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路程模型：绝对时间与相对时间
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在问题18 中讨论了小学数学涉及到的几种模型，这个话题将深入讨论其中的路程模型。讨论的目的想说明：模型的重要性不仅仅在于数学的表达，而更重要的是对现实世界的解释。模型中的每一个量都有其现实意义，而且在许多情况下，现实意义解释的不同会使模型发生质的变化。我们借用路程模型来述说其中的道理。
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路程模型表述的是：距离、速度、时间这三者之间的关系。如果用 x 表示距离，用 v 表示速度，用 t 表示时间，那么，路程模型可以用符号表示为
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x = vt。 （A13）
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时间是绝对的。在上面的表达式中，距离是由速度与时间决定的，是变化的结果；在一般情况下，速度是一个常值（可以是匀速或者平均速度），因为表示变化的速度必须要用加速度；这样，就单纯的物理意义，在路程模型中只有时间是变化的。那么，时间是什么呢？应当如何度量时间的变化呢？
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人们通常感觉时间就像一条长河，这条长河承载了所有发生过的事情，静静地、以同样的速度流淌着。正如思想家、教育家孔子（前551-前479）在江边的感叹：逝者如斯夫，不舍昼夜。因此，人们认为时间是永恒的，时间是绝对的。英国物理学家牛顿（Isaac Newton，1643-1727）的所有研究就是建立在这种绝对时间之上的，他非常强调时间流逝的不变性：
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所有运动都可能加速或减速，但绝对时间的流逝并不迁就任何变化。事物的存在顽强地延续维持不变，无论运动是快是慢抑或停止。
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按照牛顿的说法，时间是绝对的，时间流逝（时间度量）本身是不能发生变化的。过去、现在、将是刻画时间最重要的三个概念，这三个概念本身是绝对的：一个事件，无论是发生在同一地点，还是在相距遥远的地方，意义都是一样的。但仔细思考一下，就会发现牛顿的这个说法是有问题的，比如，遥远的天边打雷的时候，既有闪电又有雷声，是应当通过闪电来确定打雷的“现在”呢、还是应当通过雷声来确定打雷的“现在”呢？经验告诉我们，应当通过闪电来确定，因为是先有闪电后有雷声。那么，更加遥远的地方会怎么样呢？比如，在天狼星附近有一个超新星发生了爆炸，我们在地球上能够同时知道这个事件的发生吗？按照牛顿的说法，“现在”这个概念是绝对的，因此，时间绝对的说法就必然要求那个超新星爆炸的信息“即刻”被送达地球，这是可能的吗？信息的载体是光，因此，时间绝对就必然要求光的速度是无穷大。这是可能的吗？
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光速是绝对的。光速绝对的概念是物理学家爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出的。光速绝对的概念至少有两层含义：光速是有限的；光速是最快的。
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对于地球而言，光速是无穷大的。在日常生活中，在黑暗的房间打开电灯、顿时灯光普照，我们认为光到达的速度是即时的，因此光速是无穷大的；收音机、电视、手机、卫星定位系统等都是通过电磁传递信息的，我们感觉到这种信息传递是即时到达的，因此可以认为电磁的速度是无穷大。英国物理学家、数学家麦克斯韦（James Maxwell,1831-1879）给出了著名的麦克斯韦方程，告诉我们电磁传递的速度与光速是一样的，因此可以推算光速是无穷大的。那么，对于浩瀚无涯的宇宙，光速也是无穷大吗？下面的事实给出了否定的答案。
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意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）被誉为现代物理学、近代科学的奠基人。当伽利略用自己制作的望远镜观察木星、认定木星也有卫星之后，人们发现了一个奇怪的现象，当地球与木星之间距离发生变化时，木卫一进入木星阴影的时间与计算值之间会发生变化：距离远时相差大一些，距离近时相差小一些，时间最多相差22分钟。关于这个问题的抽象表达可以参见图A1，图中 A 和 B是地球轨道上的两个不同点。
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图A1 在地球轨道不同点观察木卫一的时间差异
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丹麦天文学家勒默尔（Ole Roemer,1644-1710）认为引起这种时间差异的原因是光的速度，也就是说，光的速度是有限的：光穿越地球轨道直径大约需要22分钟。根据这个想法，勒默尔计算出光速为 214000公里/秒。美国实验物理学家迈克尔逊（Albert Michelson,1852-1931）于1931年，也就是在他生命的最后一刻，给出了光速精密的测定：299910公里/秒。现在，人们利用原子钟测光速为每秒 299792.458公里。无论观察结果还是实验结果均表明：光的速度是有限的。
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那么，光的速度是最快的吗？这个问题似乎是荒谬的，因为在小学数学中就有顺水行舟的问题，解决问题的关键是知道：
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真实速度 = 船的速度 + 水流速度。
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根据同样的道理，如果在飞驰的火车上向前射出一束光，那么射出光的速度就应当比原来的光速快，这不就否定了光速最快的假说吗？可是，爱因斯坦用“思维的实验”告诉我们，这是不可能的：光的速度与发光物体的速度无关。后来，这个结论被迈克尔逊的实验验证。
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迈克尔逊发明了一种用以测定微小长度、折射率和光波波长的干涉仪，这种干涉仪在研究光谱方面起着重要的作用，被人们称为迈克耳逊干涉仪。为了验证以太的存在，1887年，迈克尔逊与化学家莫雷（Edward Morley,1838-1923年）利用这种干涉仪，作出了著名的迈克耳逊 - 莫雷实验。这个实验不仅否定了以太的存在，并且验证了光的速度与地球自转速度无关：无论是顺着地球自转方向，还是逆着地球自转方法，光的速度都是一样的。光速速绝对是爱因斯坦狭义相对论的基础，为此，迈克尔逊获得1907年度诺贝尔物理学奖，成为美国获得诺贝尔物理学奖的第一个人。
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光的速度确实与其他物体的运动速度有着本质的不同：光的速度与发光物体的运动速度无关。依据这个本质特征，我们可以认为光的速度是绝对的。那么，我们现在需要考虑的问题是：如果光速是绝对的，时间还会是绝对的吗？
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时间是相对的。为了回答这个问题，我们思考一个想象出来的例子。通过下面的讨论可以看到，从思维逻辑的角度考虑，这个想象出来的例子相当于进行了一个实验，这也就是上面曾经提到过的、爱因斯坦所提倡的“思维的实验”。这样的思考是非常重要的，这样的思考正是构建数学模型的现实基础，因为构建模型需要基于现实的想象。如果可能的话，教师应当把这样的思考引入数学教学活动，这对培养学生的想象力是有好处的。
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可以看到，由（A13）给出的路程模型并没有涉及到观察者，因此是一种静态的描述。如果考虑运动者与观测者之间的相对运动，这个模型也是正确的吗？对于这样一类问题，人们通常称运动者与观测者处于不同的惯性系。可以构想下面的例子。
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图A2 列车与地面看到光行走的路线
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如图A2所示，一个人在飞驰的列车上，一个人在地面上。这样，列车上的人和地面上的人就处在两个不同的惯性系。在列车的天棚设置一个发光源，在列车的地板上设置一个反光镜，从发光源向地板直射一束光，那么，两个惯性系的人看到的光行走路线将是不同的：在列车上看，光是垂直向下然后向上，如图中的（a）所示；在地面上看，光走了一个 V 形，如图中的（b）所示。那么，应当如何解释这两种不同的情况呢？
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在具体讨论之前，我们需要认可物理学中的一个基本公理，这就是：
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宇宙中所有各处的物理规律都是一样的。 （A14）
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这个公理意味着，无论是在哪一个惯性系，所用的物理学公式都应当是一样的。显然，无论是从哲学角度、还是从现实角度，这个公理都是无可挑剔的，否则我们生活的宇宙就太杂乱无章了。
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根据上面的基本公理，惯性系 A 的路程模型与惯性系 B 的路程模型应当是一样的。因此，为了回答这个问题，我们需要建立两个（A13）式，然后分析这两个式子之间的关系。这两个式子一个是为列车上的人建立的，一个是为地面上的人建立的。
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设列车上的人所在的惯性系为 A，光走过的距离为 xA，所用时间为tA；设地面上的人所在的惯性系为 B，光走过的距离为 xB，所用时间为tB。用 c 表示光速，用 v 表示列车速度。显然，在惯性系 A 中的速度应当是光速 c；在惯性系 B 中的速度应当是 c + v，但我们已经讨论了光速与发光物体的速度无关，于是有 c + v = v。这样，根据路程模型可以得到
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列车上：xA = ctA；
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地面上：xB = ctB。
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如果我们仍然坚持时间是绝对的：tA = tB，由上面的两个式子，就必然有：xA = xB，这个结果意味着：无论是在列车上的人、还是在地面上的人，所看到光走过的路线应当是一样的。但是，这样的结果与事实不符，因此，如果认可“光速是绝对的”这个假说就必须扬弃“时间是绝对的”这个假说，进而认为时间是相对的：在不同的惯性系中的时间度量是不同的，速度越快的惯性系时间流逝越慢。在这个假说下，在列车上时间的流逝要比地面上时间的流逝慢。这真是一种匪夷所思的设想，但是，现今为止所有观察的结果和实验结果都支持爱因斯坦的这种假说。
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根据这个假说，爱因斯坦借助荷兰数学家、物理学家洛伦兹（Hendrik Lorentz,1853-1928）所提出的一种惯性系之间的变换公式、即洛伦兹变换，建立了时间 tA 与 tB 之间、路程 xA 与 xB 之间的变换公式，在这个变换公式中引进了著名的洛伦兹因子：γ = (1 - v2/c2)-1/2，其中 c 为光速，v 为两个惯性系之间的相对速度。
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现实意义的重要性。既然洛伦兹变换是洛伦兹最先提出的，那么，洛伦兹为什么没有提出狭义相对论呢？下面的故事说明，数学模型的现实解释是至关重要的。
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洛伦兹在研究麦克斯韦方程时发现，如果用伽利略变换（一种基于时间绝对的变换公式）从一个惯性系变换到另一个惯性系时，会导致不同惯性系中麦克斯韦方程、以及各种电磁效应的表达不同，这有悖于（A14）所表述的物理学的公理，这是不能被允许的。为更好地解释麦克斯韦方程，洛伦兹提出了一种新的变换公式，引进了著名的洛伦兹因子。1904年，洛伦兹正式发表了他的研究成果。几乎就是在相同的时间，法国数学家庞加莱（Henri Poincare，1854-1912）从数学的角度也研究了类似的问题，在他的文章中第一次提出了“洛伦兹变换”这个词，并讨论了基于洛伦兹变换的变换群的性质。1905年，爱因斯坦把洛伦兹变换用于时空变换，提出了著名的狭义相对论。
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洛伦兹提出了洛伦兹变化、但没有提出狭义相对论的原因在于，洛伦兹没有更好地理解数学模型中变量的物理意义，特别是没有理解时间 t 的物理意义。正如1915年，洛伦兹在评价爱因斯坦的工作时所说的那样：
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我没有成功的主要原因是我墨守只有变量t可被看作是真正的时间，我的局部时间t'最多只被认为是一个辅助的数学量。
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其中洛伦兹所说的 t 是上面所说的 tB，t' 是上面所说的tA。即便如此，爱因斯坦仍然实事求是地评价了洛伦兹的贡献：
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可以说，没有洛伦兹变换公式也就没有狭义相对论。… 虽然洛伦兹本人从来不认为自己的理论与狭义相对论的发现有密切的关系，而且他一生都不肯放弃绝对空间和绝对时间的时空观念。但是他的方法确实成为狭义相对论的基本数学方法。
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还有一个事实可以进一步说明，在数学模型中理解物理意义、或者说理解现实意义的重要性。“洛伦兹变换”、“相对论”这些名词都是数学家庞加莱提出来的，但庞加莱是从哲学的角度提出的，并没有很好地理解这些词背后的物理意义，因为他始终对爱因斯坦提出的相对论表示怀疑。
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从上面的讨论可以看到，建立、并且解释模型的基础不是数学、也不是哲学，而是对现实故事本身的理解。正如美籍华人物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁（1922-）所说的那样：
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洛伦兹懂了相对论的数学，可是没有懂其中的物理学，庞加莱则是懂了相对论的哲学，但也没有懂其中的物理学。
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现在，还是回到现实世界，我们不能不提出这样的问题：在不同的惯性系中时间不同，这是可能的吗？这个结论意味着：时间的度量是由所在惯性系决定的，这是可能的吗？也就是说，同样一个钟表，在惯性系 A 中度量的时间与在惯性系 B 中度量的时间是不同的，钟表的运行速度与所在惯性系有关，这是可能的吗？为什么会这样呢？
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相对时间的可能性。到目前为止，最精准的度量时间的仪器是原子钟。如果时间是相对的，那么同一台原子钟，在不同的惯性系中得到的时间将是不同的。这真是一件不可思议的事情，但实验结果表明，事实确实如此。比如，带电 π 介子的半衰期是一亿分之十七秒，也就是说，在通常情况下，带电 π 介子每隔一亿分之十七秒粒子就要衰变一半；但是，如果把这种粒子加速到光速的 90% ，则半衰期将会增加两倍多，达到一亿分之三十九秒。正是根据这个原理，在科学实验中，人们利用高速的粒子加速器研究各种粒子的特性。这个结果意味着，在更快的惯性系原子钟将会变慢。
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不知道为什么，古代中国先民凭借直觉似乎感悟到：在不同的场合时间的度量是不同的，因为古代中国的几乎所有涉及到上天的故事，其中关于时间的说法是统一的：天上一日，人间数年。根据爱因斯坦狭义相对论，当相对速度 v 非常接近光速 c 时，洛伦玆因子γ可以非常大，这样，相对时间也可以相差非常大。借助现代科技，人们在宇宙射线中发现，氢原子的原子核的速度与光速相差无几，如果按照地球的时间计算，这种质子穿过银河系的时间需要10万年，但按质子所在惯性系的时间，只需要5分钟。可以想象，如果一个人生活在这种质子所在的惯性系中，地球上已经过了10 万年，对于这个人才过了5分钟，这比“天上一日，人间数年”的说法还要浪漫。
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可是，出现这种情况的原因是什么呢？这个原因就是，在不同的惯性系物体的存在形式不同。为此，爱因斯坦在狭义相对论的基础上，给出了著名的质能变换公式
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E = mc2，
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其中 E 表示能量，m 表示质量，c 表示光速。这个质能变换公式告诉我们，任何物质中都蕴含着大量的能量，比如，通过公式可以计算得到：一克物质中蕴含着 9×1013 焦耳的能量，足以把22吨的水从零度加热到沸腾，这个公式也为制造原子弹奠定了理论基础。进一步，这个公式还意味着，随着速度的增加，物体的动能增加，物体的质量也增加，因此钟表就变慢了。或许可以想象，随着速度的增加，人的新陈代谢也就变慢了。
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通过上面的讨论可以看到，一个简单的路程模型，其中蕴含了多么深刻的物理意义。当然，在小学数学的教学中不可能讲述这些内容，只是希望中小学教师能够通过这个例子更加重视模型的现实性，包括总量模型（加法模型），也包括植树模型和工程模型。
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