有理数与无理数
古希腊大多数数学家都非常重视整数，比如毕达哥拉斯。毕达哥拉斯、以及他所领导的学派认为：万物皆数。他们对整数近乎宗教的崇拜，把所有的事情都与数字联系在一起，最为生动而且影响深刻的例子是，他们发现可以把音乐归结为数与数的关系：两个绷得一样紧的弦，如果一根是另一根长的二倍，就会产生和谐的声音，这两个音相差八度；如果两个弦长的比为3：2，那么会产生另一种和谐的声音，这两个音相差五度。由此可以得到一般的结论：音乐的和声在于多根弦的长度成整数比，比如，三根弦的弦长比为3：4：6。这样，他们就发明了音阶。在一本书中，生动地描述了毕达哥拉斯发现音乐和声规律的故事[^62]：
真是天赐好运，他碰巧走过一个铁匠铺，除了一片混杂的声响外，他听到了锤子敲打着铁块，发出多彩的和声在其间回响。毕达哥拉斯立即跑进铁匠铺去研究锤子的和声。......
他对锤子进行分析，认识到那些彼此间音调和谐的锤子有一种简单的数量关系：它们的质量彼此之间成简单比，或者说简分数。就是说，那些重量等于某一把锤子重量的1/2，1/3或者1/4的锤子都能产生和谐的声音。
在同样的碗里注入成比例容量的水，也能产生这样的效果。在古代中国，一个类似的定音阶的方法被称为"三分损益法"，这个方法记载在《管子》一书中，命名得到的五声音阶为[^63]：宫、商、角、徵、羽。从时间上推算，这个结论要比毕达哥拉斯至少早一百多年。
毕达哥拉斯学派确信：可以用整数或者整数的比（分数）来度量一切事物的量。因此，当他们中的一员发现边长为1的正方形的对角线长为
√2，而这个数无法用分数形式表示时，非常吃惊，于是他们就把这个人扔到了海里[^64]。为此，古希腊学者称可以用整数或者整数的比表示的数为有理数，而称其余的数为无理数，这也就是教科书中称"能够表示为整数或者分数形式的数为有理数"的原因。关于√2是无理数的证明，参见下一个话题。