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用小数定义有理数和无理数
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人们长期以来习惯于用分数来表示有理数。据记载，最初是荷兰数学家、工程师斯蒂芬（Simon Stevin，1548-1620）开始用小数来表示有理数的，但与现在的形式有所不同，他用
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24 3（1）7（2）5（3）
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来表示有理数24。直到十八世纪，一个稳定的十进位小数的表达形式才逐渐形成，即把前面的分数表示为24.375，这种表示方法一直沿用至今。
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后来，人们尝试用小数来表示无理数。显然，要用小数表示所有的无理数，首先要用小数表示所有的有理数。正如在前几个话题中谈到的那样，在历史上，人们在很长的一段时间是用分数m/n的形式来表示有理数的，其中m，n ∈ N，n≠0，并且称不能表示为分数形式的数为无理数。
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这样，为了用小数表示有理数，就需要讨论小数与分数之间的关系。并且只需要讨论区间（0,1）中的数，因为其余的数可以通过平移得到。区间（0,1）中的数可以用小数表示为
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B = 0.a1 a2 … ap (A8)
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或者
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C = 0.a1a2 … ap … (A9)
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这两种形式，其中a1,a2,…,ap 是取值从0到9的自然数。人们通常称（A8）所表示的小数B为有限小数，称(A9)所表示的小数C为无限小数。后来又发现，无限小数还可以进一步划分为两个部分：一部分是无限循环小数，一部分是无限不循环小数。
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这样，分数与小数出现了这样的对应：有的分数可以化为有限小数；有的分数虽然不能化为有限小数，但是却能化为无限循环小数。比如
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1/2 = 0.5, 1/3 = 0.333 …, 1/6 = 0.1666 …, 1/7 = 0.142857142857 … (A10)
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等等。那么，这样的表示是不是具有一般性呢？也就是说，是否所有的分数都可以化为有限小数或者无限循环小数呢？反之，是否所有有限小数或者无限循环小数都可以化为分数呢？如果答案是肯定的，那么，分数就可以与有限小数、或者无限循环小数一一对应，这就意味着，可以通过用一类“特殊小数”来定义有理数，进而可以用“特殊小数”以外的小数来定义无理数。如果定义实数是由有理数和无理数组成的，那么，就可以用小数来表示所有的实数，这样，在本质上就完成了数的扩充。因此，判断分数与有限小数或者无限循环小数之间的对应关系是非常重要的。下面，我们来证明这个结论。
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首先证明命题：所有的分数可以化为有限小数或者无限循环小数。证明如下。考虑分数m/n，其中m﹤n。如果这个分数能够化为有限小数，则结论成立。如果不能化为有限小数，那么，在m后面加0（乘以10）除以n，这时必然会有余数，并且这个余数只能取1和n-1之间的整数。由除法运算法则可以知道，有余数后的除法都是加0填位，因此，最多经过n次运算后，某个余数必然还要出现第二次，并且以后都是以周期形式出现，这就形成了循环小数。比如，计算（A10）中所示的比较复杂的1/7：用10除以7，第一个余数为3；用30除以7，第二个余数为2；以后依次余数为6、4、5、1，这就回归到用10除以7的情况，于是周期就出现了。这就证明了命题。
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然后证明相反的命题：有限小数或者无限循环小数可以写成分数的形式。由（A8）式，一个有限小数可以写为
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B = 0.a1 a2 … ap = a1/10 + a2/102 + … + ap/10p，
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这显然可以通过通分得到一个分母为10p 的分数，因此有限小数可以写成分数形式，即命题对于有限小数的情况是正确的。
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下面证明无限循环小数的情况。由（A9）式，一个无限循环小数可以分为两个部分，一部分是前面有限个（可以是0个）不循环项，然后是无限个循环项。不失一般性，我们假定无限循环小数完全是由循环项组成的，循环项有q个元素。这样，由（A9）可以把小数写成
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B = 0.a1 a2 … aq a1 a2 … aq …
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= a1 (1/10 + 1/10q+1 + 1/102q+1 + … ) + … + aq (1/10q + 1/102q + … )
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= β (1 + 1/10q + 1/102q + … )
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其中，β = 0.a1 a2 … aq 。可以看到，上面的括号中是一个等比级数，公比是1/10q。用Sn表示前n项和，即
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Sn = 1 + 1/10q + 1/102q + … + 1/10nq
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= [1 - 1/10q(n+1) ] / (1 - 1/10q )。
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因为公比1/10q ﹤ 1，因此当n → ∞ 时Sn → 1 / (1 - 1/10q )。所以这个循环小数可以表示为
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B = β / (1 - 1/10q )
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= 0.a1 a2 … aq / (1 - 1/10q )
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= a1 a2 … aq / (10q - 1)，
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这显然是一个分数的形式。比如，
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0.777 … = 7/9，
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0.767676 … = 76/99，
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0.764764764 … = 764/999，
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……
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等等。很明显，任何一个无限循环小数都能写成分数的形式，因此，任何一个无限循环小数都是传统定义的有理数。这就证明了相反的命题。
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把上面的正命题与反命题和起来就可以知道：“分数”与“有限小数或者无限循环小数”是等价的。这样，就可以用小数定义有理数：称有限小数或者无限循环小数为有理数。进一步，可以用小数定义无理数：称无限不循环小数为无理数。进而，就可以用小数定义实数：有理数和无理数统称为实数，或者，称所有的整数和小数为实数。
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人们通常用R表示实数的集合。人们直观地认为，数轴上的点对应的数不是整数就是小数，于是就认为实数与数轴上的点是一一对应的，进而认为实数就像直线那样是连续不断的，这便实现了“实数的连续性”。有了实数连续性的概念，人们就可以讨论基于函数的各种极限理论了，这样，微积分的确立也就有了根基了。单从数的扩充就可以看到，微积分基础的确立是相当困难的，这个确立在牛顿发明微积分几百年以后才得以实现。
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