'commit'

dsRag/Tools/T2_SplitTxt.py

@@ -1,7 +1,13 @@
+import re
 import os
 
 from Util.SplitDocxUtil import SplitDocxUtil
 
+def split_into_blocks(text):
+    """使用正则表达式匹配问题和话题的标题及内容"""
+    pattern = r'(问题\d+|话题\d+)([\s\S]+?)(?=问题\d+|话题\d+|$)'
+    blocks = re.findall(pattern, text, re.DOTALL)
+    return [(i+1, title + content) for i, (title, content) in enumerate(blocks)]
 
 def process_document(input_path, output_dir):
     """处理文档主函数"""
@@ -10,19 +16,26 @@ def process_document(input_path, output_dir):
         print("无法读取输入文件内容")
         return False
     
-    # 确保输出目录存在
+    # 确保输出目录存在并清空目录
+    if os.path.exists(output_dir):
+        for file in os.listdir(output_dir):
+            os.remove(os.path.join(output_dir, file))
     os.makedirs(output_dir, exist_ok=True)
-    
-    chunks = SplitDocxUtil.split_text(text)
+
+    chunks = split_into_blocks(text)
     print(f"共分割出{len(chunks)}个段落块")
-    
+
+    saved_count = 0
     for chunk_num, chunk in chunks:
+        chunk = chunk.strip()  # 确保去除空白字符
         output_file = os.path.join(output_dir, f"{chunk_num}.txt")
-        save_to_txt(chunk, output_file, mode='w')
-    
-    print(f"处理完成，结果已保存到目录: {output_dir}")
-    return True
+        if save_to_txt(chunk, output_file, mode='w'):
+            saved_count += 1
+
+    print(f"处理完成，共保存{saved_count}个文件到目录: {output_dir}")
+    return saved_count > 0
 
+# 保留原有的save_to_txt函数
 def save_to_txt(content, file_path, mode='w'):
     """将内容保存到文本文件"""
     try:

dsRag/Tools/T4_DeepSeekRag.py

@@ -108,6 +108,6 @@ def search_related_data(query):
 
 if __name__ == "__main__":
     #user_query = input("请输入您的查询要求：")
-    user_query = "帮我根据“设计投篮的故事”写一篇教案"
+    user_query = "小学数学中有哪些模型？"
     report = process_query(user_query)
     print(report)

dsRag/Txt/processed_chunks/1.txt

@@ -1,5 +1,2 @@
-
-
-小学数学教学中的若干问题
-
-史宁中
+问题1  数量是什么？数量关系的本质是什么？
+         数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少

dsRag/Txt/processed_chunks/10.txt

@@ -1,5 +1,2 @@
-问题2  如何认识自然数？
-
-数是对数量的抽象 / 数关系是对数量关系的抽象：大与小 / 可以有两种方法实现这种抽
-
-象：对应的方法和定义的方法
+问题10  为什么说减法是加法的逆运算？
+四则运算源于加法 / 减法是加法的逆运算 / 相反数 / 整数集合

dsRag/Txt/processed_chunks/100.txt

@@ -1,5 +1,7 @@
-话题17  数学归纳法的逻辑基础
-
-话题18  用小数定义有理数和无理数
-
-话题19  乘法的定义
+话题12。
+后来，年轻的高斯（Johann Gauss，1777-1855）把这种表达方式引入高次方程的研究，高斯在他的博士论文中给出了代数基本定理，用代数因子乘积的方法清晰地构建了高次方程的基本结构。对于一个n次多项式
+f(x) = xn + an-1 xn-1 + … + a1 x + a0，
+其中a0，a1，…, an-1 为多项式的系数，x 表示未知数。代数基本定理述说了这样一个基本事实：存在n个实数或者复数x1，…，xn,使得
+f(x) = (x - x1) … (x - xn)。
+这样，很容易验证x1，…，xn 都是方程f(x) = 0的根。也就是说，代数基本定理给出了一个非常重要的结果：在复数范围内，n次方程必然有n个根，并且，这些根是由系数唯一确定的。
+    顺便说一句，二次方程因式分解中的十字相乘法不是本质的、因而是不重要的，因为通过求根公式可以得到方程的根，然后用上述高斯的方法就可以写成两个因式的乘积。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-勾股定理。古代中国很早就知道了直角三角形边长之间的关系，人们称这个关系为勾股定理或者商高定理。这些名称大概来源于《周髀算经》，因为这本书中记载，当周公问商高：古代伏羲在制定历法时是如何计算太阳高度的，商高回答：
-
-勾广三，股修四，径隅五。
-
-商高是用具体数字来回答问题的：如果一个直角三角形两个直角边（勾和股）的长度分别为3和4，那么斜边（径）的长度就是5。虽然商高的回答没有述说一般性的结论，但商高显然知道：对应直角边成比例的两个直角三角形相似，因此，我们可以把商高的述说理解为一般性的结论。《周髀算经》没有对定理进行证明。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-勾广三，股修四，径隅五。
-
-商高是用具体数字来回答问题的：如果一个直角三角形两个直角边（勾和股）的长度分别为3和4，那么斜边（径）的长度就是5。虽然商高的回答没有述说一般性的结论，但商高显然知道：对应直角边成比例的两个直角三角形相似，因此，我们可以把商高的述说理解为一般性的结论。《周髀算经》没有对定理进行证明。
-
-现在我们知道，这个关系可以用符号表示为

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@@ -1,5 +0,0 @@
-商高是用具体数字来回答问题的：如果一个直角三角形两个直角边（勾和股）的长度分别为3和4，那么斜边（径）的长度就是5。虽然商高的回答没有述说一般性的结论，但商高显然知道：对应直角边成比例的两个直角三角形相似，因此，我们可以把商高的述说理解为一般性的结论。《周髀算经》没有对定理进行证明。
-
-现在我们知道，这个关系可以用符号表示为
-
-a2 + b2 = c2，

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@@ -1,5 +0,0 @@
-现在我们知道，这个关系可以用符号表示为
-
-a2 + b2 = c2，
-
-其中a和b分别表示两条直角边长，c表示斜边长。可以看到，这样的表达既简洁又确切，从中可以充分体会到利用符号表达公式的意义。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-a2 + b2 = c2，
-
-其中a和b分别表示两条直角边长，c表示斜边长。可以看到，这样的表达既简洁又确切，从中可以充分体会到利用符号表达公式的意义。
-
-不用符号表达的弊病。学会用抽象的符号表达一般的数学关系和运算法则，绝不是一件轻而易举的事情。但是，不进行抽象符号表达至少会带来两个弊病：一是很难进行更加深入的研究，二是很难进行知识的传播。古代中国有过许多重要的数学成果，就是因为没有抽象为符号表达，后来这些数学成果没有得到深入，也没有得到传承，比如，元代数学家朱世杰（1249－1314）的工作。朱世杰在1303年左右出版了数学著作《四元玉鉴》，这部

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@@ -1,5 +0,0 @@
-其中a和b分别表示两条直角边长，c表示斜边长。可以看到，这样的表达既简洁又确切，从中可以充分体会到利用符号表达公式的意义。
-
-不用符号表达的弊病。学会用抽象的符号表达一般的数学关系和运算法则，绝不是一件轻而易举的事情。但是，不进行抽象符号表达至少会带来两个弊病：一是很难进行更加深入的研究，二是很难进行知识的传播。古代中国有过许多重要的数学成果，就是因为没有抽象为符号表达，后来这些数学成果没有得到深入，也没有得到传承，比如，元代数学家朱世杰（1249－1314）的工作。朱世杰在1303年左右出版了数学著作《四元玉鉴》，这部著作述说了许多高维的数学问题，比如，书中提出的“四元术”是一种解多元高次联立方程组的方法、提出的“招差术”是一种高次内插法；书还述说了从立体角度思考的数学问题，比如，书中提出的“垛积术”就是一种从立体层面考虑的三维的级数求和方法。可惜的是，在朱世杰的这部书中，无论是问题的提出、还是结果的描述几乎都是具体的数值，没有抽象成一般性的符号表达，因此，很难让人理解问题的本质和结果的含义，也能难让人揣摩解决问题的思路，因此明清以后几乎就没有人能够理解朱世杰的工作了。
-
-数学抽象的本质。由此可见，用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象，用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题，对数学是何等重要。那么，到底什么是数学的抽象呢？数学抽象的本质是什么呢？我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中，亚里士多德对抽象的方法阐述到：

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@@ -1,5 +0,0 @@
-种解多元高次联立方程组的方法、提出的“招差术”是一种高次内插法；书还述说了从立体角度思考的数学问题，比如，书中提出的“垛积术”就是一种从立体层面考虑的三维的级数求和方法。可惜的是，在朱世杰的这部书中，无论是问题的提出、还是结果的描述几乎都是具体的数值，没有抽象成一般性的符号表达，因此，很难让人理解问题的本质和结果的含义，也能难让人揣摩解决问题的思路，因此明清以后几乎就没有人能够理解朱世杰的工作了。
-
-数学抽象的本质。由此可见，用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象，用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题，对数学是何等重要。那么，到底什么是数学的抽象呢？数学抽象的本质是什么呢？我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中，亚里士多德对抽象的方法阐述到：
-
-数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系，有时研究可通约性，还研究各种比例等等。…… 数学家把共同原理用于个别情况，…… 等量减等量余量相等，这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-数学抽象的本质。由此可见，用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象，用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题，对数学是何等重要。那么，到底什么是数学的抽象呢？数学抽象的本质是什么呢？我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中，亚里士多德对抽象的方法阐述到：
-
-数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系，有时研究可通约性，还研究各种比例等等。…… 数学家把共同原理用于个别情况，…… 等量减等量余量相等，这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系。
-
-事实正是如此，数学抽象至少要把握两条：一条是去掉现实世界中事物的那些感性的东西，只保留事物的数量特征或者图形特征、以及数量或者图形之间的关系，并且创造符号、建立概念来表达这些特征和关系，比如，创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系；再比如，抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系；另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身

dsRag/Txt/processed_chunks/1008.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热，剩下的只有数量和关系，而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系，有时研究可通约性，还研究各种比例等等。…… 数学家把共同原理用于个别情况，…… 等量减等量余量相等，这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言，线、角，或者其他的量（的定义），不是作为存在而是作为关系。
-
-事实正是如此，数学抽象至少要把握两条：一条是去掉现实世界中事物的那些感性的东西，只保留事物的数量特征或者图形特征、以及数量或者图形之间的关系，并且创造符号、建立概念来表达这些特征和关系，比如，创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系；再比如，抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系；另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身，而是研究概念之间的关系，并且建立运算法则和数学命题来表述这种关系。这样，在本质上，数学只有两种形式上的抽象：一种是数量与数量关系的抽象，一种是图形与图形关系的抽象。
-
-那么，抽象了的东西是如何存在的呢？显然，抽象了的东西不可能是具体的存在。比如数字3，在这个世界上并不存在一个抽象了的3，而只存在具体的三匹马、或者具体的三头牛。因此，抽象了的符号和概念不是具体的存在，其存在性体现于每一个具体。

dsRag/Txt/processed_chunks/1009.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-表达这些特征和关系，比如，创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系；再比如，抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系；另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身，而是研究概念之间的关系，并且建立运算法则和数学命题来表述这种关系。这样，在本质上，数学只有两种形式上的抽象：一种是数量与数量关系的抽象，一种是图形与图形关系的抽象。
-
-那么，抽象了的东西是如何存在的呢？显然，抽象了的东西不可能是具体的存在。比如数字3，在这个世界上并不存在一个抽象了的3，而只存在具体的三匹马、或者具体的三头牛。因此，抽象了的符号和概念不是具体的存在，其存在性体现于每一个具体。
-
-或许可以这样说，抽象了的符号或者概念是一种抽象的存在，存在于人们的大脑之中。比如，我们看到足球、看到乒乓球，可以抽象出圆的概念，但是脱离了足球、脱离了乒乓球，我们仍然有圆的概念，借助这样的概念我们能够在黑板上画出圆来，甚至借助这样的概念我们可以定义圆、可以研究圆的各种性质。显然我们画出来的圆、我们讨论的圆，依赖的是头脑中存在的抽象了的圆，而不是曾经看到过的足球、乒乓球的简单复制，关于这一点，正如明

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@@ -1,5 +1,8 @@
-话题18  用小数定义有理数和无理数
-
-话题19  乘法的定义
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-话题20  除法运算规定0不能为除数
+问题5  如何认识负数？
+在小学阶段、甚至在整个义务教育阶段，数学教学中所涉及到的数都有明确的现实背景（所涉及到的法则也都有着明确的现实背景），负数也不例外。因此，虽然可以通过减法来定义负数，但负数的本质还是对数量的抽象，所代表的意义与正数是完全相反的。比如，某一个家庭每个月底都要计算这个月的收支情况，第一月份盈余30元钱，第2月份亏损15元钱，那么，应当如何用数字符号来表示这个家庭的收支情况呢？如果用自然数表示盈余，那么就需要创造出一个新的数来表示亏损。人们通常称这样的数为负数：用负数表示亏损。
+人们约定：在自然数的前面加上符号“-”表示负数，并称这个符号为“负号”。比如，在2的前面加上负号就变成了-2。用这样的方法表示负数是非常有道理的，因为负数与对应的自然数在数量上是相等的，表示的意义是相反的：一个是盈余、一个是亏损；一个是向西，一个是向东；一个是前进，一个是后退。所以，在一个自然数的前面加上符号“+”或者“-”是为了表示这个数量的性质，分别称其为“正数”或者“负数”。后来，人们定义距离和绝对值也是基于这个道理，并且根据现实生活的经验规定：
+数量越大（或者说绝对值越大）的正数越大；
+数量越大（或者说绝对值越大）的负数越小；
+0是正数和负数的分水岭，既不是正数也不是负数。
+这样，上面所说的那个家庭的收支情况就可以表示为：+30，-15，或者简约表示为：30，-15。因此，负数是因为日常生活和生产实践的需要创造出来的，并且，与正数的教学方法一样，也可以用这种对应的方法进行负数的教学。
+现有资料表明，最早提到负数、并且给出了正负数加减运算法则的是中国的《九章算术》，在这本书的“方程”篇中讨论了“正负术”，用不同颜色的算筹解释了加减法的运算法则，一个具体的例子可以参见附录中的

dsRag/Txt/processed_chunks/1010.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-那么，抽象了的东西是如何存在的呢？显然，抽象了的东西不可能是具体的存在。比如数字3，在这个世界上并不存在一个抽象了的3，而只存在具体的三匹马、或者具体的三头牛。因此，抽象了的符号和概念不是具体的存在，其存在性体现于每一个具体。
-
-或许可以这样说，抽象了的符号或者概念是一种抽象的存在，存在于人们的大脑之中。比如，我们看到足球、看到乒乓球，可以抽象出圆的概念，但是脱离了足球、脱离了乒乓球，我们仍然有圆的概念，借助这样的概念我们能够在黑板上画出圆来，甚至借助这样的概念我们可以定义圆、可以研究圆的各种性质。显然我们画出来的圆、我们讨论的圆，依赖的是头脑中存在的抽象了的圆，而不是曾经看到过的足球、乒乓球的简单复制，关于这一点，正如明代画家郑板桥（1693-1765）所说的那样：“我画的是胸中之竹，不是眼中之竹。”我们称这样的存在为抽象了的存在。
-
-话题23  路程模型：绝对时间与相对时间

dsRag/Txt/processed_chunks/1011.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-象出圆的概念，但是脱离了足球、脱离了乒乓球，我们仍然有圆的概念，借助这样的概念我们能够在黑板上画出圆来，甚至借助这样的概念我们可以定义圆、可以研究圆的各种性质。显然我们画出来的圆、我们讨论的圆，依赖的是头脑中存在的抽象了的圆，而不是曾经看到过的足球、乒乓球的简单复制，关于这一点，正如明代画家郑板桥（1693-1765）所说的那样：“我画的是胸中之竹，不是眼中之竹。”我们称这样的存在为抽象了的存在。
-
-话题23  路程模型：绝对时间与相对时间
-
-在问题18 中讨论了小学数学涉及到的几种模型，这个话题将深入讨论其中的路程模型。讨论的目的想说明：模型的重要性不仅仅在于数学的表达，而更重要的是对现实世界的解释。模型中的每一个量都有其现实意义，而且在许多情况下，现实意义解释的不同会使模型发生质的变化。我们借用路程模型来述说其中的道理。

dsRag/Txt/processed_chunks/1012.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-话题23  路程模型：绝对时间与相对时间
-
-在问题18 中讨论了小学数学涉及到的几种模型，这个话题将深入讨论其中的路程模型。讨论的目的想说明：模型的重要性不仅仅在于数学的表达，而更重要的是对现实世界的解释。模型中的每一个量都有其现实意义，而且在许多情况下，现实意义解释的不同会使模型发生质的变化。我们借用路程模型来述说其中的道理。
-
-路程模型表述的是：距离、速度、时间这三者之间的关系。如果用 x 表示距离，用 v 表示速度，用 t 表示时间，那么，路程模型可以用符号表示为

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@@ -1,5 +0,0 @@
-在问题18 中讨论了小学数学涉及到的几种模型，这个话题将深入讨论其中的路程模型。讨论的目的想说明：模型的重要性不仅仅在于数学的表达，而更重要的是对现实世界的解释。模型中的每一个量都有其现实意义，而且在许多情况下，现实意义解释的不同会使模型发生质的变化。我们借用路程模型来述说其中的道理。
-
-路程模型表述的是：距离、速度、时间这三者之间的关系。如果用 x 表示距离，用 v 表示速度，用 t 表示时间，那么，路程模型可以用符号表示为
-
-x = vt。                                                                                  （A13）

dsRag/Txt/processed_chunks/1014.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-路程模型表述的是：距离、速度、时间这三者之间的关系。如果用 x 表示距离，用 v 表示速度，用 t 表示时间，那么，路程模型可以用符号表示为
-
-x = vt。                                                                                  （A13）
-
-时间是绝对的。在上面的表达式中，距离是由速度与时间决定的，是变化的结果；在一般情况下，速度是一个常值（可以是匀速或者平均速度），因为表示变化的速度必须要用加速度；这样，就单纯的物理意义，在路程模型中只有时间是变化的。那么，时间是什么呢？应当如何度量时间的变化呢？

dsRag/Txt/processed_chunks/1015.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-x = vt。                                                                                  （A13）
-
-时间是绝对的。在上面的表达式中，距离是由速度与时间决定的，是变化的结果；在一般情况下，速度是一个常值（可以是匀速或者平均速度），因为表示变化的速度必须要用加速度；这样，就单纯的物理意义，在路程模型中只有时间是变化的。那么，时间是什么呢？应当如何度量时间的变化呢？
-
-人们通常感觉时间就像一条长河，这条长河承载了所有发生过的事情，静静地、以同样的速度流淌着。正如思想家、教育家孔子（前551-前479）在江边的感叹：逝者如斯夫，不舍昼夜。因此，人们认为时间是永恒的，时间是绝对的。英国物理学家牛顿（Isaac Newton，1643-1727）的所有研究就是建立在这种绝对时间之上的，他非常强调时间流逝的不变性：

dsRag/Txt/processed_chunks/1016.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-时间是绝对的。在上面的表达式中，距离是由速度与时间决定的，是变化的结果；在一般情况下，速度是一个常值（可以是匀速或者平均速度），因为表示变化的速度必须要用加速度；这样，就单纯的物理意义，在路程模型中只有时间是变化的。那么，时间是什么呢？应当如何度量时间的变化呢？
-
-人们通常感觉时间就像一条长河，这条长河承载了所有发生过的事情，静静地、以同样的速度流淌着。正如思想家、教育家孔子（前551-前479）在江边的感叹：逝者如斯夫，不舍昼夜。因此，人们认为时间是永恒的，时间是绝对的。英国物理学家牛顿（Isaac Newton，1643-1727）的所有研究就是建立在这种绝对时间之上的，他非常强调时间流逝的不变性：
-
-所有运动都可能加速或减速，但绝对时间的流逝并不迁就任何变化。事物的存在顽强地延续维持不变，无论运动是快是慢抑或停止。

dsRag/Txt/processed_chunks/1017.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-人们通常感觉时间就像一条长河，这条长河承载了所有发生过的事情，静静地、以同样的速度流淌着。正如思想家、教育家孔子（前551-前479）在江边的感叹：逝者如斯夫，不舍昼夜。因此，人们认为时间是永恒的，时间是绝对的。英国物理学家牛顿（Isaac Newton，1643-1727）的所有研究就是建立在这种绝对时间之上的，他非常强调时间流逝的不变性：
-
-所有运动都可能加速或减速，但绝对时间的流逝并不迁就任何变化。事物的存在顽强地延续维持不变，无论运动是快是慢抑或停止。
-
-按照牛顿的说法，时间是绝对的，时间流逝（时间度量）本身是不能发生变化的。过去、现在、将是刻画时间最重要的三个概念，这三个概念本身是绝对的：一个事件，无论是发生在同一地点，还是在相距遥远的地方，意义都是一样的。但仔细思考一下，就会发现牛顿的这个说法是有问题的，比如，遥远的天边打雷的时候，既有闪电又有雷声，是应当通过闪电来确定打雷的“现在”呢、还是应当通过雷声来确定打雷的“现在”呢？经验告诉我们，应当

dsRag/Txt/processed_chunks/1018.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-所有运动都可能加速或减速，但绝对时间的流逝并不迁就任何变化。事物的存在顽强地延续维持不变，无论运动是快是慢抑或停止。
-
-按照牛顿的说法，时间是绝对的，时间流逝（时间度量）本身是不能发生变化的。过去、现在、将是刻画时间最重要的三个概念，这三个概念本身是绝对的：一个事件，无论是发生在同一地点，还是在相距遥远的地方，意义都是一样的。但仔细思考一下，就会发现牛顿的这个说法是有问题的，比如，遥远的天边打雷的时候，既有闪电又有雷声，是应当通过闪电来确定打雷的“现在”呢、还是应当通过雷声来确定打雷的“现在”呢？经验告诉我们，应当通过闪电来确定，因为是先有闪电后有雷声。那么，更加遥远的地方会怎么样呢？比如，在天狼星附近有一个超新星发生了爆炸，我们在地球上能够同时知道这个事件的发生吗？按照牛顿的说法，“现在”这个概念是绝对的，因此，时间绝对的说法就必然要求那个超新星爆炸的信息“即刻”被送达地球，这是可能的吗？信息的载体是光，因此，时间绝对就必然要求光的速度是无穷大。这是可能的吗？
-
-光速是绝对的。光速绝对的概念是物理学家爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出的。光速绝对的概念至少有两层含义：光速是有限的；光速是最快的。

dsRag/Txt/processed_chunks/1019.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-雷声来确定打雷的“现在”呢？经验告诉我们，应当通过闪电来确定，因为是先有闪电后有雷声。那么，更加遥远的地方会怎么样呢？比如，在天狼星附近有一个超新星发生了爆炸，我们在地球上能够同时知道这个事件的发生吗？按照牛顿的说法，“现在”这个概念是绝对的，因此，时间绝对的说法就必然要求那个超新星爆炸的信息“即刻”被送达地球，这是可能的吗？信息的载体是光，因此，时间绝对就必然要求光的速度是无穷大。这是可能的吗？
-
-光速是绝对的。光速绝对的概念是物理学家爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出的。光速绝对的概念至少有两层含义：光速是有限的；光速是最快的。
-
-对于地球而言，光速是无穷大的。在日常生活中，在黑暗的房间打开电灯、顿时灯光普照，我们认为光到达的速度是即时的，因此光速是无穷大的；收音机、电视、手机、卫星定位系统等都是通过电磁传递信息的，我们感觉到这种信息传递是即时到达的，因此可以认为电磁的速度是无穷大。英国物理学家、数学家麦克斯韦（James Maxwell,1831-1879）给出了著名的麦克斯韦方程，告诉我们电磁传递的速度与光速是一样的，因

dsRag/Txt/processed_chunks/102.txt

@@ -1,5 +1,2 @@
-话题19  乘法的定义
-
-话题20  除法运算规定0不能为除数
-
-话题21  除数是分数时的除法运算
+话题10。大约在公元628年左右，印度数学家婆罗摩芨多（Brahmagupta，约598-665）给出了负数的四则运算。
+通过上面的讨论可以看到，负数与减法运算关系密切，而减法运算又依赖于加法运算，关于这个问题更详细的讨论参见

dsRag/Txt/processed_chunks/1020.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-光速是绝对的。光速绝对的概念是物理学家爱因斯坦（Albert Einstein, 1879-1955）提出的。光速绝对的概念至少有两层含义：光速是有限的；光速是最快的。
-
-对于地球而言，光速是无穷大的。在日常生活中，在黑暗的房间打开电灯、顿时灯光普照，我们认为光到达的速度是即时的，因此光速是无穷大的；收音机、电视、手机、卫星定位系统等都是通过电磁传递信息的，我们感觉到这种信息传递是即时到达的，因此可以认为电磁的速度是无穷大。英国物理学家、数学家麦克斯韦（James Maxwell,1831-1879）给出了著名的麦克斯韦方程，告诉我们电磁传递的速度与光速是一样的，因此可以推算光速是无穷大的。那么，对于浩瀚无涯的宇宙，光速也是无穷大吗？下面的事实给出了否定的答案。
-
-意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）被誉为现代物理学、近代科学的奠基人。当伽利略用自己制作的望远镜观察木星、认定木星也有卫星之后，人们发现了一个奇怪的现象，当地球与木星之间距离发生变化时，木卫一进入木星阴影的时间与计算值之间会发生变化：距离远时相差大一些，距离近时相差小一些，时间最多相差22分钟。关于这个问题的抽象表达可以参见图A1，图中 A 和 B是地球轨道上

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-度是即时的，因此光速是无穷大的；收音机、电视、手机、卫星定位系统等都是通过电磁传递信息的，我们感觉到这种信息传递是即时到达的，因此可以认为电磁的速度是无穷大。英国物理学家、数学家麦克斯韦（James Maxwell,1831-1879）给出了著名的麦克斯韦方程，告诉我们电磁传递的速度与光速是一样的，因此可以推算光速是无穷大的。那么，对于浩瀚无涯的宇宙，光速也是无穷大吗？下面的事实给出了否定的答案。
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-意大利科学家伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）被誉为现代物理学、近代科学的奠基人。当伽利略用自己制作的望远镜观察木星、认定木星也有卫星之后，人们发现了一个奇怪的现象，当地球与木星之间距离发生变化时，木卫一进入木星阴影的时间与计算值之间会发生变化：距离远时相差大一些，距离近时相差小一些，时间最多相差22分钟。关于这个问题的抽象表达可以参见图A1，图中 A 和 B是地球轨道上的两个不同点。
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-图A1 在地球轨道不同点观察木卫一的时间差异

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-利略（Galileo Galilei，1564-1642）被誉为现代物理学、近代科学的奠基人。当伽利略用自己制作的望远镜观察木星、认定木星也有卫星之后，人们发现了一个奇怪的现象，当地球与木星之间距离发生变化时，木卫一进入木星阴影的时间与计算值之间会发生变化：距离远时相差大一些，距离近时相差小一些，时间最多相差22分钟。关于这个问题的抽象表达可以参见图A1，图中 A 和 B是地球轨道上的两个不同点。
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-图A1 在地球轨道不同点观察木卫一的时间差异
-
-丹麦天文学家勒默尔（Ole Roemer,1644-1710）认为引起这种时间差异的原因是光的速度，也就是说，光的速度是有限的：光穿越地球轨道直径大约需要22分钟。根据这个想法，勒默尔计算出光速为 214000公里/秒。美国实验物理学家迈克尔逊（Albert Michelson,1852-1931）于1931年，也就是在他生命的最后一刻，给出了光速精密的测定：299910公里/秒。现在，人们利用原

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-图A1 在地球轨道不同点观察木卫一的时间差异
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-丹麦天文学家勒默尔（Ole Roemer,1644-1710）认为引起这种时间差异的原因是光的速度，也就是说，光的速度是有限的：光穿越地球轨道直径大约需要22分钟。根据这个想法，勒默尔计算出光速为 214000公里/秒。美国实验物理学家迈克尔逊（Albert Michelson,1852-1931）于1931年，也就是在他生命的最后一刻，给出了光速精密的测定：299910公里/秒。现在，人们利用原子钟测光速为每秒 299792.458公里。无论观察结果还是实验结果均表明：光的速度是有限的。
-
-那么，光的速度是最快的吗？这个问题似乎是荒谬的，因为在小学数学中就有顺水行舟的问题，解决问题的关键是知道：

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@@ -1,5 +0,0 @@
-速度，也就是说，光的速度是有限的：光穿越地球轨道直径大约需要22分钟。根据这个想法，勒默尔计算出光速为 214000公里/秒。美国实验物理学家迈克尔逊（Albert Michelson,1852-1931）于1931年，也就是在他生命的最后一刻，给出了光速精密的测定：299910公里/秒。现在，人们利用原子钟测光速为每秒 299792.458公里。无论观察结果还是实验结果均表明：光的速度是有限的。
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-那么，光的速度是最快的吗？这个问题似乎是荒谬的，因为在小学数学中就有顺水行舟的问题，解决问题的关键是知道：
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-真实速度 = 船的速度 + 水流速度。

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-那么，光的速度是最快的吗？这个问题似乎是荒谬的，因为在小学数学中就有顺水行舟的问题，解决问题的关键是知道：
-
-真实速度 = 船的速度 + 水流速度。
-
-根据同样的道理，如果在飞驰的火车上向前射出一束光，那么射出光的速度就应当比原来的光速快，这不就否定了光速最快的假说吗？可是，爱因斯坦用“思维的实验”告诉我们，这是不可能的：光的速度与发光物体的速度无关。后来，这个结论被迈克尔逊的实验验证。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-真实速度 = 船的速度 + 水流速度。
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-根据同样的道理，如果在飞驰的火车上向前射出一束光，那么射出光的速度就应当比原来的光速快，这不就否定了光速最快的假说吗？可是，爱因斯坦用“思维的实验”告诉我们，这是不可能的：光的速度与发光物体的速度无关。后来，这个结论被迈克尔逊的实验验证。
-
-迈克尔逊发明了一种用以测定微小长度、折射率和光波波长的干涉仪，这种干涉仪在研究光谱方面起着重要的作用，被人们称为迈克耳逊干涉仪。为了验证以太的存在，1887年，迈克尔逊与化学家莫雷（Edward Morley,1838-1923年）利用这种干涉仪，作出了著名的迈克耳逊 - 莫雷实验。这个实验不仅否定了以太的存在，并且验证了光的速度与地球自转速度无关：无论是顺着地球自转方向，还是逆着地球自转方法，光

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@@ -1,5 +0,0 @@
-根据同样的道理，如果在飞驰的火车上向前射出一束光，那么射出光的速度就应当比原来的光速快，这不就否定了光速最快的假说吗？可是，爱因斯坦用“思维的实验”告诉我们，这是不可能的：光的速度与发光物体的速度无关。后来，这个结论被迈克尔逊的实验验证。
-
-迈克尔逊发明了一种用以测定微小长度、折射率和光波波长的干涉仪，这种干涉仪在研究光谱方面起着重要的作用，被人们称为迈克耳逊干涉仪。为了验证以太的存在，1887年，迈克尔逊与化学家莫雷（Edward Morley,1838-1923年）利用这种干涉仪，作出了著名的迈克耳逊 - 莫雷实验。这个实验不仅否定了以太的存在，并且验证了光的速度与地球自转速度无关：无论是顺着地球自转方向，还是逆着地球自转方法，光的速度都是一样的。光速速绝对是爱因斯坦狭义相对论的基础，为此，迈克尔逊获得1907年度诺贝尔物理学奖，成为美国获得诺贝尔物理学奖的第一个人。
-
-光的速度确实与其他物体的运动速度有着本质的不同：光的速度与发光物体的运动速度无关。依据这个本质特征，我们可以认为光的速度是绝对的。那么，我们现在需要考虑的问题是：如果光速是绝对的，时间还会是绝对的吗？

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-的存在，1887年，迈克尔逊与化学家莫雷（Edward Morley,1838-1923年）利用这种干涉仪，作出了著名的迈克耳逊 - 莫雷实验。这个实验不仅否定了以太的存在，并且验证了光的速度与地球自转速度无关：无论是顺着地球自转方向，还是逆着地球自转方法，光的速度都是一样的。光速速绝对是爱因斯坦狭义相对论的基础，为此，迈克尔逊获得1907年度诺贝尔物理学奖，成为美国获得诺贝尔物理学奖的第一个人。
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-光的速度确实与其他物体的运动速度有着本质的不同：光的速度与发光物体的运动速度无关。依据这个本质特征，我们可以认为光的速度是绝对的。那么，我们现在需要考虑的问题是：如果光速是绝对的，时间还会是绝对的吗？
-
-时间是相对的。为了回答这个问题，我们思考一个想象出来的例子。通过下面的讨论可以看到，从思维逻辑的角度考虑，这个想象出来的例子相当于进行了一个实验，这也就是上面曾经提到过的、爱因斯坦所提倡的“思维的实验”。这样的思考是非常重要的，这样的思考正是构建数学模型的现实基础，因为构建模型需要基于现实的想象。如果可能的话，教师应当把这样的思考引入数学教学活动，这对培养学生的想象力是有好处的。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-光的速度确实与其他物体的运动速度有着本质的不同：光的速度与发光物体的运动速度无关。依据这个本质特征，我们可以认为光的速度是绝对的。那么，我们现在需要考虑的问题是：如果光速是绝对的，时间还会是绝对的吗？
-
-时间是相对的。为了回答这个问题，我们思考一个想象出来的例子。通过下面的讨论可以看到，从思维逻辑的角度考虑，这个想象出来的例子相当于进行了一个实验，这也就是上面曾经提到过的、爱因斯坦所提倡的“思维的实验”。这样的思考是非常重要的，这样的思考正是构建数学模型的现实基础，因为构建模型需要基于现实的想象。如果可能的话，教师应当把这样的思考引入数学教学活动，这对培养学生的想象力是有好处的。
-
-可以看到，由（A13）给出的路程模型并没有涉及到观察者，因此是一种静态的描述。如果考虑运动者与观测者之间的相对运动，这个模型也是正确的吗？对于这样一类问题，人们通常称运动者与观测者处于不同的惯性系。可以构想下面的例子。

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@@ -1,5 +1 @@
-话题20  除法运算规定0不能为除数
-
-话题21  除数是分数时的除法运算
-
-话题22  数学中的符号表达
+问题10。

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-时间是相对的。为了回答这个问题，我们思考一个想象出来的例子。通过下面的讨论可以看到，从思维逻辑的角度考虑，这个想象出来的例子相当于进行了一个实验，这也就是上面曾经提到过的、爱因斯坦所提倡的“思维的实验”。这样的思考是非常重要的，这样的思考正是构建数学模型的现实基础，因为构建模型需要基于现实的想象。如果可能的话，教师应当把这样的思考引入数学教学活动，这对培养学生的想象力是有好处的。
-
-可以看到，由（A13）给出的路程模型并没有涉及到观察者，因此是一种静态的描述。如果考虑运动者与观测者之间的相对运动，这个模型也是正确的吗？对于这样一类问题，人们通常称运动者与观测者处于不同的惯性系。可以构想下面的例子。
-
-图A2 列车与地面看到光行走的路线

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-可以看到，由（A13）给出的路程模型并没有涉及到观察者，因此是一种静态的描述。如果考虑运动者与观测者之间的相对运动，这个模型也是正确的吗？对于这样一类问题，人们通常称运动者与观测者处于不同的惯性系。可以构想下面的例子。
-
-图A2 列车与地面看到光行走的路线
-
-如图A2所示，一个人在飞驰的列车上，一个人在地面上。这样，列车上的人和地面上的人就处在两个不同的惯性系。在列车的天棚设置一个发光源，在列车的地板上设置一个反光镜，从发光源向地板直射一束光，那么，两个惯性系的人看到的光行走路线将是不同的：在列车上看，光是垂直向下然后向上，如图中的（a）所示；在地面上看，光走了一个 V 形，如图中的（b）所示。那么，应当如何解释这两种不同的情况呢？

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-图A2 列车与地面看到光行走的路线
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-如图A2所示，一个人在飞驰的列车上，一个人在地面上。这样，列车上的人和地面上的人就处在两个不同的惯性系。在列车的天棚设置一个发光源，在列车的地板上设置一个反光镜，从发光源向地板直射一束光，那么，两个惯性系的人看到的光行走路线将是不同的：在列车上看，光是垂直向下然后向上，如图中的（a）所示；在地面上看，光走了一个 V 形，如图中的（b）所示。那么，应当如何解释这两种不同的情况呢？
-
-在具体讨论之前，我们需要认可物理学中的一个基本公理，这就是：

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-如图A2所示，一个人在飞驰的列车上，一个人在地面上。这样，列车上的人和地面上的人就处在两个不同的惯性系。在列车的天棚设置一个发光源，在列车的地板上设置一个反光镜，从发光源向地板直射一束光，那么，两个惯性系的人看到的光行走路线将是不同的：在列车上看，光是垂直向下然后向上，如图中的（a）所示；在地面上看，光走了一个 V 形，如图中的（b）所示。那么，应当如何解释这两种不同的情况呢？
-
-在具体讨论之前，我们需要认可物理学中的一个基本公理，这就是：
-
-宇宙中所有各处的物理规律都是一样的。                                                   （A14）

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-在具体讨论之前，我们需要认可物理学中的一个基本公理，这就是：
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-宇宙中所有各处的物理规律都是一样的。                                                   （A14）
-
-这个公理意味着，无论是在哪一个惯性系，所用的物理学公式都应当是一样的。显然，无论是从哲学角度、还是从现实角度，这个公理都是无可挑剔的，否则我们生活的宇宙就太杂乱无章了。

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-宇宙中所有各处的物理规律都是一样的。                                                   （A14）
-
-这个公理意味着，无论是在哪一个惯性系，所用的物理学公式都应当是一样的。显然，无论是从哲学角度、还是从现实角度，这个公理都是无可挑剔的，否则我们生活的宇宙就太杂乱无章了。
-
-根据上面的基本公理，惯性系 A 的路程模型与惯性系 B 的路程模型应当是一样的。因此，为了回答这个问题，我们需要建立两个（A13）式，然后分析这两个式子之间的关系。这两个式子一个是为列车上的人建立的，一个是为地面上的人建立的。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-这个公理意味着，无论是在哪一个惯性系，所用的物理学公式都应当是一样的。显然，无论是从哲学角度、还是从现实角度，这个公理都是无可挑剔的，否则我们生活的宇宙就太杂乱无章了。
-
-根据上面的基本公理，惯性系 A 的路程模型与惯性系 B 的路程模型应当是一样的。因此，为了回答这个问题，我们需要建立两个（A13）式，然后分析这两个式子之间的关系。这两个式子一个是为列车上的人建立的，一个是为地面上的人建立的。
-
-设列车上的人所在的惯性系为 A，光走过的距离为 xA，所用时间为tA；设地面上的人所在的惯性系为 B，光走过的距离为 xB，所用时间为tB。用 c 表示光速，用 v 表示列车速度。显然，在惯性系 A 中的速度应当是光速 c；在惯性系 B 中的速度应当是 c + v，但我们已经讨论了光速与发光物体的速度无关，于是有 c + v = v。这样，根据路程模型可以得到

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@@ -1,5 +0,0 @@
-根据上面的基本公理，惯性系 A 的路程模型与惯性系 B 的路程模型应当是一样的。因此，为了回答这个问题，我们需要建立两个（A13）式，然后分析这两个式子之间的关系。这两个式子一个是为列车上的人建立的，一个是为地面上的人建立的。
-
-设列车上的人所在的惯性系为 A，光走过的距离为 xA，所用时间为tA；设地面上的人所在的惯性系为 B，光走过的距离为 xB，所用时间为tB。用 c 表示光速，用 v 表示列车速度。显然，在惯性系 A 中的速度应当是光速 c；在惯性系 B 中的速度应当是 c + v，但我们已经讨论了光速与发光物体的速度无关，于是有 c + v = v。这样，根据路程模型可以得到
-
-列车上：xA = ctA；

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@@ -1,5 +0,0 @@
-设列车上的人所在的惯性系为 A，光走过的距离为 xA，所用时间为tA；设地面上的人所在的惯性系为 B，光走过的距离为 xB，所用时间为tB。用 c 表示光速，用 v 表示列车速度。显然，在惯性系 A 中的速度应当是光速 c；在惯性系 B 中的速度应当是 c + v，但我们已经讨论了光速与发光物体的速度无关，于是有 c + v = v。这样，根据路程模型可以得到
-
-列车上：xA = ctA；
-
-地面上：xB = ctB。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-列车上：xA = ctA；
-
-地面上：xB = ctB。
-
-如果我们仍然坚持时间是绝对的：tA = tB，由上面的两个式子，就必然有：xA = xB，这个结果意味着：无论是在列车上的人、还是在地面上的人，所看到光走过的路线应当是一样的。但是，这样的结果与事实不符，因此，如果认可“光速是绝对的”这个假说就必须扬弃“时间是绝对的”这个假说，进而认为时间是相对的：在不同的惯性系中的时间度量是不同的，速度越快的惯性系时间流逝越慢。在这个假说下，在列车上时间的流逝要

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@@ -1,5 +1,2 @@
-话题21  除数是分数时的除法运算
-
-话题22  数学中的符号表达
-
-话题23  路程模型：绝对时间和相对时间
+问题6  如何认识分数？
+虽然可以把分数看作是除法运算的一种表示（参见

dsRag/Txt/processed_chunks/1040.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-地面上：xB = ctB。
-
-如果我们仍然坚持时间是绝对的：tA = tB，由上面的两个式子，就必然有：xA = xB，这个结果意味着：无论是在列车上的人、还是在地面上的人，所看到光走过的路线应当是一样的。但是，这样的结果与事实不符，因此，如果认可“光速是绝对的”这个假说就必须扬弃“时间是绝对的”这个假说，进而认为时间是相对的：在不同的惯性系中的时间度量是不同的，速度越快的惯性系时间流逝越慢。在这个假说下，在列车上时间的流逝要比地面上时间的流逝慢。这真是一种匪夷所思的设想，但是，现今为止所有观察的结果和实验结果都支持爱因斯坦的这种假说。
-
-根据这个假说，爱因斯坦借助荷兰数学家、物理学家洛伦兹（Hendrik Lorentz,1853-1928）所提出的一种惯性系之间的变换公式、即洛伦兹变换，建立了时间 tA 与 tB 之间、路程 xA 与 xB 之间的变换公式，在这个变换公式中引进了著名的洛伦兹因子：γ = (1 - v2/c2)-1/2，其中 c 为光速，v 为两个惯性系之间的相对速度。

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-在列车上的人、还是在地面上的人，所看到光走过的路线应当是一样的。但是，这样的结果与事实不符，因此，如果认可“光速是绝对的”这个假说就必须扬弃“时间是绝对的”这个假说，进而认为时间是相对的：在不同的惯性系中的时间度量是不同的，速度越快的惯性系时间流逝越慢。在这个假说下，在列车上时间的流逝要比地面上时间的流逝慢。这真是一种匪夷所思的设想，但是，现今为止所有观察的结果和实验结果都支持爱因斯坦的这种假说。
-
-根据这个假说，爱因斯坦借助荷兰数学家、物理学家洛伦兹（Hendrik Lorentz,1853-1928）所提出的一种惯性系之间的变换公式、即洛伦兹变换，建立了时间 tA 与 tB 之间、路程 xA 与 xB 之间的变换公式，在这个变换公式中引进了著名的洛伦兹因子：γ = (1 - v2/c2)-1/2，其中 c 为光速，v 为两个惯性系之间的相对速度。
-
-现实意义的重要性。既然洛伦兹变换是洛伦兹最先提出的，那么，洛伦兹为什么没有提出狭义相对论呢？下面的故事说明，数学模型的现实解释是至关重要的。

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-根据这个假说，爱因斯坦借助荷兰数学家、物理学家洛伦兹（Hendrik Lorentz,1853-1928）所提出的一种惯性系之间的变换公式、即洛伦兹变换，建立了时间 tA 与 tB 之间、路程 xA 与 xB 之间的变换公式，在这个变换公式中引进了著名的洛伦兹因子：γ = (1 - v2/c2)-1/2，其中 c 为光速，v 为两个惯性系之间的相对速度。
-
-现实意义的重要性。既然洛伦兹变换是洛伦兹最先提出的，那么，洛伦兹为什么没有提出狭义相对论呢？下面的故事说明，数学模型的现实解释是至关重要的。
-
-洛伦兹在研究麦克斯韦方程时发现，如果用伽利略变换（一种基于时间绝对的变换公式）从一个惯性系变换到另一个惯性系时，会导致不同惯性系中麦克斯韦方程、以及各种电磁效应的表达不同，这有悖于（A14）所表述的物理学的公理，这是不能被允许的。为更好地解释麦克斯韦方程，洛伦兹提出了一种新的变换公式，引进了著名的洛伦兹因子。1904年，洛伦兹正式发表了他的研究成果。几乎就是在相同的时间，法国数学家庞加莱（Henr

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@@ -1,5 +0,0 @@
-现实意义的重要性。既然洛伦兹变换是洛伦兹最先提出的，那么，洛伦兹为什么没有提出狭义相对论呢？下面的故事说明，数学模型的现实解释是至关重要的。
-
-洛伦兹在研究麦克斯韦方程时发现，如果用伽利略变换（一种基于时间绝对的变换公式）从一个惯性系变换到另一个惯性系时，会导致不同惯性系中麦克斯韦方程、以及各种电磁效应的表达不同，这有悖于（A14）所表述的物理学的公理，这是不能被允许的。为更好地解释麦克斯韦方程，洛伦兹提出了一种新的变换公式，引进了著名的洛伦兹因子。1904年，洛伦兹正式发表了他的研究成果。几乎就是在相同的时间，法国数学家庞加莱（Henri Poincare，1854-1912）从数学的角度也研究了类似的问题，在他的文章中第一次提出了“洛伦兹变换”这个词，并讨论了基于洛伦兹变换的变换群的性质。1905年，爱因斯坦把洛伦兹变换用于时空变换，提出了著名的狭义相对论。
-
-洛伦兹提出了洛伦兹变化、但没有提出狭义相对论的原因在于，洛伦兹没有更好地理解数学模型中变量的物理意义，特别是没有理解时间 t 的物理意义。正如1915年，洛伦兹在评价爱因斯坦的工作时所说的那样：

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-。为更好地解释麦克斯韦方程，洛伦兹提出了一种新的变换公式，引进了著名的洛伦兹因子。1904年，洛伦兹正式发表了他的研究成果。几乎就是在相同的时间，法国数学家庞加莱（Henri Poincare，1854-1912）从数学的角度也研究了类似的问题，在他的文章中第一次提出了“洛伦兹变换”这个词，并讨论了基于洛伦兹变换的变换群的性质。1905年，爱因斯坦把洛伦兹变换用于时空变换，提出了著名的狭义相对论。
-
-洛伦兹提出了洛伦兹变化、但没有提出狭义相对论的原因在于，洛伦兹没有更好地理解数学模型中变量的物理意义，特别是没有理解时间 t 的物理意义。正如1915年，洛伦兹在评价爱因斯坦的工作时所说的那样：
-
-我没有成功的主要原因是我墨守只有变量t可被看作是真正的时间，我的局部时间t'最多只被认为是一个辅助的数学量。

dsRag/Txt/processed_chunks/1045.txt

@@ -1,5 +0,0 @@
-洛伦兹提出了洛伦兹变化、但没有提出狭义相对论的原因在于，洛伦兹没有更好地理解数学模型中变量的物理意义，特别是没有理解时间 t 的物理意义。正如1915年，洛伦兹在评价爱因斯坦的工作时所说的那样：
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-我没有成功的主要原因是我墨守只有变量t可被看作是真正的时间，我的局部时间t'最多只被认为是一个辅助的数学量。
-
-其中洛伦兹所说的 t 是上面所说的 tB，t' 是上面所说的tA。即便如此，爱因斯坦仍然实事求是地评价了洛伦兹的贡献：

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@@ -1,5 +0,0 @@
-我没有成功的主要原因是我墨守只有变量t可被看作是真正的时间，我的局部时间t'最多只被认为是一个辅助的数学量。
-
-其中洛伦兹所说的 t 是上面所说的 tB，t' 是上面所说的tA。即便如此，爱因斯坦仍然实事求是地评价了洛伦兹的贡献：
-
-可以说，没有洛伦兹变换公式也就没有狭义相对论。… 虽然洛伦兹本人从来不认为自己的理论与狭义相对论的发现有密切的关系，而且他一生都不肯放弃绝对空间和绝对时间的时空观念。但是他的方法确实成为狭义相对论的基本数学方法。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-其中洛伦兹所说的 t 是上面所说的 tB，t' 是上面所说的tA。即便如此，爱因斯坦仍然实事求是地评价了洛伦兹的贡献：
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-可以说，没有洛伦兹变换公式也就没有狭义相对论。… 虽然洛伦兹本人从来不认为自己的理论与狭义相对论的发现有密切的关系，而且他一生都不肯放弃绝对空间和绝对时间的时空观念。但是他的方法确实成为狭义相对论的基本数学方法。
-
-还有一个事实可以进一步说明，在数学模型中理解物理意义、或者说理解现实意义的重要性。“洛伦兹变换”、“相对论”这些名词都是数学家庞加莱提出来的，但庞加莱是从哲学的角度提出的，并没有很好地理解这些词背后的物理意义，因为他始终对爱因斯坦提出的相对论表示怀疑。

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@@ -1,5 +0,0 @@
-可以说，没有洛伦兹变换公式也就没有狭义相对论。… 虽然洛伦兹本人从来不认为自己的理论与狭义相对论的发现有密切的关系，而且他一生都不肯放弃绝对空间和绝对时间的时空观念。但是他的方法确实成为狭义相对论的基本数学方法。
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-还有一个事实可以进一步说明，在数学模型中理解物理意义、或者说理解现实意义的重要性。“洛伦兹变换”、“相对论”这些名词都是数学家庞加莱提出来的，但庞加莱是从哲学的角度提出的，并没有很好地理解这些词背后的物理意义，因为他始终对爱因斯坦提出的相对论表示怀疑。
-
-从上面的讨论可以看到，建立、并且解释模型的基础不是数学、也不是哲学，而是对现实故事本身的理解。正如美籍华人物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁（1922-）所说的那样：

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-还有一个事实可以进一步说明，在数学模型中理解物理意义、或者说理解现实意义的重要性。“洛伦兹变换”、“相对论”这些名词都是数学家庞加莱提出来的，但庞加莱是从哲学的角度提出的，并没有很好地理解这些词背后的物理意义，因为他始终对爱因斯坦提出的相对论表示怀疑。
-
-从上面的讨论可以看到，建立、并且解释模型的基础不是数学、也不是哲学，而是对现实故事本身的理解。正如美籍华人物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁（1922-）所说的那样：
-
-洛伦兹懂了相对论的数学，可是没有懂其中的物理学，庞加莱则是懂了相对论的哲学，但也没有懂其中的物理学。

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@@ -1,5 +1 @@
-话题22  数学中的符号表达
-
-话题23  路程模型：绝对时间和相对时间
-
-话题24  几何学的由来
+问题13），但分数本身是数而不是运算。人们通常称形如a/b的数为分数，称其中的a为分子b为分母，在一般情况下，要求分子和分母都是正整数。古希腊的学者对分数进行了深入的研究，他们最初认为现实中的所有数量关系都能写成分数的形式，也就是说，所有的数都能够用整数表示，后来发现 √2 不能写成分数的形式，于是称能写成分数形式的数为有理数，不能用整数表示的数为无理数。详细讨论参见附录的

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-从上面的讨论可以看到，建立、并且解释模型的基础不是数学、也不是哲学，而是对现实故事本身的理解。正如美籍华人物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁（1922-）所说的那样：
-
-洛伦兹懂了相对论的数学，可是没有懂其中的物理学，庞加莱则是懂了相对论的哲学，但也没有懂其中的物理学。
-
-现在，还是回到现实世界，我们不能不提出这样的问题：在不同的惯性系中时间不同，这是可能的吗？这个结论意味着：时间的度量是由所在惯性系决定的，这是可能的吗？也就是说，同样一个钟表，在惯性系 A 中度量的时间与在惯性系 B 中度量的时间是不同的，钟表的运行速度与所在惯性系有关，这是可能的吗？为什么会这样呢？

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-洛伦兹懂了相对论的数学，可是没有懂其中的物理学，庞加莱则是懂了相对论的哲学，但也没有懂其中的物理学。
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-现在，还是回到现实世界，我们不能不提出这样的问题：在不同的惯性系中时间不同，这是可能的吗？这个结论意味着：时间的度量是由所在惯性系决定的，这是可能的吗？也就是说，同样一个钟表，在惯性系 A 中度量的时间与在惯性系 B 中度量的时间是不同的，钟表的运行速度与所在惯性系有关，这是可能的吗？为什么会这样呢？
-
-相对时间的可能性。到目前为止，最精准的度量时间的仪器是原子钟。如果时间是相对的，那么同一台原子钟，在不同的惯性系中得到的时间将是不同的。这真是一件不可思议的事情，但实验结果表明，事实确实如此。比如，带电 π 介子的半衰期是一亿分之十七秒，也就是说，在通常情况下，带电 π 介子每隔一亿分之十七秒粒子就要衰变一半；但是，如果把这种粒子加速到光速的 90% ，则半衰期将会增加两倍多，达到一亿分之三十九秒

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-现在，还是回到现实世界，我们不能不提出这样的问题：在不同的惯性系中时间不同，这是可能的吗？这个结论意味着：时间的度量是由所在惯性系决定的，这是可能的吗？也就是说，同样一个钟表，在惯性系 A 中度量的时间与在惯性系 B 中度量的时间是不同的，钟表的运行速度与所在惯性系有关，这是可能的吗？为什么会这样呢？
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-相对时间的可能性。到目前为止，最精准的度量时间的仪器是原子钟。如果时间是相对的，那么同一台原子钟，在不同的惯性系中得到的时间将是不同的。这真是一件不可思议的事情，但实验结果表明，事实确实如此。比如，带电 π 介子的半衰期是一亿分之十七秒，也就是说，在通常情况下，带电 π 介子每隔一亿分之十七秒粒子就要衰变一半；但是，如果把这种粒子加速到光速的 90% ，则半衰期将会增加两倍多，达到一亿分之三十九秒。正是根据这个原理，在科学实验中，人们利用高速的粒子加速器研究各种粒子的特性。这个结果意味着，在更快的惯性系原子钟将会变慢。
-
-不知道为什么，古代中国先民凭借直觉似乎感悟到：在不同的场合时间的度量是不同的，因为古代中国的几乎所有涉及到上天的故事，其中关于时间的说法是统一的：天上一日，人间数年。根据爱因斯坦狭义相对论，当相对速度 v 非常接近光速 c 时，洛伦玆因子γ可以非常大，这样，相对时间也可以相差非常大。借助现代科技，人们在宇宙射线中发现，氢原子的原子核的速度与光速相差无几，如果按照地球的时间计算，这种质子穿过银河系的

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-将是不同的。这真是一件不可思议的事情，但实验结果表明，事实确实如此。比如，带电 π 介子的半衰期是一亿分之十七秒，也就是说，在通常情况下，带电 π 介子每隔一亿分之十七秒粒子就要衰变一半；但是，如果把这种粒子加速到光速的 90% ，则半衰期将会增加两倍多，达到一亿分之三十九秒。正是根据这个原理，在科学实验中，人们利用高速的粒子加速器研究各种粒子的特性。这个结果意味着，在更快的惯性系原子钟将会变慢。
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-不知道为什么，古代中国先民凭借直觉似乎感悟到：在不同的场合时间的度量是不同的，因为古代中国的几乎所有涉及到上天的故事，其中关于时间的说法是统一的：天上一日，人间数年。根据爱因斯坦狭义相对论，当相对速度 v 非常接近光速 c 时，洛伦玆因子γ可以非常大，这样，相对时间也可以相差非常大。借助现代科技，人们在宇宙射线中发现，氢原子的原子核的速度与光速相差无几，如果按照地球的时间计算，这种质子穿过银河系的时间需要10万年，但按质子所在惯性系的时间，只需要5分钟。可以想象，如果一个人生活在这种质子所在的惯性系中，地球上已经过了10 万年，对于这个人才过了5分钟，这比“天上一日，人间数年”的说法还要浪漫。
-
-可是，出现这种情况的原因是什么呢？这个原因就是，在不同的惯性系物体的存在形式不同。为此，爱因斯坦在狭义相对论的基础上，给出了著名的质能变换公式

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- v 非常接近光速 c 时，洛伦玆因子γ可以非常大，这样，相对时间也可以相差非常大。借助现代科技，人们在宇宙射线中发现，氢原子的原子核的速度与光速相差无几，如果按照地球的时间计算，这种质子穿过银河系的时间需要10万年，但按质子所在惯性系的时间，只需要5分钟。可以想象，如果一个人生活在这种质子所在的惯性系中，地球上已经过了10 万年，对于这个人才过了5分钟，这比“天上一日，人间数年”的说法还要浪漫。
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-可是，出现这种情况的原因是什么呢？这个原因就是，在不同的惯性系物体的存在形式不同。为此，爱因斯坦在狭义相对论的基础上，给出了著名的质能变换公式
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-E = mc2，

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-可是，出现这种情况的原因是什么呢？这个原因就是，在不同的惯性系物体的存在形式不同。为此，爱因斯坦在狭义相对论的基础上，给出了著名的质能变换公式
-
-E = mc2，
-
-其中 E 表示能量，m 表示质量，c 表示光速。这个质能变换公式告诉我们，任何物质中都蕴含着大量的能量，比如，通过公式可以计算得到：一克物质中蕴含着 9×1013 焦耳的能量，足以把22吨的水从零度加热到沸腾，这个公式也为制造原子弹奠定了理论基础。进一步，这个公式还意味着，随着速度的增加，物体的动能增加，物体的质量也增加，因此钟表就变慢了。或许可以想象，随着速度的增加，人的新陈代谢也就变慢了。

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-E = mc2，
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-其中 E 表示能量，m 表示质量，c 表示光速。这个质能变换公式告诉我们，任何物质中都蕴含着大量的能量，比如，通过公式可以计算得到：一克物质中蕴含着 9×1013 焦耳的能量，足以把22吨的水从零度加热到沸腾，这个公式也为制造原子弹奠定了理论基础。进一步，这个公式还意味着，随着速度的增加，物体的动能增加，物体的质量也增加，因此钟表就变慢了。或许可以想象，随着速度的增加，人的新陈代谢也就变慢了。
-
-通过上面的讨论可以看到，一个简单的路程模型，其中蕴含了多么深刻的物理意义。当然，在小学数学的教学中不可能讲述这些内容，只是希望中小学教师能够通过这个例子更加重视模型的现实性，包括总量模型（加法模型），也包括植树模型和工程模型。

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-其中 E 表示能量，m 表示质量，c 表示光速。这个质能变换公式告诉我们，任何物质中都蕴含着大量的能量，比如，通过公式可以计算得到：一克物质中蕴含着 9×1013 焦耳的能量，足以把22吨的水从零度加热到沸腾，这个公式也为制造原子弹奠定了理论基础。进一步，这个公式还意味着，随着速度的增加，物体的动能增加，物体的质量也增加，因此钟表就变慢了。或许可以想象，随着速度的增加，人的新陈代谢也就变慢了。
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-通过上面的讨论可以看到，一个简单的路程模型，其中蕴含了多么深刻的物理意义。当然，在小学数学的教学中不可能讲述这些内容，只是希望中小学教师能够通过这个例子更加重视模型的现实性，包括总量模型（加法模型），也包括植树模型和工程模型。
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-话题24  几何学的由来

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-通过上面的讨论可以看到，一个简单的路程模型，其中蕴含了多么深刻的物理意义。当然，在小学数学的教学中不可能讲述这些内容，只是希望中小学教师能够通过这个例子更加重视模型的现实性，包括总量模型（加法模型），也包括植树模型和工程模型。
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-话题24  几何学的由来
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-使得图形成为数学研究对象的真正动力，是土地测量等生产实践的需要。几乎所有国家的数学史都认为几何学起源于古埃及，几何学之所以能够在古埃及萌芽并且得以发展，与古埃及人的生活条件有着密切的关系。埃及地处干旱荒芜的非州北部，只有周期出现的尼罗河泛滥才给这片土地带来生机。尼罗河每年6月份开始泛滥，洪水大约维持4个月，于是人们每年10月在土地干涸后开始播种，第二年尼罗河泛滥前收获完毕。当时洪水泛滥之宏伟是难以

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-话题24  几何学的由来
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-使得图形成为数学研究对象的真正动力，是土地测量等生产实践的需要。几乎所有国家的数学史都认为几何学起源于古埃及，几何学之所以能够在古埃及萌芽并且得以发展，与古埃及人的生活条件有着密切的关系。埃及地处干旱荒芜的非州北部，只有周期出现的尼罗河泛滥才给这片土地带来生机。尼罗河每年6月份开始泛滥，洪水大约维持4个月，于是人们每年10月在土地干涸后开始播种，第二年尼罗河泛滥前收获完毕。当时洪水泛滥之宏伟是难以想象的，古希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 前484-前425）曾经到过埃及，他在著作《历史》一书中记载：
-
-尼罗河在泛滥的时候，它不仅泛滥到三角洲上去，而且也泛滥到被认为是属于利比亚和阿拉伯的那些地方上去；它泛滥到距离两岸有两天的路程的地方，有时远些，有时则近些。

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-话题23  路程模型：绝对时间和相对时间
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-话题24  几何学的由来
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-话题25  欧几里得《几何原本》
+话题13。
+分数的本质在于真分数，即分数的分子小于分母。这样的分数有两个现实背景：一个是表达整体与等分的关系，一个是表达两个数量之间的比例关系。我们称后者为整比例关系。
+整体与等分关系。问题的关键是对整体的等分。比如，把一个月饼等分为5份，那么其中的一份是1/5，两份是2/5。应当注意到的是，通过等分得到分数单位：前面所述的1/5就是分数单位，而2/5表示的是两个分数单位：2/5 = 2 × 1/5 =1/5 + 1/5。
+利用分数单位，容易得到同分母分数的加法：1/5 + 2/5 = 3/5；这个运算表示的是：一个分数单位加上二个分数单位等于三个分数单位。
+对于分母不同的分数的大小比较、以及加法运算，必须对原有的分数单位进一步等分。比如，对分了5份的月饼的每份再二等分，得到的新单位是原来整体的1/10，即1/5 × 1/2 = 1/10。原来单位与新单位的关系是1/5 = 2/10；进一步，原来单位的两份等价于新单位的四份：2/5 = 2 × 1/5 = 2 × 2/10 = 4/10。正是因为这个原因，才有通常所说的分数的性质：分数的分子和分母同时扩大或者缩小相同倍数，分数大小不变。这样，分母不同的分数的大小比较可以化为分母相同的分数大小的比较，进而得到一般的不同分母分数的加法运算法则：
+a/b + c/d = ad/bd + cb/db = (ad + cb)/db。
+整比例关系。分数还可以表示两个事物量之间的比，或者说，以一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量。比如，在一些小学数学教科书中有这样的例题：
+小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？
+其中的1/3说的就是比例：1只鹅对应于3只鸭子，2只鹅对应于6只鸭子，如此类推，4只鹅就对应于4 × 3 =12只鸭子。
+解释1/3的含义是一个破题的过程，可以看到，有许多问题只要破题清楚，就自然而然地得到了解题的思路。因此，在小学数学的教学过程中，许多应用问题必须重视破题这个环节。
+对于上面的问题，更一般性的表达是这样的：如果用x 表示鸭子的数量，得到比例关系4 : x = 1:3。借助这个比例关系，可以通过两种运算方法得到所求结果，一种方法是上面所说的乘法，一种方法是教科书所希望的除法：鸭子数量 = 4 ÷ 1/3 = 4 × 3 =12。因此，这个例子也说明：除法是乘法的逆运算。详细讨论参见

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-之所以能够在古埃及萌芽并且得以发展，与古埃及人的生活条件有着密切的关系。埃及地处干旱荒芜的非州北部，只有周期出现的尼罗河泛滥才给这片土地带来生机。尼罗河每年6月份开始泛滥，洪水大约维持4个月，于是人们每年10月在土地干涸后开始播种，第二年尼罗河泛滥前收获完毕。当时洪水泛滥之宏伟是难以想象的，古希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 前484-前425）曾经到过埃及，他在著作《历史》一书中记载：
-
-尼罗河在泛滥的时候，它不仅泛滥到三角洲上去，而且也泛滥到被认为是属于利比亚和阿拉伯的那些地方上去；它泛滥到距离两岸有两天的路程的地方，有时远些，有时则近些。
-
-当尼罗河泛滥到地面上来的时候，只有市镇才可以被看到高高地在水面之上并且是干燥的，和爱琴海上的岛屿非常相似。只有这些市镇露在水面之上，而埃及的其他地方则完全是一片水。… 船只实际上就是经过金字塔的近旁的 … 。

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-尼罗河在泛滥的时候，它不仅泛滥到三角洲上去，而且也泛滥到被认为是属于利比亚和阿拉伯的那些地方上去；它泛滥到距离两岸有两天的路程的地方，有时远些，有时则近些。
-
-当尼罗河泛滥到地面上来的时候，只有市镇才可以被看到高高地在水面之上并且是干燥的，和爱琴海上的岛屿非常相似。只有这些市镇露在水面之上，而埃及的其他地方则完全是一片水。… 船只实际上就是经过金字塔的近旁的 … 。
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-尼罗河泛滥对于古埃及人们的生活以及经济发展影响重大，以至于政府的税收政策也与洪水的泛滥有关。国家规定：根据每年洪水的高度和耕种的土地面积大小征税，关于这一点，希罗多德在《历史》这部书中是这样记载的：

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-当尼罗河泛滥到地面上来的时候，只有市镇才可以被看到高高地在水面之上并且是干燥的，和爱琴海上的岛屿非常相似。只有这些市镇露在水面之上，而埃及的其他地方则完全是一片水。… 船只实际上就是经过金字塔的近旁的 … 。
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-尼罗河泛滥对于古埃及人们的生活以及经济发展影响重大，以至于政府的税收政策也与洪水的泛滥有关。国家规定：根据每年洪水的高度和耕种的土地面积大小征税，关于这一点，希罗多德在《历史》这部书中是这样记载的：
-
-如果河水冲毁了一个人分得的土地的任何一部分土地，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告他；于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积；今后他的租金就要按照减少后的土地面积来征收了。我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。

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-尼罗河泛滥对于古埃及人们的生活以及经济发展影响重大，以至于政府的税收政策也与洪水的泛滥有关。国家规定：根据每年洪水的高度和耕种的土地面积大小征税，关于这一点，希罗多德在《历史》这部书中是这样记载的：
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-如果河水冲毁了一个人分得的土地的任何一部分土地，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告他；于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积；今后他的租金就要按照减少后的土地面积来征收了。我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。
-
-希罗多德是公元前五世纪的人，他关于古希腊人是从古埃及那里学到几何学的论述应当是有道理的。现在通用的英文几何一词geometry源于古希腊语 γεωμετρια，就是土地测量的意思，因为这个词是由 γη（土地) 和 μετρια（测量）复合而成。

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-如果河水冲毁了一个人分得的土地的任何一部分土地，这个人就可以到国王那里去把发生的事情报告他；于是国王便派人前来调查并测量损失地段的面积；今后他的租金就要按照减少后的土地面积来征收了。我想，正是由于有了这样的做法，埃及才第一次有了量地法，而希腊人又从那里学到了它。
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-希罗多德是公元前五世纪的人，他关于古希腊人是从古埃及那里学到几何学的论述应当是有道理的。现在通用的英文几何一词geometry源于古希腊语 γεωμετρια，就是土地测量的意思，因为这个词是由 γη（土地) 和 μετρια（测量）复合而成。
-
-古埃及人发明几何学完全是为了实际的需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，包括三角形、长方形、梯形面积的计算方法，还包括计算圆面积的近似公式。金字塔是人类创造的奇迹，金字塔的建造表明古埃及人已经掌握了相当精确的几何学知识。以其中最大的的胡夫（Khufu）金字塔为例，这是一个底为四方形的锥形体，原高146.5米（现在高138米），底边原长233米（现在长227米）。令人吃惊的是：四个底边长度的

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-希罗多德是公元前五世纪的人，他关于古希腊人是从古埃及那里学到几何学的论述应当是有道理的。现在通用的英文几何一词geometry源于古希腊语 γεωμετρια，就是土地测量的意思，因为这个词是由 γη（土地) 和 μετρια（测量）复合而成。
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-古埃及人发明几何学完全是为了实际的需要，他们创造了一套有效的计算土地面积的方法，包括三角形、长方形、梯形面积的计算方法，还包括计算圆面积的近似公式。金字塔是人类创造的奇迹，金字塔的建造表明古埃及人已经掌握了相当精确的几何学知识。以其中最大的的胡夫（Khufu）金字塔为例，这是一个底为四方形的锥形体，原高146.5米（现在高138米），底边原长233米（现在长227米）。令人吃惊的是：四个底边长度的误差仅为1.6厘米，这是底边长度的1/14000；四个底边直角的误差仅为12分，是直角的1/270000。这是一个在今天都是很难把握的精度，而胡夫金字塔却是兴建于公元前2760年，距今近5000年。
-
-西方哲学家普遍认为哲学是从古希腊的学者泰勒斯（Thales，约前624-前546）开始的，并且认为在那个时代哲学与科学不分，这就意味着科学也是从泰勒斯开始的。泰勒斯生平无考，但很多书中都记载他成功地预言了一次日食，希罗多德在《历史》这部书中对这个事件进行了生动的描述：

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-经掌握了相当精确的几何学知识。以其中最大的的胡夫（Khufu）金字塔为例，这是一个底为四方形的锥形体，原高146.5米（现在高138米），底边原长233米（现在长227米）。令人吃惊的是：四个底边长度的误差仅为1.6厘米，这是底边长度的1/14000；四个底边直角的误差仅为12分，是直角的1/270000。这是一个在今天都是很难把握的精度，而胡夫金字塔却是兴建于公元前2760年，距今近5000年。
-
-西方哲学家普遍认为哲学是从古希腊的学者泰勒斯（Thales，约前624-前546）开始的，并且认为在那个时代哲学与科学不分，这就意味着科学也是从泰勒斯开始的。泰勒斯生平无考，但很多书中都记载他成功地预言了一次日食，希罗多德在《历史》这部书中对这个事件进行了生动的描述：
-
-… 战争正在进行时，发生了一件偶然的事件，即白天突然变成了黑夜。米利都人泰勒斯曾经向伊奥尼亚人预言了这个事件，他向他们预言在哪一年会有这样的事件发生，而实际上这话应验了。美地亚人和吕底亚人看到白天变成了黑夜，便停止了战争，而且他们双方都十分盼望达成和平的协议。

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-西方哲学家普遍认为哲学是从古希腊的学者泰勒斯（Thales，约前624-前546）开始的，并且认为在那个时代哲学与科学不分，这就意味着科学也是从泰勒斯开始的。泰勒斯生平无考，但很多书中都记载他成功地预言了一次日食，希罗多德在《历史》这部书中对这个事件进行了生动的描述：
-
-… 战争正在进行时，发生了一件偶然的事件，即白天突然变成了黑夜。米利都人泰勒斯曾经向伊奥尼亚人预言了这个事件，他向他们预言在哪一年会有这样的事件发生，而实际上这话应验了。美地亚人和吕底亚人看到白天变成了黑夜，便停止了战争，而且他们双方都十分盼望达成和平的协议。
-
-据现代天文学家推测，那次日食是在公元前585年5月28日。于是，依据上述逻辑，哲学和科学产生于公元前六世纪，那正是中国的春秋时代。令人惊讶的是，也正是在那个时代，在中国黄河流域也创造出了灿烂夺目的文化，其代表人物有：老子、孔子、孟子、庄子、墨子、韩非子等等。这是历史的巧合？还是有一定的必然联系？不可得知。

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-… 战争正在进行时，发生了一件偶然的事件，即白天突然变成了黑夜。米利都人泰勒斯曾经向伊奥尼亚人预言了这个事件，他向他们预言在哪一年会有这样的事件发生，而实际上这话应验了。美地亚人和吕底亚人看到白天变成了黑夜，便停止了战争，而且他们双方都十分盼望达成和平的协议。
-
-据现代天文学家推测，那次日食是在公元前585年5月28日。于是，依据上述逻辑，哲学和科学产生于公元前六世纪，那正是中国的春秋时代。令人惊讶的是，也正是在那个时代，在中国黄河流域也创造出了灿烂夺目的文化，其代表人物有：老子、孔子、孟子、庄子、墨子、韩非子等等。这是历史的巧合？还是有一定的必然联系？不可得知。
-
-泰勒斯曾游历埃及，在那里学到了经验几何，从《希腊数学史》中记载的两件事情可以得到很好的说明：一件事情是泰勒斯曾经通过人的身高与影长之间的关系推算金字塔的高度，这大概要用到相似三角形的知识；还有一件事情就是泰勒斯曾经用“军帽测河宽”，为了测量河的宽度，一个人戴着军帽压低帽檐使得眼睛正好能看到对岸，然后转过身来测量在平地上能看到的对应点的距离，这便得到了河的宽度，这大概要用到判定直角三角形全等的知识。

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-据现代天文学家推测，那次日食是在公元前585年5月28日。于是，依据上述逻辑，哲学和科学产生于公元前六世纪，那正是中国的春秋时代。令人惊讶的是，也正是在那个时代，在中国黄河流域也创造出了灿烂夺目的文化，其代表人物有：老子、孔子、孟子、庄子、墨子、韩非子等等。这是历史的巧合？还是有一定的必然联系？不可得知。
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-泰勒斯曾游历埃及，在那里学到了经验几何，从《希腊数学史》中记载的两件事情可以得到很好的说明：一件事情是泰勒斯曾经通过人的身高与影长之间的关系推算金字塔的高度，这大概要用到相似三角形的知识；还有一件事情就是泰勒斯曾经用“军帽测河宽”，为了测量河的宽度，一个人戴着军帽压低帽檐使得眼睛正好能看到对岸，然后转过身来测量在平地上能看到的对应点的距离，这便得到了河的宽度，这大概要用到判定直角三角形全等的知识。
-
-泰勒斯没有停留在经验几何，他在图形描述的基础上开创了几何学的抽象。雅典柏拉图学院的后期的导师普罗克洛斯（Proclus，410-485）在著作《几何学发展概要》中述说，泰勒斯发现了下述几何命题并给于证明：圆的直径将圆平分；等腰三角形的两个底角相等；两直线相交对顶角相等；角边角对应相等的两个三角形全等。虽然泰勒斯的证明还是非常原始的，但是他所述说的命题本身却已经是相当抽象、相当规范了，这些命题依然是

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-话题24  几何学的由来
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-话题25  欧几里得《几何原本》
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-话题26  几何基本概念的进一步抽象
+问题13和附录中的

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-泰勒斯曾游历埃及，在那里学到了经验几何，从《希腊数学史》中记载的两件事情可以得到很好的说明：一件事情是泰勒斯曾经通过人的身高与影长之间的关系推算金字塔的高度，这大概要用到相似三角形的知识；还有一件事情就是泰勒斯曾经用“军帽测河宽”，为了测量河的宽度，一个人戴着军帽压低帽檐使得眼睛正好能看到对岸，然后转过身来测量在平地上能看到的对应点的距离，这便得到了河的宽度，这大概要用到判定直角三角形全等的知识。
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-泰勒斯没有停留在经验几何，他在图形描述的基础上开创了几何学的抽象。雅典柏拉图学院的后期的导师普罗克洛斯（Proclus，410-485）在著作《几何学发展概要》中述说，泰勒斯发现了下述几何命题并给于证明：圆的直径将圆平分；等腰三角形的两个底角相等；两直线相交对顶角相等；角边角对应相等的两个三角形全等。虽然泰勒斯的证明还是非常原始的，但是他所述说的命题本身却已经是相当抽象、相当规范了，这些命题依然是当今初中阶段数学教学的重要内容。但是，几何学的真正成为一门学科，还是从欧几里得开始的。
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-话题25  欧几里得《几何原本》

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-的导师普罗克洛斯（Proclus，410-485）在著作《几何学发展概要》中述说，泰勒斯发现了下述几何命题并给于证明：圆的直径将圆平分；等腰三角形的两个底角相等；两直线相交对顶角相等；角边角对应相等的两个三角形全等。虽然泰勒斯的证明还是非常原始的，但是他所述说的命题本身却已经是相当抽象、相当规范了，这些命题依然是当今初中阶段数学教学的重要内容。但是，几何学的真正成为一门学科，还是从欧几里得开始的。
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-话题25  欧几里得《几何原本》
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-欧几里得的《几何原本》对于几何学、乃至数学的贡献，几乎怎么评价都不过分，直到十九世纪末叶，欧几里得几乎与几何学还是同义词。

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-话题25  欧几里得《几何原本》
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-欧几里得的《几何原本》对于几何学、乃至数学的贡献，几乎怎么评价都不过分，直到十九世纪末叶，欧几里得几乎与几何学还是同义词。
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-欧几里得的书更准确地应当称为《原本》，因为原书的题名为希腊文 Στοιχεία，这是希腊文“定理”一词 Στοιχείου 的复数形式，因此原书直接的意思是“诸定理”，这本书的拉丁文译本为Elementa，现代西方普遍沿用拉丁文译名，比如英文翻译为 Elements，就是“原本”的意思。

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-欧几里得的《几何原本》对于几何学、乃至数学的贡献，几乎怎么评价都不过分，直到十九世纪末叶，欧几里得几乎与几何学还是同义词。
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-欧几里得的书更准确地应当称为《原本》，因为原书的题名为希腊文 Στοιχεία，这是希腊文“定理”一词 Στοιχείου 的复数形式，因此原书直接的意思是“诸定理”，这本书的拉丁文译本为Elementa，现代西方普遍沿用拉丁文译名，比如英文翻译为 Elements，就是“原本”的意思。
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-人们关于欧几里得的生平所知甚少，普罗克洛斯的著作《几何学发展概要》中记载，他是托勒密一世（Soter Ptolemy, 前367-前283）时代的人，现在普遍认为欧几里得大约生于公元前325年，死于公元前265年。欧几里得早年在雅典学习，后受托勒密一世的邀请来到了亚历山大图书馆。因为欧几里得的活跃时代比亚里士多德大约晚50年左右，他的思想方法应当是受到了亚里士多德学说的影响。据说，欧几里得《原理》

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-欧几里得的书更准确地应当称为《原本》，因为原书的题名为希腊文 Στοιχεία，这是希腊文“定理”一词 Στοιχείου 的复数形式，因此原书直接的意思是“诸定理”，这本书的拉丁文译本为Elementa，现代西方普遍沿用拉丁文译名，比如英文翻译为 Elements，就是“原本”的意思。
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-人们关于欧几里得的生平所知甚少，普罗克洛斯的著作《几何学发展概要》中记载，他是托勒密一世（Soter Ptolemy, 前367-前283）时代的人，现在普遍认为欧几里得大约生于公元前325年，死于公元前265年。欧几里得早年在雅典学习，后受托勒密一世的邀请来到了亚历山大图书馆。因为欧几里得的活跃时代比亚里士多德大约晚50年左右，他的思想方法应当是受到了亚里士多德学说的影响。据说，欧几里得《原理》的初稿是他在亚历山大城图书馆教书时使用的教材。
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-最初的《原理》包括十三卷，每卷的结构基本是一样的，由定义和命题两部分组成，只是在第一卷给出定义的同时还给出了公理和公设。欧几里得已经把握住数学研究的根本：通过定义给出概念，得到了数学研究的对象；建立公理和公设，构建了数学研究的前提；利用演绎推理验证命题，规范了数学的论证过程。可以看到，欧几里得的《原本》构建了数学公理化体系的雏形，为未来数学、乃至自然科学的发展提供了范例。

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-作《几何学发展概要》中记载，他是托勒密一世（Soter Ptolemy, 前367-前283）时代的人，现在普遍认为欧几里得大约生于公元前325年，死于公元前265年。欧几里得早年在雅典学习，后受托勒密一世的邀请来到了亚历山大图书馆。因为欧几里得的活跃时代比亚里士多德大约晚50年左右，他的思想方法应当是受到了亚里士多德学说的影响。据说，欧几里得《原理》的初稿是他在亚历山大城图书馆教书时使用的教材。
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-最初的《原理》包括十三卷，每卷的结构基本是一样的，由定义和命题两部分组成，只是在第一卷给出定义的同时还给出了公理和公设。欧几里得已经把握住数学研究的根本：通过定义给出概念，得到了数学研究的对象；建立公理和公设，构建了数学研究的前提；利用演绎推理验证命题，规范了数学的论证过程。可以看到，欧几里得的《原本》构建了数学公理化体系的雏形，为未来数学、乃至自然科学的发展提供了范例。
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-欧几里得《原理》的开篇就给出了23个定义，这些定义描述了平面几何研究的基本对象，依次为：点、线、面、角、多边形、三角形、平行线。事实上，通过长期的日常生活和生产实践，人们已经创建了这些术语并且能够用这些术语进行交流，说明人们已经清楚这些术语的含义。但是，要明确给出这些术语的定义却是一件非常困难的事情，这不仅需要把握术语含义的本质，还必须进行高度的抽象概括。现在我们来分析欧几里得给出的定义，关于点、

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-最初的《原理》包括十三卷，每卷的结构基本是一样的，由定义和命题两部分组成，只是在第一卷给出定义的同时还给出了公理和公设。欧几里得已经把握住数学研究的根本：通过定义给出概念，得到了数学研究的对象；建立公理和公设，构建了数学研究的前提；利用演绎推理验证命题，规范了数学的论证过程。可以看到，欧几里得的《原本》构建了数学公理化体系的雏形，为未来数学、乃至自然科学的发展提供了范例。
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-欧几里得《原理》的开篇就给出了23个定义，这些定义描述了平面几何研究的基本对象，依次为：点、线、面、角、多边形、三角形、平行线。事实上，通过长期的日常生活和生产实践，人们已经创建了这些术语并且能够用这些术语进行交流，说明人们已经清楚这些术语的含义。但是，要明确给出这些术语的定义却是一件非常困难的事情，这不仅需要把握术语含义的本质，还必须进行高度的抽象概括。现在我们来分析欧几里得给出的定义，关于点、线、面是这样（其中序号是原序号）：
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-1. 点是没有部分的。2. 线只有长度没有宽度。5. 面只有长度和宽度。

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-个定义，这些定义描述了平面几何研究的基本对象，依次为：点、线、面、角、多边形、三角形、平行线。事实上，通过长期的日常生活和生产实践，人们已经创建了这些术语并且能够用这些术语进行交流，说明人们已经清楚这些术语的含义。但是，要明确给出这些术语的定义却是一件非常困难的事情，这不仅需要把握术语含义的本质，还必须进行高度的抽象概括。现在我们来分析欧几里得给出的定义，关于点、线、面是这样（其中序号是原序号）：
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-1. 点是没有部分的。2. 线只有长度没有宽度。5. 面只有长度和宽度。
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-进一步，他又定义了直线和平面：

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-1. 点是没有部分的。2. 线只有长度没有宽度。5. 面只有长度和宽度。
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-进一步，他又定义了直线和平面：
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-4. 直线是它上面的点一样的平放着的线。7. 平面是它上面的线一样的平放着的面。

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-进一步，他又定义了直线和平面：
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-4. 直线是它上面的点一样的平放着的线。7. 平面是它上面的线一样的平放着的面。
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-关于角、平角、直角和垂直是这样定义的:

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-话题25  欧几里得《几何原本》
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-话题26  几何基本概念的进一步抽象
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-话题27  长度单位的确定
+话题21。
+通过上面对两种关系的分析还可以知道，分数是一种无量纲的数。也就是说，无论是一块小月饼还是一个大蛋糕，如果分五份的话，那么每一份都是1/5，与整体本身的大小无关；无论是4只鹅还是4百只鹅，与鸭子的比例都是1比3，这个比例与数量的无多少关。正因为如此，现实生活中一些看来无法比较的事情用分数就可以进行比较了，这就是通常所用的百分数。比如，一个大国与一个小国的GDP（国内生产总值）是不能进行比较的，但这两个国家GDP的增长率是可以进行比较的，通常用百分数来表示这种增长率：
+增长率 = [（今年GDP – 去年GDP）/ 去年GDP] × 100%。

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-4. 直线是它上面的点一样的平放着的线。7. 平面是它上面的线一样的平放着的面。
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-关于角、平角、直角和垂直是这样定义的:
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-8. 平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。

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-关于角、平角、直角和垂直是这样定义的:
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-8. 平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。
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-9. 当包含角的两条直线是一条直线时，这个角叫做平角。

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-8. 平面角是在一平面但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。
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-9. 当包含角的两条直线是一条直线时，这个角叫做平角。
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-10. 当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称其中一条直线垂直于另一条直线。

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-9. 当包含角的两条直线是一条直线时，这个角叫做平角。
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-10. 当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称其中一条直线垂直于另一条直线。
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-还有一个定义是必须提到的，这就是第23个定义也就是最后一个定义，是于关平行线的：

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-10. 当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时，这些角的每一个叫做直角，而且称其中一条直线垂直于另一条直线。
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-还有一个定义是必须提到的，这就是第23个定义也就是最后一个定义，是于关平行线的：
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-23. 平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。

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-还有一个定义是必须提到的，这就是第23个定义也就是最后一个定义，是于关平行线的：
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-23. 平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。
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-欧几里得的定义是幼稚的，这至少表现在两个方面：首先，定义中使用了没有定义的术语，比如长度和宽度；其次，定义中使用了“没有部分的”、“只有长度没有宽度”、“一样的平放着”等令人费解的描述。我们称这样的定义为具有物理属性的定义。

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-23. 平行直线是在同一平面内的直线，向两个方向无限延长，在不论哪个方向它们都不相交。
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-欧几里得的定义是幼稚的，这至少表现在两个方面：首先，定义中使用了没有定义的术语，比如长度和宽度；其次，定义中使用了“没有部分的”、“只有长度没有宽度”、“一样的平放着”等令人费解的描述。我们称这样的定义为具有物理属性的定义。
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-虽然欧几里得的定义是幼稚的，可是，即便是在两千多年以后的、科学技术已经如此发达的今天，我们能够给出比欧几里得的更好的、具有物理属性的定义吗？或许可以这样认为，数学知识的最后确立通常需要两步抽象：第一步抽象是为了创造新的方法，就像欧几里得所作的这样，这样的抽象往往带有物理属性；第二步抽象是为了更好地解释这些方法，就像下一个话题将要讨论的希尔伯特所作的那样，第二步抽象就是要尽量摆脱物理属性。