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“平均数的意义是什么”相关教学设计
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（刘艳平 东北师大附小）
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有关教学内容：平均数的认识
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课程标准要求：（第二学段）体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流。
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这里所说的“平均数”主要是指统计学意义上的平均数。算术意义上的平均数比较容易理解：平均数 = 总量 ÷ 份数，这是仅仅是除法的一种形式。这种形式来源于乘法模型：总价 = 单价 × 份数，其中的单价就是平均数。虽然在运算形式上看，算数意义上的平均数与统计意义上的平均数是一致的，但前者属于描述统计、后者属于推断统计，差异就在于是否考虑了随机性，详细讨论参见问题29和话题29。统计意义上的平均数的教学设计，必须考虑到抽样、考虑到样本的随机性，即把每个数据都看作为样本、是通过抽样得到的；其核心是样本的独立同分布，也就是说，每次抽样是独立进行的、每次抽样过程在本质上是一样的。
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教学片断设计：估计投篮命中率
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1. 通过样本感悟随机性
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教师讲述小明投篮的故事。小强非常喜欢打篮球，长大了想当一名篮球运动员。小强让体育老师测验自己投篮的命中率，体育老师在一个星期的5天里，每天测验一次，每次定点投篮10次，投中球数的记录如下：第一天3个、第二天4个、第三天3个、第四天6个、第五天4个。如下图所示，教师要求学生用图表示小强投篮的情况，帮助小强计算平均每天投中几个球，并且利用平均数帮助小强估计投篮的命中率。
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因为小强五天一共投中3 + 4 + 3 + 6 + 4 = 20个球，以此平均每天投中20/5 = 4个球。计算模式是：平均数 = 进球数/天数。在计算平均数的过程中，教师应当让学生感悟到：虽然小强每天都投球10次，但进球数却是不确定的；虽然不确定，但进球数相对稳定在平均数附近。这就是对随机性感悟，对统计意义上的平均数的感悟。
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基于这种感悟，就可以估计命中率了：因为每天都投了10个球，于是命中率的估计是：4/10 = 2/5。因为命中率就是概率，因此这样的估计就是用样本频率估计概率。也可以直接估计命中率，因为一共投篮50次、命中20次，因此估计命中率是20/50 = 2/5。
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2. 通过样本感悟平均数
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为了让学生更好地感悟平均数的意义，教师讲述了一个比较复杂的投篮的故事。教师可以利用本地职业篮球队主力投手的资料，比如，这个主力投手近五场球赛投球记录：
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第一场18投8中，3分球5个；第二场15投7中，3分球4个；第三场21投10中，3分球5个，第四场17投9中，3分球7个；第五场18投7中，3分球4个。
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那么，这名运动员每场球的平均进球数是多少呢？得分是多少呢？这位主力投手的投篮命中率大概是多少呢？
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这个故事与小强的故事不同：每场球投球数不同。在一般情况下，观众并不关心一个运动员一场投多少个篮，而只关心投中多少球，得分多少。因此，可以这样计算每场平均进球数：
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(8 + 7 + 10 + 5 + 9 + 7) / 5 = 46 / 5 = 9.1
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大约每场进球9个。
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计算得分就要困难一些了，要用到加权平均，因为要用“权”来区分3分球与2分球。首先把3分球的个数相加：5 + 4 + 5 + 7 + 4 = 25，然后计算每场平均分数：
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[25 × 3 + (46 – 25) × 2] / 5 = (25 × 3 + 21 × 2) / 5 = 117 / 5 = 23.4
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大约每场得23分，确实是一位优秀的主力投手。
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可以看到，这时的平均数已经不是描述统计的平均数了：虽然不能肯定这位运动员每场投进几个球，但可以期望他进球10个左右；虽然不能肯定这位运动员每场得分多少，但可以期望他得20多分。因此，人们通常称这样的平均数为样本均值，用样本均值来估计总体的数学期望。在教学过程中，努力让学生感悟随机性、感悟平均数是一种估计。
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对于理解力比较强的学生，还可以让他们知道如何计算投球的命中率：
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(8 + 7 + 10 + 5 + 9 + 7) / (18 + 15 + 21 + 17 + 18) = 46 / 89 = 0.52
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即分子是所有进球数、分子是所有投球数。这个命中率就是样本频率，是概率的一种估计。
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教学设计分析：通过对数据的分析介绍平均数的概念，符合课程标准在“统计与概率”内容中关于建立“数据分析观念”的要求。因为是推断统计意义上的平均数，因此要强调随机性，而强调随机性的例子必须体现独立的、重复发生的事情。在教学设计中，设计投篮的故事就符合这个要求。设计小强投篮和职业篮球队主力投手的投篮，在相似情境中加深问题的难度，有利于学生感悟随机性、感悟平均数的意义、感悟通过平均数计算命中率进而估计概率的过程。这样的教学设计，统计学意义很明晰，能够引发学生思考，引导学生把握其中的数学思想。
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