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@ -588,11 +588,11 @@ B = { x；x ﹤ a} 和 B = { x；x ≧ a}。
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在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，因此，所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间：点不分大小、线不分宽窄、面不分薄厚。因此，这些抽象了的概念本身是不存在的，或者说，这些抽象了的概念只是一种理念上的存在，具体的讨论参见附录中的话题24。
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因为这些概念源于立体图形，因此小学数学"图形与几何"内容的教学应当首先认识立体图形。为了把握立体图形的特征，可以引导学生对立体图形进行分类，在分类的过程中发现共性和差异。在熟悉了各种立体图形的基础上，在一些特殊的立体图形（比如长方体）中抽象出点、线、面的概念，就像图1那样，关于这方面的讨论可以参见《义务教育数学课程标准》的例58。
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在教学过程中应当注意的是，这些概念涉及的线都是直的，涉及的面都是平的，这是欧几里得几何最显著的特征。为了使这部分的教学更加生动，可以把理解几何概念与计数有机地结合起来，如《义务教育数学课程标准》的例46所表述的那样。
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图1 点、线、面的抽象
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在小学阶段数学教学中，关于点、线、面这些数学概念只能给出描述性定义。比如，关于线段的概念，只能先画出一条线段，然后定义说：称这样的图形为线段。在所有描述性定义的教学中，阐述图形的性质是格外重要的，比如进一步述说：线段有两个端点。这样，线段的一边无限延长则称为射线，射线有一个端点；线段的两边无限延长则称为直线，直线没有端点。显然，这里所说的线段是直线段，在教学过程中不能过分强调"直"，但又应当让学生感悟"直"，因为通过这样的感悟可以得到直线段的一个根本性质：两点间的所有连线中直线段最短，这就为未来学习"距离"构建了直观。
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角是很难描述、也是很难理解的概念。在现行小学和初中的数学教材中，都是用"具有公共端点的两条射线组成的图形"来定义角，这样的定义是非常模糊的[^22]：角是组成图形哪里？是指射线之的面积吗？此外，这样的定义要求角的边的长度是无限的，与现实世界不符，用这样的定义很难解释现实生活中所遇到的角，比如三角形中的角。因此，这样的定义不仅令人费解，并且不可能揭示角的本质。
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图2 如何描述角、如何比较角的大小
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在义务教育阶段、特别是小学教育阶段，关于角还是应当给出描述性定义。比如，可以利用图2中的
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(a) 给出角的描述性定义：
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@ -723,7 +723,7 @@ P(A) = 事件A的可能结果数 / 所有的可能结果数。
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附录：若干与小学数学有关的话题
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话题1 几种古代的数字符号
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所有的创造出文字的古代文明，都创造出了数字符号。下面的图中，给出了几个古代文明所创造的数字符号[^30]。从图中可以看到，古巴比伦楔形数字是以60进位的。
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> height="6.254861111111111in"}
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话题2 数量的本质
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数量的本质是多与少，因为动物也能够分辨出多与少，比如，一只狗对一只狼的反应与对一群狼的反应是不一样的，这就说明狗知道狼数量的多与少。在一本书中描述了一个故事，这个故事表明动物对于数量的多少具有相当强的分辨能力[^31]：
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@ -1107,7 +1107,7 @@ P(1)，P(2)，..., P(k)，...
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人们长期以来习惯于用分数来表示有理数。据记载，最初是荷兰数学家、工程师斯蒂芬（Simon
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Stevin，1548-1620）开始用小数来表示有理数的，但与现在的形式有所不同，他用
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24 3（1）7（2）5（3）
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来表示有理数24。直到十八世纪，一个稳定的十进位小数的表达形式才逐渐形成，即把前面的分数表示为24.375，这种表示方法一直沿用至今。
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来表示有理数24。直到十八世纪，一个稳定的十进位小数的表达形式才逐渐形成，即把前面的分数表示为24.375，这种表示方法一直沿用至今。
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后来，人们尝试用小数来表示无理数。显然，要用小数表示所有的无理数，首先要用小数表示所有的有理数。正如在前几个话题中谈到的那样，在历史上，人们在很长的一段时间是用分数m/n的形式来表示有理数的，其中m，n
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∈ N，n≠0，并且称不能表示为分数形式的数为无理数。
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这样，为了用小数表示有理数，就需要讨论小数与分数之间的关系。并且只需要讨论区间（0,1）中的数，因为其余的数可以通过平移得到。区间（0,1）中的数可以用小数表示为
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@ -1604,14 +1604,14 @@ m/n。可是，如果这个同学只投了1次并且投中了，因为1/1
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从上面的要求可以知道，小学两个学段的内容都涉及数位。理解数位的核心是理解"十进制计数法"的准则，准确地把握数位的概念不仅对于认识数是重要的，对于数的运算也是非常重要的，这个概念贯穿小学"数与代数"学习的始终。
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教学片断设计：通过计数单位认识数位"万"
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1．拿出一个千位的第纳斯木块：数小正方体的个数
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教师带领学生一起数小正方体的个数，启发学生："正面最下一行有几个？"学生回答"十"以后，教师总结："10个个是十"。教师接着启发学生："正面有几个小正方体？"并引导学生通过列来数：二十、三十、......。学生回答"一百"以后，教师总结："10个十是百"。然后教师启发学生："一共有多少小正方体？"并引导学生通过纵向来数：二百、三百、......。学生回答"一千"以后，教师总结："10个百是千"。
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2．拿出十个千位的第纳斯木块：数小正方体的个数
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教师给出"万"的定义："这里有十个木块模型，表示有一万个小正方体。"然后问学生："万是多少个千？"然后逐一数木块模型：二千、三千、......。学生回答"10个一千"以后，教师总结："10个千是万"。
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教师总结说："在个、十、百、千的基础上，今天我们又知道了万。我们把个、十、百、千、万叫做计数单位，也叫数位。"然后，教师启发学生回答这些计数单位之间的关系，一定要让学生自己得到答案：数位相依差10倍。最后告诉学生问题的核心：数位依次相差10倍，就是十进制计数法。在教学过程中可以说一些轻松的话题，比如：人们采用十进位制计数法大概是因为人有十个手指头。
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3．拿出零乱的第纳斯木块：数小正方体的个数
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教师启发学生如何用计数单位来数小正方体的个数。学生自然而然地就会把一样单位的第纳斯放在一起，然后数出各个单位的个数。如果学生的摆放是杂乱的，比如，3个百放到一起、4个十放到一起、2个千放到一起，教师要启发学生按照数位的顺序摆放，最后计算出小正方体的个数。
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4．用第纳斯木块表示给出的数
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教师提问："如何用木块表示2342这个数？"然后引导学生操作，在操作过程中引发学生思考：个位的数是2，千位的数也是2，可以用一样的木块表示吗？
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@ -1808,7 +1808,7 @@ m（m﹤n）个1份表示为m/n、读作"n分之m"。让每一个学生说出一
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教学片断设计：乘法的意义
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1. 发现生活中的乘法
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借助下面的图画，教师讲故事。某一个班级根据学生的兴趣，分两个小组活动：一个小组进行体育活动，活动内容是学习轮滑；一个小组进行文艺活动，活动内容是排练合唱。现在请同学们帮助老师数一数，这两个小组各有多少同学。
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> 
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> 
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> height="1.8006944444444444in"}
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教师提出问题："容易计算的是哪个小组的人数？"
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学生能够回答："合唱小组。"
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@ -1816,8 +1816,8 @@ m（m﹤n）个1份表示为m/n、读作"n分之m"。让每一个学生说出一
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学生的回答可能是五花八门的，比如，排队整齐，看得清楚等等。
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然后，教师要引发学生抽象出问题的本质：每一行的人数相等、或者每一列的人数相等。比如，教师可以启发学生说："排队整齐就会怎么样啊？"引导学生自己得到结论。
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教师给出下面抽象了的图，解释什么是行的人数相等、列的人数相等。
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{width="2.115972222222222in"
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{width="2.7083333333333335in"
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{width="2.115972222222222in"
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{width="2.7083333333333335in"
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对于第一个图，教师引领学生读出列数、并在黑板上书写：
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2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 20
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引导学生认识这个加法的特征：加数都是一样的。启发学生："一共有几个加数？"当学生回答"10个"以后，教师写出乘法的算式：
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@ -1827,8 +1827,8 @@ m（m﹤n）个1份表示为m/n、读作"n分之m"。让每一个学生说出一
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然后，教师利用第二个图，解释乘法：10 + 10 = 10 × 2 = 20。
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2. 用图形理解乘法
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教师进一步给出图形，让学生画出被乘数（不需要指明这个概念）、写出上面的通过加法得到乘法的算式、计算结果。比如，通过下面两个图形
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{width="1.5229166666666667in"
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{width="1.4354166666666666in"
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{width="1.5229166666666667in"
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{width="1.4354166666666666in"
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分别得到算式：
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5 + 5 + 5 + 5 = 5 × 4 = 20；
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4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 5 = 20。
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@ -1856,7 +1856,7 @@ a ÷ b = a × (1/b)。
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对于后一种表示方法，称1/b为b的倒数，因此，后一种表示方法可以用语言叙述为："除以一个数等于乘以这个数的倒数"。这种表示方法更多地应用于分数的除法："除以一个分数等于乘以这个分数的倒数"。因此，在学生最初认识倒数时，更多地是关注分数的倒数。
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教学片断设计：认识倒数
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> 1. 通过分数认识1
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教师通过媒体演示，把一个月饼分为六份（如上第一个图所示）。教师指着其中的一份、并以回忆的口气询问学生：
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"每份月饼是原来月饼的多少？"
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当学生回答1/6以后，教师在黑板上书写：1×1/6 =
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@ -1878,7 +1878,7 @@ B: 3/4 × 4/3 = ﹏ ， 7/2 × 2/7 = ﹏ ， 5/9 × 9/5 = ﹏ ，7/6 × 6/7 =
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a × b = 1，
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称a和b互为倒数。然后再补充说：因为任何数乘以0到不能为1，所以0没有倒数。
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3. 通过倒数计算除数为分数时的除法
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仍然回到分月饼的媒体演示。如上面第一个图所示：把一个月饼分成六份。教师提出问题：
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"半块月饼是一个月饼的多少？"
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当学生回答1/2以后，教师在黑板上书写"1/2"。然后利用媒体演示，如上第二个图所示：把六份月饼分为相等的两堆（两堆各三份），教师引导学生思考：
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@ -1979,8 +1979,8 @@ t。
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2 × 3 = 6，3 × 2 = 6 → 2 × 3 = 3 × 2，
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7 × 8 = 56， 8 × 7 = 56 → 7 × 8 = 8 × 7，
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教师提出问题："是不是对所有的数，乘法的两个因子都可以交换呢？"学生的回答很可能是肯定的，既便如此，教师仍然进一步提出问题："为什么会这样呢？"一般来说，学生回答不了这个问题。于是教师引导学生思考："我们来回忆一下乘法是什么"，然后用媒体显示下面的图
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{width="1.5229166666666667in"
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{width="1.4354166666666666in"
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{width="1.5229166666666667in"
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{width="1.4354166666666666in"
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启发学生回答"左边的算式是什么"，当学生回答5×4以后，教师在黑板上写出算式；进一步启发学生回答"右边的算式是什么"，当学生回答4×5以后，教师在黑板上写出算式。教师问："这两个算式是不是相等的？"学生回答相等之后，教师一边在两个式子之间写上等号，一边问学生："为什么相等啊？"这时，学生的回答可能是多样的，教师要归纳出下面的结论
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行数 × 列数 = 列数 × 行数
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并且总结说："乘法是加法的简便运算，先算行、还是先算列，结果都是一样的。"教师进一步提问："如果要用字母表示这个性质，应当如何表示呢？"启发学生用a表示"行"、用b表示"列"，于是可以得到一般表达式
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@ -2029,23 +2029,23 @@ x的含义也是必要的。
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1. 创设情境引发思考，体会路程、速度、时间之间的关系
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在学习之前，学生是对速度、路程、时间这些概念是知道的，但不一定真正理解。事实上，只有通过三者之间的关系，才能真正理解这些概念的含义；反之，只有真正理解了这些概念的含义，才可能准确表达三者之间的关系。可以通过缺失信息的方法来理解概念，本片段的重点是理解速度，并且通过速度来认识路程模型。
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什么是速度。教师给出下面的情境讲故事：早晨，小丽和小强在学校见面，分别询问对方上学所需要的时间。同学们是否能帮他们比一比，谁走得更快些？
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可能会有一部分学生觉得小丽走的快一些，因为花费的时间少；也可能会有一部分学生认为没有办法进行比较，因为不知道谁家远。这时，教师要引发学生思考：如果再知道了什么，就可以知道谁的速度更快一些。然后，让学生举例说明。
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学生举的例子可能是五花八门的，比如，小丽和小强的家离的很近、小丽的家离学校更近、小强的家离学校更近、等等。无论如何，教师要引发学生思考：应当如何判断速度的快慢。引导学生注意：速度的快慢不仅与时间有关，而且与距离有关。让学生感悟：速度
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= 距离/时间。
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如何度量速度。学生已经知道，通过距离和时间可以度量速度。教师通过下面的实际例子，希望学生知道如何计算速度。教师利用下面的图，讲述关于速度的故事：左边的图是神舟飞船在轨道上运行，右边的图是自行车运动员在野外练习。由图上看，每个单位的速度都是8千米，那么，神舟飞船和自行车运动员速度是一样的吗？
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让学生回答，应当如何表示速度的单位：米/秒，米/小时；千米/秒，千米/小时。其中，分子表示的是距离单位，分母表示的是时间单位。让学生理解：只有单位一样才能比较速度的快慢。如果学生有较好的理解能力，可以让学生知道，我们所说的时间是一个平均数：物体行驶一段距离之后，是用这段距离除以所用时间得到的。
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让学生询问家长、或者查阅与速度有关的资料，在课堂上讲述与速度有关的故事。在询问或查阅过程中要掌握两个基本要素：交通方式，单位时间的速度、即单位时间的距离。让学生知道：速度
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= 距离/时间，反之，距离 =
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速度×时间。比如，得到下面的一些图、以及关于速度的说明：
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并且，可以提出相关的问题：
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成人步行10分钟大约行走多少距离？飞机飞行1小时大约飞行距离？声音传播从操场的一边到另一边大约需要时间？从太阳到地球光行走大约需要多少时间？
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2. 通过算式理解模型的变化
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教师可以通过图画等，讲述模型变化的故事。比如，利用下面的图和算式：
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height="1.5972222222222223in"}小
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教师可以提出问题：同学们能不能帮助这几位同学解释一下算式的意义？
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教师要引导学生知道路程模型的基本形态：路程 =
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@ -2074,7 +2074,7 @@ height="1.5972222222222223in"}小
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进一步，让学生利用身边的物体说明什么是角。比如，桌面上有四个角，数学教科书上有角，红领巾上有角，等等。让学生感悟角的特征：边是直的，前端是尖的，角的大小与边长无关。
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教师利用角的大小讲解什么是直角、锐角、钝角。然后进入具体操作阶段：发给每一位同学一张长方形的纸，根据教师的要求，让学生动手折出一个角、并说明是什么角。教师再一次总结："如果两个线段的一个端点重合，我们把两个线段所夹部分叫做角，把这两个线段叫做角的边。"
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2. 通过画图抽象出角
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引导学生理解"角"的有效方法是让学生利用"尺规作图"画出"角"的图，因为几何作图是思维抽象的具体表达。比如，让学生利用铅笔和直尺，在纸上画出如上面图（a）那样角，同桌讨论：图中的什么是角。还可以画出直角、钝角，探讨如何画直角。
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然后可以如图（b）那样，通过画图比较两个角的大小：因为∠2包含∠1，所以∠2大于∠1，从而理解什么是角的大小。对于理解力比较好的学生，还可以演示图（c），启发学生思考：角的大小是由什么决定的？
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教学设计分析：对于小学低年级学生，认识角要比认识线段更困难一些，因为在开始阶段，角的指向并不很明显。因此，通过教具"表"认识"角"是有意义的，只有通过角的大小的变化才能让学生对角的指向有直观感受。特别是，教师由角的具体描述过度到角的一般定义，可以让学生感悟定义的抽象过程。第二阶段的教学，通过学生自己的几何作图认识角、感悟角的大小也是重要的，有利于学生清晰地把握角的概念。
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@ -2103,7 +2103,7 @@ height="1.5972222222222223in"}小
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当学生学习了平移、旋转和轴对称的内容之后，安排"综合与实践"的课程是必要的，可以让学生感悟三种运动的共性与差异，从而加深对三种运动的理解，加深对图形刚体运动的理解。在教学的过程之中，引导学生学会记录图形运动的过程是必要的，这是一种数学的基本素养。
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教学片断设计：平移、旋转的综合运用
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1. 在图画变化的过程中感悟图形的运动
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分小组活动，要求学生吧上面左边的图变化为右边的图，并用平移和旋转记录运动的过程。在这个过程中一定要帮助学生积累思维的经验和实践的经验：思维清晰、层次鲜明。比如，首先用符号确定图的坐标，这个坐标可以是一维的、也可以是二维的。
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一维坐标就是对每个小方块标上1个数字，如果以"行"为基准，就是每行4个数字，总体从1到16，而图所占坐标是6、7、10、11。
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二维坐标就是对每个小方块标上2个数字，如果还是以"行"为基准，就是每行4对数字，总体从16对数字，而图所占坐标是
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@ -2139,11 +2139,11 @@ height="1.5972222222222223in"}小
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俄罗斯 24 26 32 82
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教师引导学生分6个小组讨论、画条形统计图。教师引发学生思考：这个统计表的数据告诉我们很多信息，现在，同学们能不能用图表示第30届伦敦奥运会中国获奖情况？在这个阶段，学生画出的图可能是各种各样的。
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教师帮助学生理清思路，在黑板上画出横轴与纵轴，启发学生思考：是不是要分出金牌、银牌、铜牌？得到学生的认可之后，教师在横轴上画出三段四个标记，在每段下面表明金、银、铜。再启发学生思考：金牌是多少？根据学生的回答，在纵轴的适当位置标出38。同样的方法，得到27和23。然后横轴与纵轴的标记连线，得到下面的条形统计图。
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然后，让每两个小组分别画出美国、英国、俄罗斯的获奖情况，提醒学生画直方图注意事项：横轴与纵轴刻度比例合理，图形大小适当。比较各小组画出的图，让学生知道如何画直方图。通过图形直观分析各个国家获金牌的情况：美国金牌较多、但银牌铜牌较少；中国比较适度；英国的图形结构与美国相似；俄罗斯银牌较多、但金牌较少。让学生从中领悟使用直方图分析问题的便捷。
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2. 利用条形统计图分析数据
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教师启发学生思考：能不能用一个图，把四个国家获奖牌的情况都放在一起？让学生出主意：如果要放在一起，应当怎么放？对于学生的各种回答，教师要点出问题的要点：分类。可以以奖牌分类，也就是分成：金牌、银牌、铜牌；还可以以国家分类。然后启发学生想象：如果以国家分类，得到的图就是把以前做过的四个图合并在一起。于是尝试以奖牌分类、做直方图，让每一个同学画出下面的图。
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引导学生利用上面的图，预测第31届里约热内卢奥运会的情况。学生的回答可以是多种多样的，对于这样的问题，教师的主要工作是引导学生"论述有据"，也就是说，引导学生能够依据数据回答问题，比如，美国与中国获取金牌数量还可能是前两名，因为英国与俄罗斯的差距比较大；再比如，俄罗斯可能会超过英国，因为俄罗斯的奖牌总量比英国多许多，因此有更大的潜力；等等。最后，教师总结说，同学们的说法都有一定的道理，但只通过一届奥运会的成绩进行预测，可靠性还是不够的，应当利用更多的历史数据，比如连续五年的，这就是下次课我们要讲折线统计图。
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教学设计分析：制作统计图的目的是为了直观地表示数据、直观地分析数据，统计图已经成为现代生活中不可缺少的表达信息的工具。因此，统计图的教学不仅是为了向学生传授数学知识，也是为了培养学生的数学素养。
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教学设计选取了刚刚闭幕的伦敦奥运会的资料，这样的背景现实有趣，能够引发学生的学习兴趣。教学设计的第一步是从统计表到条形统计图，可以让学生切实感受条形统计图的直观性，教师在学生的能够在讨论中归纳总结出画条形统计图的要点，帮助学生理清思路。在这个基础上，启发学生把四个国家的数据归纳到一个条形统计图中，进行数据比较，进一步帮助学生理解统计图的作用。最后，通过预测的故事，引出下一节课要讲述的内容。
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教学片断设计：估计投篮命中率
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1. 通过样本感悟随机性
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教师讲述小明投篮的故事。小强非常喜欢打篮球，长大了想当一名篮球运动员。小强让体育老师测验自己投篮的命中率，体育老师在一个星期的5天里，每天测验一次，每次定点投篮10次，投中球数的记录如下：第一天3个、第二天4个、第三天3个、第四天6个、第五天4个。如下图所示，教师要求学生用图表示小强投篮的情况，帮助小强计算平均每天投中几个球，并且利用平均数帮助小强估计投篮的命中率。
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因为小强五天一共投中3 + 4 + 3 + 6 + 4 = 20个球，以此平均每天投中20/5 =
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4个球。计算模式是：平均数 =
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进球数/天数。在计算平均数的过程中，教师应当让学生感悟到：虽然小强每天都投球10次，但进球数却是不确定的；虽然不确定，但进球数相对稳定在平均数附近。这就是对随机性感悟，对统计意义上的平均数的感悟。
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三角形三边关系的证明
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证明方法如下：
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作下图所示的三角形ABC。在三角形ABC中，[三角不等式](https://zhida.zhihu.com/search?content_id=248217850&content_type=Article&match_order=1&q=%E4%B8%89%E8%A7%92%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F&zd_token=eyJhbGciOiJIUzI1NiIsInR5cCI6IkpXVCJ9.eyJpc3MiOiJ6aGlkYV9zZXJ2ZXIiLCJleHAiOjE3NTIzNzg0NDAsInEiOiLkuInop5LkuI3nrYnlvI8iLCJ6aGlkYV9zb3VyY2UiOiJlbnRpdHkiLCJjb250ZW50X2lkIjoyNDgyMTc4NTAsImNvbnRlbnRfdHlwZSI6IkFydGljbGUiLCJtYXRjaF9vcmRlciI6MSwiemRfdG9rZW4iOm51bGx9.rH6r8SvGmu-I9piEsmZfg2HjbXzUduYclZ2jfA3jZRs&zhida_source=entity)可以表示为\|AB\|+\|BC\|＞\|AC\|。
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①延长直线AB至点D，并使\|BD\|=\|BC\|，连接\|DC\|，那么三角形BCD为等腰三角形。所以∠BDC=∠BCD。
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②记它们均为α，根据[欧几里得第五公理](https://zhida.zhihu.com/search?content_id=248217850&content_type=Article&match_order=1&q=%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AC%AC%E4%BA%94%E5%85%AC%E7%90%86&zd_token=eyJhbGciOiJIUzI1NiIsInR5cCI6IkpXVCJ9.eyJpc3MiOiJ6aGlkYV9zZXJ2ZXIiLCJleHAiOjE3NTIzNzg0NDAsInEiOiLmrKflh6Dph4zlvpfnrKzkupTlhaznkIYiLCJ6aGlkYV9zb3VyY2UiOiJlbnRpdHkiLCJjb250ZW50X2lkIjoyNDgyMTc4NTAsImNvbnRlbnRfdHlwZSI6IkFydGljbGUiLCJtYXRjaF9vcmRlciI6MSwiemRfdG9rZW4iOm51bGx9.ltcWsMYJv-ZzcuBaSjYN69JC8hnIyPMFsfhIlum4yqc&zhida_source=entity)，∠ACD大于角∠ADC(α)。
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③由于∠ACD的对边为AD，∠ADC(α)的对边为AC，所以根据大角对大边([几何原本](https://zhida.zhihu.com/search?content_id=248217850&content_type=Article&match_order=1&q=%E5%87%A0%E4%BD%95%E5%8E%9F%E6%9C%AC&zd_token=eyJhbGciOiJIUzI1NiIsInR5cCI6IkpXVCJ9.eyJpc3MiOiJ6aGlkYV9zZXJ2ZXIiLCJleHAiOjE3NTIzNzg0NDAsInEiOiLlh6DkvZXljp_mnKwiLCJ6aGlkYV9zb3VyY2UiOiJlbnRpdHkiLCJjb250ZW50X2lkIjoyNDgyMTc4NTAsImNvbnRlbnRfdHlwZSI6IkFydGljbGUiLCJtYXRjaF9vcmRlciI6MSwiemRfdG9rZW4iOm51bGx9.Q1rCY0S2bj5Dwp3Fg7xb_VSFESz2_pCUETDybnHANvo&zhida_source=entity)中的命题19)就可以得到\|AB\|+\|BC\|=\|AB\|+\|BD\|=\|AD\|＞\|AC\|。
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求证：在三角形ABC中，P为其内部任意一点。请证明：∠BPC \> ∠A。
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证明过程：
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延长BP交AC于D
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∵∠BPC是△PCD的一个外角，∠PDC是△BAD的一个外角
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∴∠BPC=∠PCD+∠PDC，∠PDC=∠DBA+∠A
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