数学归纳法的论证逻辑
数学归纳法也是数学证明中经常要用到的方法。在话题7中，我们曾经用数学归纳法论证了自然数集合上加法的合理性，事实上，还可以用类似的方法证明加法的交换律、结合律等定律。虽然在小学数学教学中，很难让学生掌握这样的证明方法，但是，应当创设一些情景，让学生感悟这种依次论证的思想方法。小学教育处于人生的启蒙阶段，学习一些数学知识固然是重要的，但是让学生感悟数学的思想，帮助学生积累思维的和实践的经验或许更重要。
为了更好地把握数学归纳法的论证逻辑，我们用数学归纳法证明数学的一个重要公式：前n项和公式。即对任何自然数n，证明算式
1 + 2 + ... + n = n (n+1)/2 （A7）
成立。证明过程是这样的：
首先，验证当n = 1时（A7）正确，即：1 = 1·(1+1)/2 = 1。
其次，假设当n = k时（A7）正确，即：1 + 2 + ... + k = k (k+1)/2。
最后，证明当n = k+1时（A7）正确。
最后步骤的证明过程如下。在假设成立的等式两边分别加上k+1，根据话题9的命题2，等式仍然成立，也就是：
1 + 2 + ...... + k + (k+1) = k (k+1)/2 + (k+1)
= (k+1) (k/2+1)
= (k+1) (k+2)/2，
可以看到，最后一个式子正是在（A7）中用n+1代替n的表达，这就完成了命题的证明。
可是，这样的证明正确吗？如果正确，其中的道理是什么呢？进一步，如果这样的证明有道理，那么这样的证明形式具有一般性吗？下面，我们回答这些问题。
首先，把证明形式抽象到一般。令N是一个自然数集，即
N = {1，2，...，n，... }。
用P表示所要论证的命题，用P(k) 表示当n =
k时的编号命题。这样，需要证明的问题就是：对任意k∈N，P(k)
成立。即证明所有的编号命题
P(1)，P(2)，..., P(k)，...
是正确的。事实上，我们无法对上面的每一个命题逐一进行验证，因为无法验证无穷的情况。因此，针对这样一类问题就要用归纳的方法，人们称这种方法为数学归纳法[^78]，证明形式如下：
首先，验证k=1时命题P(1) 成立。
其次，假定k=n时命题P(n) 成立。
最后，验证k=n+1时命题P(n+1) 成立。
我们用反证法来论证这样的证明是正确的。假设上述证明方法不正确，那么，必然存在一些自然数，使得编号命题不成立。令m是使得编号命题不成立的最小的自然数[^79]。
因为在证明形式中验证了P(1)
成立，所以m≧2，即m-1是一个不小于1的自然数，因此编号命题P(m-1)
存在。因为m是使编号命题不成立的最小自然数，那么命题P(m-1)
就必然成立。这就与证明形式矛盾了，因为我们证明了：如果P(m-1) 成立则P(m)
必然成立。这样，通过矛盾律知道最初的假设不成立，再借助排中律就论证了数学归纳法的正确性。
一般来说，数学归纳法的核心和难点都在于P(n) → P(n+1)
这个过程的验证。但是，对于最初命题P(1)
的验证也是不能忽略的。我们来分析下面的例子。
令N是一个自然数集，设命题为：对所有的n∈N，算式
(n + 1) -- n = 2
成立。这个算式显然是错误的，但我们可以尝试，如果忽略了数学归纳法的第一步将会出现什么情况。具体证明如下：
假设当n = k时算式成立，即
(k+1) - k = 2
成立。验证n = k+1时的情况。计算如下：
(k+2) - (k+1) = {(k+1) + 1} - (k+1)
= (k+1) -- k
= 2。
最后一个等式成立是因为假设前提，因此在假设前提下，上面的证明是准确无误的，所以这个奇怪的算式就成立了。可以看到，问题的原因恰恰是因为忽略了论证的第一步，因为第一步：2
-- 1 = 2不成立。因此，在用数学归纳法证明问题时，首先验证命题P(1)
是必要的。甚至在许多问题中，还应当从P(1)
具体地推导出P(2)，这不仅可以进一步核实命题的正确性，还可以在推导的过程中推测由P(k)
到P(k+1) 的论证方法。