，即a × b = ba =
ab，因此在许多情况下，人们在进行乘法运算时，经常会省略乘法符号"×"，直接把a
× b 写成ab。并且，把这样的表示应用到除法：a ÷ b = a × (1/b) = a/b。
有了上面的证明，我们就可以放心大胆地在整数集合上使用乘法、以及两个性质和两个定律。由此也可以知道，方法与算理对于运算是同等重要的，正如《义务教育数学课程标准》在核心概念"运算能力"中所强调的那样。