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【1】主体元素
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- **大主体**：直角等腰三角形 \( \triangle ABC \)，其中 \( AC = BC = 4 \)，\( \angle C = 90^\circ \)，斜边 \( AB \) 长为 \( 4\sqrt{2} \)。
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- **小主体**：
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- \( \triangle ADE \)：点 \( D \) 为 \( AC \) 中点（\( AD = DC = 2 \)），\( E \) 为 \( AB \) 上动点。
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- \( \triangle BEF \)：由旋转线段 \( EF \) 构成，其中 \( EF \) 是 \( DE \) 绕 \( E \) 顺时针旋转 \( 45^\circ \) 的结果。
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【2】位置关系
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- **整体布局**：
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- \( AB \) 水平放置（可视为坐标系 \( x \) 轴），\( C \) 为直角顶点，位于 \( AB \) 上方。
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- \( D \) 为 \( AC \) 中点，坐标为 \( (0, 2) \)（若以 \( A \) 为原点）。
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- **动态关系**：
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- \( E \) 在 \( AB \) 上移动，连接 \( DE \) 后旋转得到 \( EF \)，旋转角为 \( 45^\circ \)。
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- 当 \( EF \parallel AC \) 时，\( EF \) 垂直于 \( AB \)；当 \( F \in BC \) 时，需满足 \( F \) 的坐标在 \( BC \) 直线上。
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【3】辅助元素
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- **旋转线段**：
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- \( EF \) 由 \( DE \) 绕 \( E \) 旋转 \( 45^\circ \) 得到，长度 \( EF = DE \)，方向与 \( DE \) 成 \( 45^\circ \) 角。
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- **坐标系构建**：
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- 以 \( A \) 为原点，\( AB \) 为 \( x \) 轴，\( AC \) 为 \( y \) 轴，则：
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- \( A(0, 0) \)，\( B(4\sqrt{2}, 0) \)，\( C(0, 4) \)，\( D(0, 2) \)。
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- **关键点坐标**：
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- 设 \( E(t, 0) \)，则 \( DE \) 的向量为 \( (t, -2) \)，旋转后 \( EF \) 的向量可通过旋转矩阵计算。
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- **特殊条件**：
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- \( EF \parallel AC \) 时，\( EF \) 方向为 \( (0, 1) \)，需解 \( t \) 使旋转后向量满足此方向。
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- \( F \in BC \) 时，需满足 \( F \) 的坐标在直线 \( BC \) 上（方程 \( y = -x + 4 \)）。
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- 距离比例条件：\( E \) 到 \( BC \) 的距离为 \( F \) 到 \( BC \) 距离的 \( 2 \) 倍，可通过纵坐标关系列式。
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