公理体系定义的自然数
虽然用前面提到的对应方法可以抽象出、并且可以用符号和数位来表示自然数，但是，随着数学研究的深入，特别是在用极限理论解释微积分的过程中，人们逐渐认识到必须严格定义实数，而要严格定义实数就必须严格定义有理数，追根溯源，就需要严格定义自然数。严格定义的基础就是公理化，于是用公理化体系定义自然数是势在必行的。
在现代数学中，人们普遍采用皮亚诺算术公理体系来定义自然数，这个公理体系是意大利数学家皮亚诺（Giuseppe
Peano，1858-1932）在1889年发表的文章《用一种新方法陈述的算术原理》中提出的。皮亚诺算术公理体系的基本思路是利用"直接后继"的概念，也就是说，从1开始通过"直接后继"产生1以后的所有自然数。所谓"直接后继"就是在已经定义了的自然数后面再加上1，得到后继自然数，具体形成过程如下：
2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，...... （A1）
直到无穷多个自然数。可以看到，所谓"直接后继"的方法符合人们认识数的常理，抓住了数的本质规律：数是一个一个大起来的。
显然，如果遵循"直接后继"的方法，那么，在定义自然数的同时也自然而然地定义了自然数的加法运算，详细讨论参见下一个话题7。后来，皮亚诺又把自然数改为从0开始，这是为了说明0不是任何自然数的后继。
为了保证自然数存在的唯一性、自然数大小的比较、以及自然数加法运算的可行性，皮亚诺算术公理体系提出下面九条公理：
1.  0∈N。
2.  a∈N，则a=a。
3.  a,b∈N，a=b等价于b=a。
4.  a, b, c∈N，如果a=b, b=c，则a=c。
5.  a=b，如果b∈N，则a∈N。
6.  如果a∈N，则a+1∈N。
7.  a, b∈N，如果a=b，则a+1=b+1。
8.  a∈N，则a+1≠0。
9.  令A是一个类，1∈A。如果a∈N∩A，则必有a+1∈A，那么，N⊆A。
在上述公理体系中，第5条说的是：与自然数等价的元素都是自然数；第6条说的是：自然数的后继是自然数，这就保证了通过后继就可以得到所有的自然数。必须注意到，在这个体系中，用什么进制方法、以及用什么符号表示自然数都不是本质的，无论是人们在日常生活中使用的"十进制"，还是计算机科学所使用的"二进制"，都可以用来表示自然数。
公理体系的重要性在于，摆脱了现实背景，实现了最一般意义的抽象：任何"数系"只要满足公理体系，那么，"数系"之间就是等价的，也就是说，虽然"数系"可以各自的符号系统表示运算法则和数的性质，但这些法则和性质之间都是等价的，是可以相互变换的。这条基本原理，保证了可以用计算机的"二进制"来进行我们通常使用的"十进制"的数值计算。
公理体系中的第7条和第8条是非常重要的，这两条公理保证了自然数的后继是唯一的，进而保证了用"直接后继"产生自然数的合理性。比如，我们要说明
4 ≠ 3，
可以用反证法来证明这个结论：如果假设4 = 3，那么根据第7条公理有3 = 2、2 =
1，进而1 =
0，因为最后这个结果与第8条公理矛盾，因此假设不成立，所以根据排中律有4 ≠
3。
基于皮亚诺算术公理体系，人们就清晰地定义了自然数，进而就可以通过四则运算、主要是减法和除法这两种逆运算，把自然数扩充到整数、有理数，最后扩充到实数。而严格地定义了实数，就为极限理论的确立奠定了坚实的基础。
同时也应当看到，这样定义自然数完全排斥了现实背景，在小学阶段的数学教学中引入这样的内容是不合适的。但作为一名数学教师，知道这些的内容还是必要的，因为知道了这些内容就可以更加理性地认识自然数，从而更好地把握课堂教学。