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小学数学教学中的若干问题
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史宁中
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东北师范大学数学与统计学院
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目 录
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前言
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第一部分 数的认识
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问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？
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数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少
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问题2 如何认识自然数？
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数是对数量的抽象 / 数关系是对数量关系的抽象：大与小 / 可以有两种方法实现这种抽象：对应的方法和定义的方法
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问题3 表示自然数的关键是什么？
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十个符号和数位 / 数位法则是依次相差十倍 / 自然数集合
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问题4 如何认识自然数的性质？
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依据性质可以对自然数进行分类 / 奇数与偶数 / 素数与合数
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问题5 如何认识负数？
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负整数是与自然数数量相等意义相反的数 / 绝对值表示数量
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问题6 如何认识分数？
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分数本身是数而不是运算 / 整体与等分关系 / 整比例关系
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问题7 如何认识小数？
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对应的方法 / 重新理解十进制 / 基底与线性组合 / 表示有理数与无理数
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问题8 什么是数感？
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数与现实的联系 / 抽象的核心是舍去现实背景 / 联系的核心是回归现实背景
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第二部分 数的运算
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问题9 如何解释自然数的加法运算？
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可以有两种方法解释加法：对应的方法和定义的方法 / 如何体现数学思想
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问题10 为什么说减法是加法的逆运算？
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四则运算源于加法 / 减法是加法的逆运算 / 相反数 / 整数集合
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问题11 乘法是加法的简便运算吗？
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自然数集合上的乘法 / 乘法运算的性质 / 整数集合上的乘法不是加法的简便运算
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问题12 整数集合上的乘法是如何得到的？
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整数集合上的乘法运算是一种推广 / 为什么负负为正 / 运算与算理等价
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问题13 为什么说除法是乘法的逆运算？
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如何表示除法 / 得到的商是一个整数 / 得到的商不是整数 / 倒数 / 有理数集合
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问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？
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运算次序的两个基本法则 / 所有混合运算都是在讲述两个以上的故事
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问题15 为什么要学习估算？
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精算有利于培养抽象能力 / 估算有利于培养直观能力 / 估算问题要有合适的实际背景：合适的量纲 / 大多数的估算问题是为了得到上界或者下界
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问题16 什么是符号意识？
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用字母表示数 / 代数学的开始 / 两类符号：概念符号和关系符号 / 基于符号的运算 / 符号的表达具有一般性
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问题17 方程的本质是什么？
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用字母表示未知的量 / 讲述的是现实世界中的两个故事 / 两个故事的共同点 / 要用等式的性质解方程
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问题18 什么是模型？小学数学中有哪些模型？
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用数学的语言讲述现实世界中一类与数量有关的故事 / 总量模型 / 路程模型 / 植树模型 / 工程模型
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问题19 发现问题和提出问题有什么不同？
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从双基到四基 / 发现问题与创新意识 / 提出问题与创新能力
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第三部分 图形与几何
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问题20 为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？
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时间和空间是人类认识世界最为基本的概念 / 几何学是研究如何构建空间度量方法的学科 / 欧几里得几何是平直的 / 欧几里得几何的核心是直线距离
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问题21 如何理解点、线、面、体、角？
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看到的物体都是立体的 / 点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念 / 如何用描述的方法给出几何概念
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问题22 认识图形的教育价值是什么？
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更重要的是让学生学会分类 / 制定标准和遵循标准 / 培养学生的抽象能力
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问题23 如何理解长度、面积、体积？
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长度是一维空间图形的度量 / 面积是二维空间图形的度量 / 体积是三维空间图形的度量 / 度量的基础是直线距离
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问题24 如何理解平移、旋转、轴对称？
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图形的运动 / 保持两点间直线距离不变：刚体运动 / 运动的参照物
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问题25 如何理解空间观念和几何直观？
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空间观念的本质是空间想象力 / 直观是对事物的直接判断因此是经验层面的 / 直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动 / 几何直观不限于几何甚至不限于数学
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第四部分 统计与概率
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问题26： 为什么要强调数据分析观念？
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统计学研究的基础是数据 / 描述数据分析 / 推断数据分析 / 通过样本推断总体
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问题27： 三种统计图之间有什么共性和差异？
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直观地表述数据是三种统计图的共性 / 条形统计图表述数量的多少 / 扇形统计图表述数量的比例 / 折线统计图表述数量的变化
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问题28： 如何理解数据的随机性？
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随机性与不确定性有所区别 / 减少系统误差 / 减少人为因素 / 估计是统计推断的重要手段 / 最大似然估计 / 通过样本频率估计概率
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问题29： 平均数的意义是什么？
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样本平均数不仅是一个算式 / 误差模型 / 误差的随机性：正负抵消和为零 / 样本平均数是随机的 / 样本平均数是无偏估计
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问题30： 什么是概率？如何得到概率？
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概率是随机事件发生的属性 / 概率是未知的 / 估计概率 / 定义概率 / 定义概率是一种度量 / 古典概率模型
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附录1 若干与小学数学有关的话题
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话题1 几种古代的数字符号
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话题2 数量的本质
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话题3 数量多少的比较
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话题4 十进制的自然数
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话题5 十二进制与六十进制
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话题6 公理体系定义的自然数
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话题7 借助算术公理体系解释加法运算
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话题8 公理体系的必要性与数学证明的形式
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话题9 加法运算和减法运算性质的证明
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话题10 负数的意义
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话题11 用符号表示分类
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话题12 素数的故事
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话题13 有理数与无理数
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话题14 用反证法证明 √2是无理数
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话题15 数学证明的思维过程
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话题16 逻辑推理的思维起点
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话题17 数学归纳法的逻辑基础
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话题18 用小数定义有理数和无理数
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话题19 乘法的定义
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话题20 除法运算规定0不能为除数
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话题21 除数是分数时的除法运算
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话题22 数学中的符号表达
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话题23 路程模型：绝对时间和相对时间
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话题24 几何学的由来
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话题25 欧几里得《几何原本》
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话题26 几何基本概念的进一步抽象
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话题27 长度单位的确定
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话题28 曹冲称象与浮力
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话题29 统计学的由来
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话题30 概率的定义和基于概率模型的估计
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附录2 相关内容的教学设计
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问题2“如何认识自然数”的相关教学设计
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问题3“表示自然数的关键是什么”的相关教学设计
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问题4“如何认识自然数的性质”的相关教学设计
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问题5“如何认识负数”的相关教学设计
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问题6“如何认识分数”的相关教学设计
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问题7“如何认识小数”的相关教学设计
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问题8“什么是数感”的相关教学设计
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问题9“如何解释自然数的加法运算”的相关教学设计
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问题11“乘法是加法的简便运算吗”的相关教学设计
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问题13“为什么说除法是乘法的逆运算”相关教学设计
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问题14“为什么混合运算要先乘除后加减”的相关教学设计
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问题15“为什么要学习估算”的相关教学设计
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问题16“什么是符号意识”的相关教学设计
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问题17“方程的本质是什么”的相关教学设计
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问题18“小学数学中有哪些模型” 的相关教学设计
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问题21“如何理解点、线、面、体、角”的相关教学设计
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问题23“如何理解长度、面积、体积”的相关教学设计
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问题24“如何理解平移、旋转、轴对称”相关教学设计
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问题27“三种统计图之间有什么共性和差异”相关教学设计
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问题29“平均数的意义是什么”相关教学设计
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前 言
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自从1998年担任东北师范大学校长以后，我开始关注基础教育，但关注的是一般性的问题，并没有深入到学科内部。2005年，接受教育部的委托，担任了《义务教育数学课程标准》修改组的组长以后，才开始真正思考数学教育。思考课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？思考数学的本质是什么，应当如何在教学中体现这些本质？进一步，开始思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？开始思考培养创新性人才的核心是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？
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思考的结果，促使我在传统的课程目标、即基础知识和基本技能这“双基”的基础上，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，形成了“四基”的课程目标。与传统的“双基”不同，基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，不言而喻，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。我确信：数学素养的培养、特别是创新人才的培养是“悟”出来的而不是“教”出来的；数学的结果是“看”出来的而不是“证”出来的。可以想象，会“悟”会“看”的底蕴是把握数学思想，会“悟”会“看”的教育是一种经验的积累（包括思维的经验和实践的经验），需要受教育者本人的思考和实践，因此，受教育者本人参与其中的教育教学活动是至关重要的。
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令人欣慰的是，“四基”的提出得到修改组的成员的一致支持，后来又得到数学家、数学教育专家、教研员、以及活跃在教学第一线教师的广泛支持。这样的支持迫使我更加深入地思考：数学基本思想是什么？为此，我给出了一个判定数学基本思想的准则，这个准则包含两条：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；二是学习过数学的人与没有学习过数学的人的思维差异。这样，就把数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个字表达：抽象、推理、模型。我计划写六本书来说明这些想法，即每一方面的内容写两本书。在东北师范大学出版社的敦促下，已经写完五本并陆续出版了。
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恰逢中国的基础教育要实现从“能上学”到“上好学”的转变，这个转变的核心是：实现教育公平，提高教学质量；实现这个转变的基础是：全员提高教师的教育教学水平。于是在我国，由政府主导的大规模的中小学教师培训开始了，培训内容从教育理念到教学方法是全方位的。在这个培训中，修改了的课程标准的解读与实施就自然而然地成为了重要内容。在培训的过程中，我收到了许多问题：有来自培训者的、也有直接来自学员的；有教育理念的、也有教学内容的。在回答问题的过程中，我深切地感悟到基础教育阶段的数学教育应当有所变化，而变化的依据就是“四基”。
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比如小学数学。小学阶段所涉及到的数学内容几乎都是常识性的，只要记住一些法则就会计算；此外，小学生的抽象能力、特别是演绎推理能力尚未养成，不应当、也不可能过多地讲授数学道理。或许就是因为这些原因，在我国长期以来就形成了基于“双基”的数学教学，不仅影响到了小学、并且影响到了整个基础教育。这种教学的目标是：基础知识（主要是概念和法则的记忆）扎实，基本技能（主要是计算和证明的能力）熟练；适于这种教学目标的主要教学形式是：通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧；对应于这种教学目标的考试是：概念的记忆与理解，计算的准确与速度。显然，对于这样的考试而言，上面所说的教学形式是合适的，效果也是明显的。简而言之，就短期行为而言，上面所说的教学方法是简便有效的。但是，这样的教学形式不利于培养学生的数学素养，不利于让学生感悟数学的思想，不利于帮助学生积累思维的和实践的经验，更不利于培养学生的创新意识和创新思维。因此，这样的教学形式将无法实现基于“四基”的课程目标。
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基于“四基”的课程目标对中小学数学教师提出了更高的要求，除了传统的“双基”之外，还要求教师：能够把握教学内容的数学实质、并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；引发学生思考问题、并且帮助学生建立起良好的独立思考习惯；引导学生能够正确地思维与实践、并且帮助学生积累思维的和实践的经验。在同样的条件下，一个人的事业成功与否，并不仅仅取决于知识掌握的多少，还取决于这个人的思维方法。毋庸置疑，为了实现新的教学目标就必须改变传统的教育理念和教学方法。
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这本书的写作目的就是讲述小学数学内容的实质，探讨能够实现“四基”课程目标的、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。为了讲述得更加直接，这本书尝试以回答问题的方式来讲述这些内容，其中大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师。一共30个问题，我希望通过对这30个问题的理解就能够把握小学数学的核心，就可以增强教学的信心。作为小学阶段数学知识的拓展，又在附录1中设定了30个话题，了解这些话题的内容对于教学是有益处的。在问题和话题中，都没有直接涉及到“综合与实践”，因为我们讨论的问题针对的都是数学内容。既便如此，在问题和话题的讨论过程中多次特别提到，有些内容可以在“综合与实践”的课程中实现，进一步，这些想法还体现在附录2的相关教学内容设计之中。
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为了启发教师把“问题”所涉及的内容落实于具体的教学活动，东北师范大学教育科学学部的马云鹏教授组织了长春市的几位优秀小学教师，编写了部分教学片断设计。这些教师有着丰富的教学经验和饱满的工作热情。我多次参加他们的研讨会，商定了编写原则和编写体例，并且对他们编写的每一个教学设计都做了认真修改，这些内容构成了附录2。需要说明的是，这些教学片断的设计是为了说明“问题”内容的教学实现，而不是为了具体的教学活动，因此，所设计的内容含量与教学时间无关，只是供教师在设计自己的教学活动时参考。
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因为小学数学所涉及的内容，无论是基本概念（比如自然数、负数、有理数、点线面角等）还是基本法则（比如四则运算、交换律、分配率、全等、距离等）都是最基础的、因而是最本质的，要把这些本质的东西讲述清楚往往是非常困难的，因此我想，这本书的内容对于中学数学教师、甚至对大学生和大学教师都是有参考价值的。
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我没有小学数学的教学经验，也没有系统地研究过课程论和教学方法，因此，这本书的内容述说可能并不完全符合实际，特别是关于如何实施教学的那些内容。但是我相信，数学教育工作者、活跃在教学第一线的教研员和广大的教师有着无限的创造力，只要理解了这本书所述说的内容和理念，就一定能够创造出生动活勃、行之有效的教学方案和教学方法。
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第一部分 数的认识
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数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在于十个符号和数位。
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为了减法运算的需要，人们把自然数集合扩充到整数集合；为了除法运算的需要，人们把整数集合扩充到有理数集合。减法运算和除法运算都是逆运算，因此，逆运算是数集合扩充的原因，详细讨论参见第二部分：数的运算。
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虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是比例关系。最初人们用分数定义有理数，后来又用有限小数和无限循环小数定义有理数，这两个定义是等价的。
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问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？
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数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生产实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等等。在古代中国，这样的表述可以追溯到商代的甲骨文，参见附录的话题1。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。在现代汉语中，一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。
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在上面的表达中，其中的数字还不具有数字符号的功能，只能把这些数字理解为与数量有关的事物的记载：一粒米与一头牛是不可同日而语的，虽然都是数量“一”的具体例子；此外，这样的表达是不利于进行运算的：一粒米加上一头牛是什么呢？因此，虽然数量是对现实世界中与量有关的事物的一种抽象，但数量还不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是比数量更为一般的抽象。为了实现更为一般的抽象，就必须把握数量的本质，这个本质表现在数量的关系之中。
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数量关系的本质是多与少。经验告诉我们，动物也能够分辨清楚的东西，这些东西往往就是本质的。动物能够分辨多与少，一个生动的例子可以参见附录的话题2，因此，可以认为：数量关系的本质是多与少。可是，当人们还不会计数时，如何准确地分辨数量的多与少呢？
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对于同样的东西，问题还是比较简单的，因为数量是一个一个多起来的。比如，四个苹果是在三个苹果的基础上又多了一个苹果，所以四个苹果要比三个苹果多；同样的道理，五个苹果要比四个苹果多；又因为“多”的关系具有传递性，因此五个苹果要比三个苹果多。“少”与“多”是对应的，因此用同样的方法可以理解“少”。
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对于不同的东西，问题将变得比较复杂，因为很难理解四粒米要比三头牛多。这时，可以采用对应的方法来比较多少，比如，有若干个苹果，还有若干个橘子，如何判断是苹果多、还是橘子多呢？可以实施下面的过程来判断多少：把苹果看作一个集合，把橘子也看作一个集合；从苹果的集合中拿出一个，同时也在橘子的集合中拿出一个；重复这个过程，如果最后苹果的集合中还有剩余，这就说明：苹果的数量比橘子的数量多，反过来也说明：橘子的数量比苹果的数量少。我们称这种比较数量多少的方法为对应，人们最初就是用这种对应的方法来比较数量的多少，一些例子可以参见附录的话题3。在现代数学中，人们把这种对应的方法应用于无穷集合大小的比较。
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从上面的讨论可以看到，比数量更为一般的抽象，或者说，能够成为数学研究对象的抽象已经呼之欲出了。但是，应当如何来描述这个抽象呢？
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问题2 如何认识自然数？
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数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。在问题1中已经谈到，为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。在这个抽象过程中，人们把数量关系也一并抽象出来，形成数的关系。数量关系的本质是多与少，与此对应，数的关系的本质是大与小。因此，自然数是对数量、以及数量关系的抽象。可以有两种方法实现这种抽象，或者说，可以有两种方法认识自然数。
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一种方法是基于对应的。基于对应的抽象过程大概是这样的：首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形的多少进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如，
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□□ ←→ 2，
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□□□ ←→ 3，
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…… （1）
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在汉语中，分别称其为“二”和“三”。其中，小方块表示任何元素，既可以表示小石头（参见附录的话题3），也可以表示苹果或者橘子；符号“←→”表示对应关系。
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因为上面的表达具有一般性，因此可以把表达（1）称为模式，其中小方块就是沟通数量与数字之间对应关系的桥梁。之所以称这样的表达为模式，是因为这样的表达具有一般性，我们称能够表达或者解决一类数学问题的方法为模式。
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可以看到，这种基于现实背景认识自然数的方法是直接的、也是深刻的，因此，我国现行小学数学教材普遍采用的就是这样的写法，在教学过程中普遍采用的也是这样的教学方法。进一步，因为数量的“多与少”对应于数的“大与小”，所以从（1）的对应法则应当让学生知道：3﹥2。
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一般来说，需要从两个角度来把握这种抽象：在形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；在实质上，自然数去掉了数量所依赖的具体背景。自然数的抽象过程深刻地表明，数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西；反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。比如，人们通过抽象了的自然数研究运算方法，反过来，又把自然数的运算方法应用于具体的数量运算。
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一种方法是基于定义的。数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了“后继”的概念。比如，先有1；称1的后继为2，2比1大1，表示为2 = 1 + 1；称2的后继为3，3比2大1，表示为3 = 2 + 1；……，通过这样的后继关系，人们就得到了自然数。最初规定自然数是从1开始的，后来为了更一般的表示，又规定自然数从0开始。关于定义自然数的详细讨论参见附录的话题6。
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可以看到，通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景，这样的方法过于抽象，不适于小学阶段的数学教学。但是，作为数学教师应当知道这样的方法，并且要理解其中的逻辑关系，因为数学的严谨性是从数的定义开始的。
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在教学过程中还应当注意到，读数和用符号表示数是有所不同的，用符号表示数比读数更加抽象。在读数的过程中，人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了，比如，用“十”对应于“十个”那么多、用“百”对应“百个”那么多。但是，这样的方法对于符号表示是不可能的，因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。那么，表示自然数的关键是什么呢？
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问题3 表示自然数的关键是什么？
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表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是与十进制联系起来的，因为在使用二进制时只需要两个符号。人们在日常生活中之所以采用十进制，大概与人有十个手指头有关，正如前面问题所讨论的那样，人们在规定“数”的时候考虑到了对应，而十进制就是对应于人的十个手指头。在现实生活中，与数量有关的规定还有十二进制和六十进制，这些规定大多与时间有关、与古代历法有关，参见附录的话题5。
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自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的，在表示过程中0起到了重要的作用，参见附录的话题4。从小到大，十进位的数位法则是依次相差十倍。即十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”，十个“千”是“万”等等。在现行小学教科书中，解释如何认识一万时说：一万是由十个一千产生的。这样的解释是不合适的，事实上，是“万”这个数位是十个“千”，而不是说一万这个数是十个“千”，数与数位是不同的。在问题2中已经讨论过，数是一个一个大起来的，据此可以这样认识一万这个数：已经知道用千位表示的最大数是9999，现在又多了1，那么，应当如何称呼这个新的数是什么呢？在中国称这个数为“一万”，在西方称这个数为“十千”，但符号表示是一样的：10000。
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有了十个符号与数位，读自然数的法则是：符号 + 数位。比如，下面的形式
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十 个
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2 3
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表示的是两个“十”和三个“个”，在通常情况下读为二十三，符号表示为23。同样的道理，把两个“十”和零个“个”读为二十，符号表示为20。进一步，
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千 百 十 个
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3 0 0 2
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表示的是三个“千”零个“百”零个“十”和两个“个”，可以直接读为：三千零百零十二，在通常情况下可以简约读为：三千零二，符号表示为3002。更为详细的讨论可以参见附录的话题4。
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数位的名称。因为各民族传统文化的不同，对于数位的读法也不尽相同。比如，基于汉语的东亚语言系统的数位基础是四，即数位是
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个 十 百 千；万 十万 百万 千万； 亿 十亿 百亿 千亿； 兆 ……
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其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13，差为4。与此不同的是，基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三，即数位是
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个 十 百；千 十千 百千；百万、十百万、百百万；十亿 ……
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其中个（ones）、千（thousands）、百万（millions）、十亿（billions）所代表的数位（digit）分别是1、4、7、10，差为3。虽然数位的读法不同，但用符号表示出来的“数”是一致的。现代会计系统源于西方，因此，所有会计报表中记账数字的数位基础是三。
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自然数集合。基于十个符号与数位就可以用符号表示所有的自然数，一般用N表示自然数集合：
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N = { 0, 1, 2, 3, … }。
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这种表示显示了自然数的序有开头无结尾。
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人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情，这个发明经历了相当漫长的抽象过程，甚至现今仍然有一些原始部落还没有抽象出完整的数字概念，那里的人们只能分辨一、二和许多，详细讨论参见附录中的话题4。因此，在小学阶段的数学教学中，不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，应当努力创设出一些情景让学生清晰地感悟到这个抽象过程，比如，在问题2中曾经强调过的利用对应的方法。
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问题4 如何认识自然数的性质？
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虽然自然数是数学中最简单、最基础的研究对象，但要研究清楚自然数的性质却不是一件容易的事情，一些著名的命题和猜想都与自然数的性质有关。
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在下面的讨论中将会看到，依据性质可以对自然数进行分类。在2011年颁布的《义务教育数学课程标准》中强调了分类，因为“分类讨论问题”有助于人们认识事物的本质，这也是中国人认识问题的传统思维模式，这种思维模式一直影响到当代中国。分类的核心是构建一个标准，基于这个标准把所要研究的东西分为两个、或者两个以上的集合，使得每一个要研究的东西属于、并且唯一属于某一个集合。因此，这里所说的标准实际上就是所要研究的重要性质：标准与性质是等价的。或许可以说，凡是不能用于构建分类标准的性质都不是重要的，参见附录的话题11。
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人们最常见的、也是小学数学教学内容包括的对自然数的分类主要有两种：一种是奇数与偶数的分类；一种是素数与合数的分类。
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奇数与偶数。可以有两种方法进行这样的分类，一种方法针对自然数序：从1开始每隔1个称其为奇数，从2开始每隔1个称其为偶数；一种方法针对非0自然数：称不能被2整除的为奇数，能被2整数的为偶数。所说的两种方法是等价的，有兴趣的读者可以尝试性地给出证明。乍一看，这样的证明几乎无从下手，但完成这样的证明能够体会到数学的严谨性。
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一个非常有趣的现象是，几乎所有民族在日常生活中遇到与数量有关的事件，都会通过数的奇偶性、或者一些特殊的数字来推断事件的凶吉，特别是对一些重大事件的推断，比如中国的《易经》就利用数的奇偶来表示阴阳，参见附录的话题12。另一方面，知道数的奇偶性也有利于直观判断运算结果：奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数；奇数乘奇数为奇数，偶数乘偶数为偶数。最后的性质被用来证明 √2是无理数，参见附录的话题14。
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素数与合数。对于非0自然数，人们称只能被1和自己整除的数为素数（质数），其他的数为合数（为了研究问题的方便，人们规定1既不是素数也不是合数）。比如，2，3，5等就是素数，4，6，9等就是合数。人们发现：任何一个合数都可以表示为若干个素数的乘积，并且表示方法是唯一的，比如，60 = 2×2×3×5，这样，60就与素数组（2，2，3，5）唯一对应。于是人们认为素数是最基本的数，加强了对于素数的研究，参见附录的话题12。
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后来，年轻的高斯（Johann Gauss，1777-1855）把这种表达方式引入高次方程的研究，高斯在他的博士论文中给出了代数基本定理，用代数因子乘积的方法清晰地构建了高次方程的基本结构。对于一个n次多项式
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f(x) = xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0，
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其中a0，a1，…, an-1 为多项式的系数，x 表示未知数。代数基本定理述说了这样一个基本事实：存在n个实数或者复数x1，…，xn,使得
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f(x) = (x - x1) … (x - xn)。
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这样，很容易验证x1，…，xn 都是方程f(x) = 0的根。也就是说，代数基本定理给出了一个非常重要的结果：在复数范围内，n次方程必然有n个根，并且，这些根是由系数唯一确定的。
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顺便说一句，二次方程因式分解中的十字相乘法不是本质的、因而是不重要的，因为通过求根公式可以得到方程的根，然后用上述高斯的方法就可以写成两个因式的乘积。
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问题5 如何认识负数？
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在小学阶段、甚至在整个义务教育阶段，数学教学中所涉及到的数都有明确的现实背景（所涉及到的法则也都有着明确的现实背景），负数也不例外。因此，虽然可以通过减法来定义负数，但负数的本质还是对数量的抽象，所代表的意义与正数是完全相反的。比如，某一个家庭每个月底都要计算这个月的收支情况，第一月份盈余30元钱，第2月份亏损15元钱，那么，应当如何用数字符号来表示这个家庭的收支情况呢？如果用自然数表示盈余，那么就需要创造出一个新的数来表示亏损。人们通常称这样的数为负数：用负数表示亏损。
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人们约定：在自然数的前面加上符号“-”表示负数，并称这个符号为“负号”。比如，在2的前面加上负号就变成了-2。用这样的方法表示负数是非常有道理的，因为负数与对应的自然数在数量上是相等的，表示的意义是相反的：一个是盈余、一个是亏损；一个是向西，一个是向东；一个是前进，一个是后退。所以，在一个自然数的前面加上符号“+”或者“-”是为了表示这个数量的性质，分别称其为“正数”或者“负数”。后来，人们定义距离和绝对值也是基于这个道理，并且根据现实生活的经验规定：
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数量越大（或者说绝对值越大）的正数越大；
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数量越大（或者说绝对值越大）的负数越小；
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0是正数和负数的分水岭，既不是正数也不是负数。
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这样，上面所说的那个家庭的收支情况就可以表示为：+30，-15，或者简约表示为：30，-15。因此，负数是因为日常生活和生产实践的需要创造出来的，并且，与正数的教学方法一样，也可以用这种对应的方法进行负数的教学。
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现有资料表明，最早提到负数、并且给出了正负数加减运算法则的是中国的《九章算术》，在这本书的“方程”篇中讨论了“正负术”，用不同颜色的算筹解释了加减法的运算法则，一个具体的例子可以参见附录中的话题10。大约在公元628年左右，印度数学家婆罗摩芨多（Brahmagupta，约598-665）给出了负数的四则运算。
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通过上面的讨论可以看到，负数与减法运算关系密切，而减法运算又依赖于加法运算，关于这个问题更详细的讨论参见问题10。
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问题6 如何认识分数？
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虽然可以把分数看作是除法运算的一种表示（参见问题13），但分数本身是数而不是运算。人们通常称形如a/b的数为分数，称其中的a为分子b为分母，在一般情况下，要求分子和分母都是正整数。古希腊的学者对分数进行了深入的研究，他们最初认为现实中的所有数量关系都能写成分数的形式，也就是说，所有的数都能够用整数表示，后来发现 √2 不能写成分数的形式，于是称能写成分数形式的数为有理数，不能用整数表示的数为无理数。详细讨论参见附录的话题13。
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分数的本质在于真分数，即分数的分子小于分母。这样的分数有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间的比例关系。我们称后者为整比例关系。
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整体与等分关系。问题的关键是对整体的等分。比如，把一个月饼等分为5份，那么其中的一份是1/5，两份是2/5。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的1/5就是分数单位，而2/5表示的是两个分数单位：2/5 = 2 × 1/5 =1/5 + 1/5。
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利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1/5 + 2/5 = 3/5；这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。
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对于分母不同的分数的大小比较、以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。比如，对分了5份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的1/10，即1/5 × 1/2 = 1/10。原来单位与新单位的关系是1/5 = 2/10；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份：2/5 = 2 × 1/5 = 2 × 2/10 = 4/10。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变。这样，分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数大小的比较，进而得到一般的不同分母分数的加法运算法则：
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a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad + cb)/db。
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整比例关系。分数还可以表示两个事物量之间的比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。比如，在一些小学数学教科书中有这样的例题：
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小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？
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其中的1/3说的就是比例：1只鹅对应于3只鸭子，2只鹅对应于6只鸭子，如此类推，4只鹅就对应于4 × 3 =12只鸭子。
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解释1/3的含义是一个破题的过程，可以看到，有许多问题只要破题清楚，就自然而然地得到了解题的思路。因此，在小学数学的教学过程中，许多应用问题必须重视破题这个环节。
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对于上面的问题，更一般性的表达是这样的：如果用x 表示鸭子的数量，得到比例关系4 : x = 1:3。借助这个比例关系，可以通过两种运算方法得到所求结果，一种方法是上面所说的乘法，一种方法是教科书所希望的除法：鸭子数量 = 4 ÷ 1/3 = 4 × 3 =12。因此，这个例子也说明：除法是乘法的逆运算。详细讨论参见问题13和附录中的话题21。
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通过上面对两种关系的分析还可以知道，分数是一种无量纲的数。也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是1/5，与整体本身的大小无关；无论是4只鹅还是4百只鹅，与鸭子的比例都是1比3，这个比例与数量的无多少关。正因为如此，现实生活中一些看来无法比较的事情用分数就可以进行比较了，这就是通常所用的百分数。比如，一个大国与一个小国的GDP（国内生产总值）是不能进行比较的，但这两个国家GDP的增长率是可以进行比较的，通常用百分数来表示这种增长率：
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增长率 = [（今年GDP – 去年GDP）/ 去年GDP] × 100%。
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问题7 如何认识小数？
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人们对小数的认识要比对分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。建立小数的概念，一方面是为了现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示为6.75元；另一方面是为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数。如果没有无理数的小数表示，人们就就很难进行无理数的加法运算，比如，虽然人们很早就知道 √2和 √3，但无法进行这两个无理数数的加法运算。如果借助小数，就可以把这两个无理数分别数表示为：
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√2 = 1.4142135 … 和 √3 = 1.7320508 …，
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这样，于是就可以进行这两个无理数的加法运算：
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√2 + √3 = 1.4142135 … + 1.7320508 …
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= 3.1462643 … 。
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为了理解小数，需要重新理解整数，其核心在于重新理解十进制。人们终于发现，可以用10的幂（次方）的形式来表示十进制。因为10的正整数次幂、0次幂、以及负整数次幂可以表示为：
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101 = 10，102 = 100， 103 = 1000，…
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100 = 1，
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10-1 = 1/10 = 0.1， 10-2 = 1/100 = 0.01， 10-3 = 1/1000 = 0.001，…
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这样，无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合表出，比如：
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238 = 2 × 102 + 3 × 101 + 8 × 100，
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6.75 = 6 × 100 + 7 × 10-1 + 5 × 10-2。 （2）
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人们通常称这样的表示为线性组合，称其中10的整数次幂为基底。因此，一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合，而一个小数就可以用10的负整数次幂表示。这样，就可以清晰地解释乘法运算 0.1 × 0.1 = 0.01，这是因为
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0.1 × 0.1 = 10-1 ×10-1 = 1/10 × 1/10 = 1/100 = 0.01。
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可以看到，这种运算的实质是对分数单位的进一步等分、得到新的分数单位，只要注意到每次进行的都是十等分。根据这个理由，为了更好地理解小数的乘法运算，教科书在教学内容的安排上，分数单位的进一步等分（参见问题6）应当安排在小数乘法运算之前。比如，在介绍分数的时候就介绍分数单位、并且介绍分数单位的进一步等分。否则就很难说明为什么0.1 × 0.1 = 0.01。
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需要强调的是，上面（2）式的表示方法是具有一般性的。基底原本是几何空间的概念，在几何空间中基底是一些向量，这些向量的个数与空间的维数是一致的。这些向量的重要性在于：几何空间上的任何一个向量都可以用这些向量的线性组合表出；反之，用这些向量的线性组合表出的向量必然对应于几何空间的一个点。在代数学中借用这种表示方法，就把几何与代数有机地结合起来了，从而建立了代数学的几何直观，比如，可以用这种方法建立代数方程解空间的概念。事实上，这种表示方法已经成为现代数学的基础，几乎应用于现代数学的每一个研究领域。
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后来，人们为了更好地解释实数理论，就用小数重新定义了有理数和无理数：有限小数和无限循环小数为有理数；无限不循环小数为无理数。有理数与无理数统称实数，详见附录的话题18。
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问题8 什么是数感？
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为了让广大中小学数学教师更好地理解教学内容，或者说，能够在整体上把握教学内容，《义务教育数学课程标准》给出了义务教育阶段数学内容所涉及到的最重要的十个核心概念。其中第一个核心概念就是数感，《义务教育数学课程标准》中对数感的解释是：
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主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
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从上面的论述可以看到，《义务教育数学课程标准》对数感强调的是一种感悟。这种感悟是重要的：在小学数学教学活动中，不仅要让学生感悟“数是对数量的抽象”，还应当反过来，让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。
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抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。可以这样理解“回归现实背景”，比如，同样是100这个抽象了的数，但100粒黄豆与100匹马给人的现实感觉是大不一样的；再比如，去商场买菜，带100元钱就足够多了，但要购买房子，只有100元钱是远远不够的。因此，对于在现实生活的许多情况，人们需要感悟数与现实背景之间的联系，从而感悟并且判断在日常生活和科学研究中数所提供的信息。此外，学生对于运算结果也应当有一定的感悟、或者说直觉判断，比如，应当能够直觉判断18加9比30大还是小，1/2加3/8比1大还是小。
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有了上面所说的感悟，学生就能在现实生活中比较合理地把握数以及数的运算。比如，合理地估计教室里同学的数量，估计一堆苹果的数量，等等。再比如，知道1000步大概有多长，知道1000名同学做广播体操大概需要多大的场地，等等。到了高学段，还涉及到对量纲、即数量单位的认识。应当让学生清楚，在思考或者判断问题时，需要根据问题背景的不同而选择不同的量纲。比如，思考商场让利促销的活动，如果是几千元的产品合适的让利单位是百元，几百元的产品合适的让利单位是十元，几十元的产品合适的让利单位是元，等等。
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通过上面的讨论可以看到，培养学生的“数感”不仅是学习数学的需要，这也有助于培养学生认识和解释现实事物的能力，这是一种数学素养的教育。
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第二部分 数的运算
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在定义自然数的同时也定义了加法运算。在加法运算的基础上，产生了减法、乘法和除法运算，统称为四则运算。其中减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。自然数集合对于加法运算、进而对乘法运算是封闭的。为了保证逆运算的封闭性，数的集合就得到了扩张，比如，为了保证减法运算的封闭性，从自然数集合扩张到整数集合；为了保证除法运算的封闭性，从整数集合扩张到有理数集合。
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在混合运算中的两个法则是来源于现实计算的，是为了计算两个或者两个以上与数量有关的故事。在日常生活和生产实践中，人们遇到的大量计算都是估算。精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算。
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符号表示数是数学发展的重要转折，使得数学由算数走向代数。一方面，符号可以像数那样用于运算和证明，另一方面，通过符号的运算和证明得到的结果是具有一般性的。可以利用符号表示未知的量，方程就是一种含有这种符号的等式。等式两边讲述的是与数量有关的两个故事，这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。
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模型是构建数学与现实世界的桥梁。小学数学“数与代数”部分在本质上只有两种模型，一种模型是基于加法的，一个模型是基于乘法的，小学数学中的所有应用问题几乎都是这两个模型的派生。
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发现问题和提出问题是有所不认同的，发现问题是用数学的眼睛“看”数学、看现实世界，提出问题是用数学的语言“说”数学、说现实世界。
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问题9 如何解释自然数的加法运算？
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在问题2中谈到，可以有两种方法认识自然数。与此对应，可以有两种方法来解释自然数的加法：一种方法是基于对应的，一种方法是基于定义的。在问题2中还谈到，因为定义的方法过于抽象，在小学阶段、特别是低年段的数学教学中，采用定义的方法认识自然数是不可取的。但不知道为什么，在现行小学数学的教科书中、以及在大多数小学的教学过程中，关于加法的解释却借助了定义的方法。很可能是教科书的编写者没有注意到这个问题，因而导致教师也没有注意到这个问题。事实上，除了定义的方法之外，还有对应的方法。下面，我们来仔细分析这个问题。
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在现行教科书中，都是用图来表示加法运算。具体呈现过程是这样的，给出下面的图
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□□□ ←□，
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于是就得到3 + 1 = 4。可是，为什么这样得到的就是4呢？这是利用了等号“=”的对称性：因为从自然数的定义知道4 = 3 + 1，所以利用对称性有3 + 1 = 4。因此，这是用定义的方法解释加法，详细讨论参见附录的话题7。
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用上面的方法解释加法当然可以，但是，这样的解释方法脱离了现实背景，特别是没有述说“相等”的涵义到底是什么、进而没有涉及到“等于”的本质。因此，这样的教学方法只是让学生记住了加法的计算规则，而没有让学生感悟到数学的思想。
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下面描述一下，如何利用对应的方法来解释加法。比如，同样是3 + 1 = 4的问题，可以采用这样的方法进行教学。
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首先，给出下面的两组方块
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□□□ □□□□ （3）
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问学生：哪边的方块多？学生当然会回答：右边的方块多。因为这个时候学生已经通过对应的方法认识了十以内的自然数：称左边的方块为3个，右边的方块为4个。可以通过这个图让学生再次感悟：4个比3个多、进而4比3 大。
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然后，再拿出一个方块加到右边，形成下面的图
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□□□ ←□ □□□□ （4）
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问学生：现在哪边的方块多？学生当然会回答：一样多。于是在这个直观的基础上，就可以向学生解释加法的算式：3 + 1 = 4。当然在具体的教学过程中，可以讲述的生动活泼一些，比如，左边的是小红的苹果数，右边的是小华的苹果数。甚至可以尝试地讲述，左边的是小红的苹果数，右边的是小华的橘子数，这样就更体现了抽象了的数。
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正如前面反复强调的那样，数学研究的不是概念本身，而是研究概念之间的关系，这样的解释突出的是一种相等关系：左边 = 右边。这就揭示了符号“=”的本质含义：符号两边的量相等。由此可以看到，通过这样的教学，既可以让学生感悟到“量相等”的本质（这对学生未来理解方程是非常重要的），又可以让学生感悟加法运算的本质特征：加上一个自然数比原来的数大。
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显然，不能期望通过一堂课或者几堂课就让学生感悟其中的道理。但是，通过日积月累的、富有启发性的引导，就必然会让学生逐渐感悟数学的思想，最终理解其中的道理。
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问题10 为什么说减法是加法的逆运算？
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四则运算都是源于加法，因为从加法运算可以产生减法运算、乘法运算和除法运算。因此，如果不想无源头地、硬性地定义加法以外的其他运算，那么可以认为：四则运算都是源于加法。
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在最初阶段，可以采用问题9中所说的对应的方法，对小学低学段的学生解释减法运算。比如，仍然用图来解释减法：在（3）的基础上，利用下面的图
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□□□ →□ □□□
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来解释减法：4 - 1 = 3。
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显然，利用这样的与问题9对称的教学方法，可以让学生感悟加法和减法互为逆运算，并且让学生知道，减一个自然数比原来的数小。在这样教学的基础上，对于小学高年段的学生、以及初中阶段的学生，可以进一步通过加法的逆运算来解释减法。
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减法是加法的逆运算。比如，可以认为4 - 1 = 3是由4 = 3 + 1产生的。更一般地，对于a ≧ b，可以这样产生减法：
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a - b = x ←→ a = b + x，
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其中双向箭头 ←→ 表示等价关系。因为a ≧ b，所以计算结果 x ∈ N是一个自然数。这就表明了减法是加法的逆运算。可以用语言表达减法与加法之间的逆运算关系：
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对于数量而言，b比a“少”多少等价于a比b“多”多少；对于数而言，b比a“小”多少等价于a比b“大”多少。
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在上面的论述中所说的“多少”表述的是一个量化的过程，这也是a大于b的理由：a ≧ b等价于存在一个自然数x，使得 a = b + x。
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当a ﹤ b的时候，问题就变得复杂了，因为这时a - b 的差将小于0，这时的“差”将不是自然数。但在日常生活中，这样的数是有意义的，回顾问题5的讨论。
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除了像问题5中所说的那样，用对应的方法表示负数之外，还可以通过自然数和自然数的加法给出负数的定义：对于a ∈ N且不为0，称满足
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a + x = 0
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的数x为负数，把这个数表示为 –a，并且称 -a为a的相反数。必须注意到，这时 –a代表的是一个数，详细讨论参见附录的话题10。一般来说，对于任意数a，称a和 -a互为相反数。从定义的过程中可以看到，0对加法运算是重要的，因为有了加法运算和0就可以产生负数。这也是为什么自然数要从0开始而不是从1开始的理由。
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为了研究问题的方便，人们称不为0的自然数为正整数，正整数对应的相反数为负整数，把负整数、0和正整数统称为整数。这样，整数集合就可以表示为：
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Z = {负整数，0，正整数}。
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或者具体地表示为
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Z = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }。
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这也表示了整数之间的大小关系：从0开始，正整数是一个一个大起来的；从0开始，负整数是一个一个小下去的。因此，整数的序既无开头也无结尾。
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现在，我们已经把数的集合从自然数集合扩充到整数集合。那么，数学进一步必须做的事情是：把加法运算由自然数集合扩充到整数集合。在教学活动中，虽然不需要让小学生知道这个扩充的过程，但应当让小学生知道，加上一个正数，比原来的数大；加上一个负数，比原来的数小。
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有了整数集合上的加法，就可以在整数集合上一般性地定义减法：对于a ∈ Z，b ∈ Z
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a - b = x ←→ a = b + x，
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其中 x ∈ Z是一个整数。容易验证，整数集合对于加法和减法运算都是封闭的。
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上面的表达式准确地说明：减法是加法的逆运算。基于这个结果，容易验证减法与相反数之间的关系：减去一个数等价于加上这个数的相反数。可以把这个关系表示为
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a – b = a + (- b)，
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详细讨论参见附录的话题9。
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问题11 乘法是加法的简便运算吗？
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人们一般认为，乘法是加法的简便运算，但事实并不这样简单，需要分两种情况讨论：一种情况是基于自然数集合，一种情况是基于整数集合。
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在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。比如，8 = 4 × 3是由8 = 4 + 4 + 4 产生的，是3个4相加的简便运算。一般地，对于a ∈ N，b ∈ N有
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a × b = c ←→ a + a + … + a = c，
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其中“连加”表示有b个a相加，因此左边的乘法是b个a相加的简便运算。对于这样的表示，通常称a为被乘数、b为乘数、c为积。
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基于这样的运算，可以得到两个基本性质：对于任何a ∈ N有
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0 × a = 0，1 × a = a。
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通过附录话题19的讨论可以看到，这两个性质是乘法运算独有的。这两个性质构成了乘法运算的基本特征，近代数学所定义的任何乘法（包括矩阵的乘法）都保留了这两个性质。
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在整数集合上，乘法不是加法的简便运算。当被乘数为负数、乘数为正数时，还可以把乘法运算解释为加法的简便运算。比如，可以把
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-2 × 3 = -6 ←→ (-2) + (-2) + (-2) = -6，
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解释为3个 -2相加的简便运算。可是，当乘数为负数时，“乘法是加法的简便运算”这个命题就解释不通了。比如，不可能把乘法3 × (-2）解释为 -2个3相加的简便运算。因此，在整数集合上，我们不能说乘法是加法的简单运算。那么，到底应当怎样解释整数集合上的乘法呢？这就需要我们更加深刻地理解乘法，理解乘法的算理、以及基于算理的乘法运算法则。
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问题12 整数集合上的乘法是如何得到的？
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在上一个问题谈到，在整数集合上，乘法不是加法的简便运算，那么，应当如何定义整数集合上的乘法运算呢？
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整数集合上的乘法是自然数集合上乘法运算的推广，推广的工具是交换律和分配率。乘法的交换律与分配率可以表示如下：对于a ∈ Z，b ∈ Z，c ∈ Z有
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交换律：a × b = b × a。
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分配率：(a + b) × c = (a × c) + (b × c)。
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对于乘法运算，交换律与分配率是本质的。甚至可以认为，这两个定律与乘法运算是等价的，也正因为如此，才可能把乘法运算由自然数集合N推广到整数集合Z上，具体讨论参见附录的话题19。这样，对于问题11中所提出的乘数为负数的情况，通过交换律可以得到
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3 × (-2）= -2 × 3 = -6。
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可以看到，对于乘法运算，1是非常重要的数（相当于0对于加法运算），通常可以把这个数理解为乘法的单位元。用1和相反数 -1可以把乘法的计算法则表示为
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1 × 1 = 1
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1 ×（-1）= (-1) × 1 = -1
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（-1）×（-1）= 1。
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其中，第一个等式来自乘法的基本性质，第二个等式可以通过交换律直接得到，第三个等式可以用下面的方法给予证明：
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0 = 0 × (-1)
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= [(-1) + 1] × (-1)
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= [(-1) × (-1)] + [1 × (-1)]
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= [(-1) × (-1)] + (-1)。
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在上面最后的式子中，因为 -1的相反数为1，因此得到结论：（-1）×（-1）= 1。在上面的运算过程中，第一个等号是因为0乘以任何数为0；第二个等号是因为1与 -1互为相反数，和为0；第三个等号是因为乘法分配率；第四个等号是因为已知1 × (-1) = -1。
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在上面的证明过程中可以看到，交换律与分配率对于乘法运算是何等重要：没有交换律就解释不了1 ×（-1）= -1；没有分配率就解释不了（-1）×（-1）= 1。当然，也可以利用相反数的概念直观解释乘法： [(-1) × 1] 这个数是 (1 × 1) 这个数的相反数，所以从1 × 1 = 1知道 (-1) × 1 = -1；同样的道理可以得到（-1）×（-1）= 1。但是，这样的述说至多是一种直观解释，因为我们并没有讨论“相反数”与“运算”之间的关系，更没有讨论“相反数”与“算理”之间的关系。
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因此，算理是重要的：绝不可以简单地把算理理解为依附于运算方法的一种性质，而应当把算理理解为运算方法的本质，详细讨论参见附录的话题19。也正因为如此，《义务教育数学课程标准》专门设定了一个核心概念运算能力，其中特别强调：培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
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问题13 为什么说除法是乘法的逆运算？
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与减法是加法的逆运算类似，除法是乘法的逆运算。不同之处在于：加法逆运算的表达是通过0，乘法逆运算的表达是通过1。我们来分析这个问题：对于a ∈ Z，b ∈ Z，
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a ÷ b = y ←→ a = b × y。
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这个关系表明除法是乘法的逆运算，因为除法可以与乘法对应。通常在上式中，称a为被除数，称b为除数，称y为商。
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如果得到的商是整数，那么，很容易通过语言说明上面的关系式、进而说明除法是乘法的逆运算：命题“a是b的y倍”等价于命题“b的y倍是a”。通过上面的式子还可以看到，对于前一个命题、即“a是b的多少倍”这样的问题应当用除法；对于后一个命题、即“b的y倍是多少”这样的问题应当用乘法。因为理解除法比理解乘法要困难一些，因此在实际教学过程中，往往需要借助乘法来说明除法，一个具体的例子参见附录的话题21。
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如果得到的商不是整数，比如，5 ÷ 2就不能表示为整数，这就需要构建一种新的数，人们称这样的数为有理数。这样，通过除法，可以把数的集合由整数集合扩充到有理数集合，通常用R表示这个集合。进一步，可以把加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算扩充到有理数集合，这便是四则运算。人们把四则运算扩充到有理数集合的同时，也把相应的运算法则扩充到有理数集合。但是，在扩充过程中需要特别注意逆运算，对于逆运算
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分配率成立：(5 + 6) ÷ 3 = (5 ÷ 3) + (6 ÷ 3)；
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交换律不成立：5 – 3 ≠ 3 – 5；5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5。
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除法与倒数。在问题10中，曾经利用相反数来定义负数，同时把自然数集合扩充到整数集合。类似，也可以利用倒数来定义有理数，把整数集合扩充到有理数集合。倒数的定义方法如下：对于b ∈ Z且不为0，称满足
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b × y = 1 （5）
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的数y为b的倒数，表示为1/b。与相反数类似，称b与1/b互为倒数。进一步，对于任何a ∈ Z，用a/b表示a个1/b这样的数。通过这样的表示，就可以利用倒数把整数集合扩充到有理数集合，即把有理数集合表示为
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R = { a/b；a ∈ Z，b ∈ Z - {0}}，
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其中Z为整数集合。
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上面关于有理数集合的表示是具有一般性的：用大括号囊括所有集合中的元素；分号前面表示的是集合中元素的形式；分号后面表示的是集合中元素的属性。其中符号 b ∈ Z- {0} 表示b可以是除去0以外的所有整数，这种表示也意味着“0不能为除数”这个基本要求，关于这个要求的详细讨论参见附录的话题20。
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容易验证，有理数集合对加、减、乘、除这四种运算都是封闭的。这样，人们就从自然数集合出发，通过四则运算（主要是通过减法和除法这两种逆运算）把数的集合扩充到整数集合、继而扩充到有理数集合。事实上，有理数集合也是四则运算能够扩充到的最大数集。除却四则运算之外，还有一种重要的运算就是极限运算，人们通过极限运算把数集由有理数集合扩充实数集合。
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在问题10中，我们讨论了相反数与减法之间的关系：减去一个数等于加上这个数的相反数。采用类似的方法，我们可以得到倒数与除法之间的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。可以把这句话用关系式表示为
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a ÷ b = a × (1/b)。
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在乘法运算过程中，人们通常会省略其中的乘法符号“×”（参见附录的话题19），因此，基于上面的表达式，人们有时也把除法写成倒数的形式：a ÷ b = a/b。虽然这种表示方法与分数是一致的，但从抽象的本意来说，分数与除法是有本质差异的，回顾问题6的讨论。
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问题14 为什么混合运算要先乘除后加减？
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在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式；没有括号，先计算乘除后计算加减。比如，用下面的两个例子来表示：
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(3 + 2) × 4 = 5 × 4 = 20；
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3 + 2 × 4 = 3 + 8 = 11。
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显然，这两个基本法则是一种规定。可是，为什么要有这样的规定呢？这样的规定合理吗？如果这样的规定是合理的，那么合理性表现在哪里呢？为了述说这个合理性，就必须回到现实世界，因为我们已经反复说过，小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的。
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第一个算式是什么意思呢？思考下面的具有实际背景的问题：
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操场上有4排同学，每排有3名女同学2名男同学，问操场上有多少名同学？
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对于这个问题，如果分步计算，显然应当先计算每排有多少同学，然后再计算4排一共有多少同学。因此，计算的道理是：
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同学总数 = 每行同学数 × 行数
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= (3 + 2) × 4
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可以看到，上面括号中表达的是一个故事：每行的同学数。这个故事是整体算式中的一个独立部分，因此，先算括号中的算式是有道理的。可是，这个例子是具体的、因而是特殊的，这个特例所蕴含的运算次序的一般道理是什么呢？我们接下来分析第二个算式，然后归纳出一般道理。
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如果把乘法理解为加法的简便运算，第二个算式可以表示为 3 + 2 × 4 = 3 + 4 + 4 = 3 + 8 = 11。用这样的方法来解释先乘除后加减是可以的，但是，这样的解释仅仅关注了计算方法，因此，这样的解释与上面的例子就没有共同点了，就无法抽象出共性了。为了把问题分析清楚，我们还是思考一个具有实际背景的问题：
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操场上原来有3名同学，又来了一队同学，这队同学每排有2名同学，共有4排，问现在操场上有多少名同学？
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显然，这个问题中包含了两个故事：一是原来的同学数，二是后来的同学数。类似第一个算式，可以写出计算这个问题的道理：
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同学总数 = 原来的同学数 + 后来的同学数
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= 3 + 2 × 4。
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因此，先计算乘法是为了完成一个故事：后来的同学数。现在问题已经很清楚了：所有混合运算都是在讲述两个、或者两个以上的故事。在混合运算中，可能是大故事包含小故事，也可能是几个故事并列。在原本的意义上，这些故事应当分别计算，即先计算每一个具体的故事然后再计算整体的故事，统观数学史，早期的数学都是这样计算的。如果希望用一个式子表达这样的计算，就形成了混合运算：用括号表示大故事所包含的小故事，用加号表示并列的故事。这样，为了保证混合运算的计算结果与分别计算的结果保持一致，就必须建立起前面提到的那两个基本法则。
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问题15 为什么要学习估算？
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