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索引 knowledge_base 中共有 10 条数据:
1. ID: ksler5cB_f1MV5w7KcAW
内容: 数量是什么？数量关系的本质是什么？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '数量是什么？数量关系的本质是什么？\n 数量是对现实生活中事物量的抽象 / 数量关系的本质是多与少'}
时间戳: 2025-06-27 11:25:00
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2. ID: k8ler5cB_f1MV5w7KcB4
内容: 为什么说减法是加法的逆运算？
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时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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3. ID: lMler5cB_f1MV5w7KcCC
内容: 为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '为什么要把“空间与图形”修改为“图形与几何”？\n在《义务教育数学课程标准》的实验稿中，把研究“图形与图形关系”的学习内容归纳为“空间与图形”，而2011年的最终版本则修改为“图形与几何”。为什么要作这样的修改呢？理解清楚这个问题，对于全面把握义务教育阶段“图形与图形关系”这部分教学内容的本质是有意义的。\n时间和空间是人们认识世界最为基本的概念：通过时间可以分辨事物之间的先后关系，得到事物的顺序差异；通过空间可以分辨事物之间的位置关系，得到事物的性质差异。因此，空间是一个关于物体存在形式的基础概念，人们从物体的存在形式中抽象出关于图形以及图形关系的概念，构成数学的研究对象。为了研究这些概念的位置关系和变化规律，人们必须构建空间的度量方法，几何学就是研究如何构建空间度量方法的学科，详细讨论参见附录中的话题24。在义务教育阶段，这方面的学习内容主要是欧几里得几何，研究对象是抽象出来的那些平直的概念，比如，点、线、面、体、角；度量方法主要是两点间的直线距离。\n从上面的讨论可以知道，构建空间的度量方法是至关重要的，人们根据度量方法的不同称谓不同的空间。比如，把基于直线距离的有限维空间称为欧几里得空间，把基于内积的无穷维空间称为希尔伯特空间，把基于曲线坐标的空间称为黎曼空间，等等。\n在欧几里得几何空间中，两点间的直线距离是本质的，特别是，通过两点间距离还可以定义线段长度，这就构成了空间的度量。比如，所谓矩形就是两个对边长度分别相等的四边形；所谓两条直线平行是指这两条直线之间的距离处处相等；所谓两个图形全等就是指这两个图形任意两个对应点之间的距离相等；所谓勾股定理就是描述直角三角形三个边长之间的关系；所谓三角函数就是描述直角三角形中的锐角与边长之间的关系；等等。\n特别是，小学阶段学习的平移、旋转、轴对称这样的形式可以统称为变换，这一类变换有一个显著的特征，就是保证变换后任意两点间的距离不变，人们称这样的变换为刚体变换。'}
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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4. ID: lcler5cB_f1MV5w7KcCg
内容: 如何理解点、线、面、体、角？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '如何理解点、线、面、体、角？\n如上问题20中所说的那样，小学数学教学中涉及到的点、线、面、体、角都是平直的，是基于欧几里得几何的。这些概念是所有受教育者最早接触到的几何概念，这些概念的特点是：看的见、说不清。事实上，越是基本的概念就越难说清楚，这是因为在描述的过程中无法借用其他的概念，而小学数学中所涉及到的概念基本如此，这就给小学数学教学带来了难度。\n在日常生活中，人们看到的物体都是立体的，因此，所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素，还忽略了所占空间：点不分大小、线不分宽窄、面不分薄厚。因此，这些抽象了的概念本身是不存在的，或者说，这些抽象了的概念只是一种理念上的存在，具体的讨论参见附录中的话题24。\n因为这些概念源于立体图形，因此小学数学“图形与几何”内容的教学应当首先认识立体图形。为了把握立体图形的特征，可以引导学生对立体图形进行分类，在分类的过程中发现共性和差异。在熟悉了各种立体图形的基础上，在一些特殊的立体图形（比如长方体）中抽象出点、线、面的概念，就像图1那样，关于这方面的讨论可以参见《义务教育数学课程标准》的例58。\n在教学过程中应当注意的是，这些概念涉及的线都是直的，涉及的面都是平的，这是欧几里得几何最显著的特征。为了使这部分的教学更加生动，可以把理解几何概念与计数有机地结合起来，如《义务教育数学课程标准》的例46所表述的那样。\n 图1 点、线、面的抽象\n在小学阶段数学教学中，关于点、线、面这些数学概念只能给出描述性定义。比如，关于线段的概念，只能先画出一条线段，然后定义说：称这样的图形为线段。在所有描述性定义的教学中，阐述图形的性质是格外重要的，比如进一步述说：线段有两个端点。这样，线段的一边无限延长则称为射线，射线有一个端点；线段的两边无限延长则称为直线，直线没有端点。显然，这里所说的线段是直线段，在教学过程中不能过分强调“直”，但又应当让学生感悟“直”，因为通过这样的感悟可以得到直线段的一个根本性质：两点间的所有连线中直线段最短，这就为未来学习“距离”构建了直观。\n角是很难描述、也是很难理解的概念。在现行小学和初中的数学教材中，都是用“具有公共端点的两条射线组成的图形”来定义角，这样的定义是非常模糊的：角是组成图形哪里？是指射线之的面积吗？此外，这样的定义要求角的边的长度是无限的，与现实世界不符，用这样的定义很难解释现实生活中所遇到的角，比如三角形中的角。因此，这样的定义不仅令人费解，并且不可能揭示角的本质。\n图2 如何描述角、如何比较角的大小\n在义务教育阶段、特别是小学教育阶段，关于角还是应当给出描述性定义。比如，可以利用图2中的 (a) 给出角的描述性定义：\n称上面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与边长无关。\n在上面的描述性定义中，“角的大小与边长无关”这句话是本质的，因为这句话既包括了射线的情况，又利于对角的理解。在这句话的基础上，为了更好地理解角，教师可以引导学生进一步思考这样的问题：如果角的大小与边长无关，那么角的大小是由什么决定的呢？或者提出更加具体的问题：应当如何比较角的大小呢？\n显然，
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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5. ID: lsler5cB_f1MV5w7KcC1
内容: 认识图形的教育价值是什么？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '认识图形的教育价值是什么？\n在小学阶段“图形与几何”的教学中，有许多内容都与认识图形有关。认识图形不仅仅是为了让学生学会区别图形，知道哪一种图形叫什么名字，更重要的是让学生通过认识图形学会分类。因为认识某种具体图形的教学还只是个案的，只有让学生感悟到了图形的分类才使得教学具有一般意义。在分类的过程中可以让学生感悟如何合理地制订分类标准，学会如何遵循标准进行合理的分类。因为在日常生活和生产实践中，制定标准和遵循标准都是不可或缺的，因此，有效地实施这样的教育过程，特别是让学生在这个过程中感悟标准是如何制订的，对培养学生的数学素养是非常重要的。此外，分类的过程还能培养学生的抽象能力，因为在分类的过程中，既要关注图形的共性也要关注图形的差异，而共性和差异都是抽象的结果，是抽象的具体体现。因此，可以在低年级“综合与实践”中安排这样的教学内容，让学生在动手实践和小组讨论中感悟如何制定标准和遵循标准。\n经验告诉我们，对于差异大的东西分类比较容易，对于差异小的东西分类比较困难。比如，要分辨三角形和四边形就比较容易，因为只需分辨图形（多边形）边数的多少，因此可以制订这样的分类标准：边数不同的图形（多边形）为不同的图形。要分辨长方形和正方形就比较困难，因为长方形包括正方形、或者说正方形是长方形的特例。在这样的教学过程中，只是给出长方形和正方形的定义就不够了，最好能让学生动手操作，在操作的过程中积累基本活动经验，包括思维的经验、也包括实践的经验。具体的操作过程可以是这样的，给学生两张纸，让学生分别折出一个长方形和一个正方形，并且说出其中的道理。这个过程的关键是：长方形只需要对边相等，因此只需要对边折叠相等就可以；正方形还需要邻边相等，因此还需要对角折叠相等。在具体的教学过程中，一定要让学生述说理由，因为会动手还只是培养学生的直观，只有通过述说才能培养学生的思考能力。\n要分辨锐角三角形和钝角三角形就更加困难了。事实上，在分辨锐角三角形和钝角三角形的过程中有一个重要的分水岭，那就是直角三角形。事实上，在分类的过程中，制定标准的核心就是找到分水岭。因此在教学过程中，可以给出上面的图3，其中的直角三角形就是分水岭，在借助图分辨锐角三角形和钝角三角形的过程中，让学生感悟分水岭的作用，为学生学会自己建立分类标准提供几何直观。'}
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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6. ID: l8ler5cB_f1MV5w7KcC9
内容: 如何理解长度、面积、体积？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '如何理解长度、面积、体积？\n长度、面积、体积这三个概念都是对图形的度量：长度是对一维空间图形的度量，面积是对二维空间图形的度量，体积是对三维空间图形的度量。这三种度量的基础都是直线段的长度，直线段长度的基础是两点间的直线距离。要度量就必须确定度量单位，而所谓的度量就是：计算所要度量的图形包含多少个度量单位。面积和体积度量单位的基础是一维空间的长度单位，这个长度单位是人为规定的，关于这个长度单位的确定有许多有趣的故事，详细的讨论参见附录的话题27。\n在教学过程中应当注意的是，人们设计度量单位的目的是为了便于度量，因此可以从生活常识出发来设计度量单位，然后再过渡到标准的度量单位。比如，分别用橡皮和铅笔来度量课桌的长度，比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏；分别用步长和脚长来度量教室的长度，比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏。类似这样的教学可以让学生感悟，世界上的所有标准都是人为制定的，因此，要敢于针对实际情况制定自己的标准，敢于对已经制定标准的好坏进行判断。进一步，还可以分别用扑克牌和课本来度量课桌的面积，比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏；分别用茶杯和碗来度量水的体积（进而度量容器的体积，参见附录的话题28），比较度量的精度并讨论两种度量方法的好坏；等等。最后过渡到以厘米（cm）、平方厘米（cm2 ）和立方厘米（cm3 ）为度量单位的标准度量。'}
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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7. ID: mMler5cB_f1MV5w7KcDG
内容: 如何理解平移、旋转、轴对称？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '如何理解平移、旋转、轴对称？\n平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容中最为生动的部分，是在“图形的运动”这样的标题下给出的。既然是运动，就不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持两点间距离不变，这样就保证了物体运动之后形状不变，人们称这类运动为刚体运动。刚体运动是两个图形全等的充分必要条件，因此可以用刚体运动来定义图形的全等，也就是说，可以通过平移、旋转、轴对称来定义图形的全等。\n显然，判断一个物体是否运动是需要参照物的，因此，描述三种图形运动必须构建参照物。因为是在平面上描述这些运动，因此，参照物必须是二维的。可以如下构建三种图形运动的参照物，进而借助参照物定义三种图形运动：\n平移：参照物是一条射线。称图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。\n旋转：参照物是一条射线。称图形上的所有点到射线原点距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转。\n轴对称：参照物是一条直线。称图上的每一点到直线的距离不变的运动为轴对称。\n从本质上说，应当是先有参照物然后再规定图形的运动，当然，也可以先有了图形的运动然后判断这个运动的参照物是什么。因为后一个问题涉及到判断，因此更加困难。\n图形的许多几何性质可以通过图形的运动直观得到，这是小学数学“图形与几何”内容的要点。比如：如果一条直线是另一直线通过平移得到的，那么这两条直线平行，甚至可以借此来定义平行线；等腰三角形关于底边上的中位线对称，因此等腰三角形的两个底角相等；一个四边形是正方形的充分必要条件是关于对角线对称；等等。在教学过程中教师要把握一个最基本的原则，就是图形的这三种运动保持两点间距离不变，直观地说，就是保持图形的全等。\n在日常生活中，图形的这三种运动的表现丰富多彩，许多教科书中都给出了生动的例子。但有一个例子是富有哲理的，其应用也是非常深刻的，这就是《义务教育数学课程标准》中的例35。这个例子是信息技术中图形数字化的思维基础，这个想法可以直接应用于电视画面的输送，也可以应用于网络图形输送过程中的加密，解密的方法就是知道输送图形与原有图形之间的变换关系。在高年段“综合与实践”的教学中可以安排这样的内容，让学生在游戏中感悟图形的运动，学会用符号表示图形的运动。'}
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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8. ID: mcler5cB_f1MV5w7KcDO
内容: 如何理解空间观念和几何直观？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '如何理解空间观念和几何直观？\n空间观念和几何直观都是《义务教育数学课程标准》中提出的核心概念。这两个核心概念都与“图形与几何”的教学内容有关，但又不限于这些教学内容，特别是几何直观并不是仅仅针对几何而言的。\n空间观念是对空间中物体的位置、以及位置之间关系的感性认识，在《义务教育数学课程标准》中关于空间观念是这样叙述的：\n主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形的。\n从上面的论述可以看到，建立空间观念的本质是为了提高学生的空间想象力。这个想象力既包括从现实物体到平面图形的抽象，也包括从平面图形到现实物体的想象，参见《义务教育数学课程标准》中的例11和例16。除此之外，空间观念还包括对方位的认识，以及利用方位判断物体所在位置，例如《义务教育数学课程标准》所要求的：会描述简单的路线图（参见例36）。在帮助学生建立空间观念的过程中，需要把握这样一个基本情况：以“我”为基准判断方位或者位置比较容易、以“他”为基准判断方位或者位置比较困难，因此在教学过程中应当注意到这个区别。\n几何直观这个核心概念不局限于“图形与几何”的内容。直观是指对事物进行的不经过逻辑分析的直接判断，是一种经验层面的东西。生活的经验告诉我们：有些人得直观能要强一些，他们往往能够直接洞察事物的本质，他们的直接判断也往往能够抓住事物的核心；此外，还有些人对某一类事物有着特殊的直观，这要涉及这一类事物他们往往能够给出很好的直接判断。这种直观是思维的前提，这种直观能力的形成既有先天的因素、也有后天的养成，而养成的过程依赖的不是他人的传授，而是本人参与其中的思维活动或者实践活动，因此，这是一种经验的积累。也正因为如此，在《义务教育数学课程标准》的“四基”中包含了“基本活动经验”。\n事实上，不仅仅是数学，几乎所有学科都应当把培养这个学科的直观作为重要的教学目标。数学中的直观主要包含三种：代数直观，几何直观和统计直观，因为建立代数直观和统计直观是非常困难的，因此在义务教育阶段强调的是几何直观。关于几何直观，在《义务教育数学课程标准》中强调的是：利用图形描述和分析问题，因为：\n借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。\n正如我们在前面讨论过的那样，养成良好的几何直观的作用不局限于数学，对于其他学科（特别是物理学）的学习都是非常重要的，比如，初中物理将要学习的“力”的概念就需要借助向量进行数学表达，特别是表达几种“力”之间的平衡关系。几何直观甚至可以影响到日常生活和生产实践，比如，人们在表述几种事物之间的关系时，通常都会利用几何的图形或者符号，并且用这样的直观来辅助思考、理清思路，使得表述更加清晰、结论更加可靠。\n第四部分 统计与概率\n统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。因此，在“统计与概率”的教学过程中一定要强调数据，强调数据分析观念。\n数据分析大体可以分为两种情况：一种情况不考虑数据的随机性，被称为描述统计；一种考虑数据的随机性，被称为推断统计。在<E38082><E59CA8>
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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9. ID: msler5cB_f1MV5w7KcDW
内容: 为什么要强调数据分析观念？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '为什么要强调数据分析观念？\n统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。由此可以知道，虽然在数据分析的过程中要用到数学，但统计学与数学还是有所不同的，因为数学研究的基础是抽象了的定义和假设。因此，在“统计与概率”的教学过程中一定要强调数据，强调数据分析观念。\n粗略地说，数据分析大体可以分为两种情况：一种情况不考虑数据的随机性，被称为描述统计；一种考虑数据的随机性，被称为推断统计。当然，在推断统计中也经常会用到描述统计的方法。\n描述统计。描述统计只是针对调查了的数据本身进行表述。比如，调查了全班同学的身高可以得到一个表格，但为了把这些数据表述得更加清晰，可以把身高分段、然后计算每个身高段的人数，形成条形统计图或者扇形统计图。还可以对这些数据进一步分析，得到一些特征数据，比如，最高身高、最低身高、平均身高等等，这样就表述了全班同学身高的信息。\n在上述过程中，引导学生对身高进行合理分段是非常重要，因为这关系到能否对数据进行清晰表达和有效分析。一般来说需要强调两件事情：一是分段之前要制定准则，这个准则可以是自己设计的；二是设计的准则要合理，比如，分段区间太小就会导致每一段中的人数太少，分段区间太大就会导致每一段中的人数过多。无论如何，这样的教学活动是非常重要的，有利于培养学生良好地思维习惯，有利于帮助学生积累基本活动经验，包括思维的经验也包括实践的经验。\n可以看到，描述统计是非常重要的，事实上，统计学也是由此发端的，参见附录中的话题29。因此在现代社会的日常生活和生产实践中，描述统计依然应用广泛，比如，家庭收支状况，企业会计报表，政府财政预算，全国人口普查等等。可以看到，在描述统计中没有也不必要强调数据的随机性，只是对数据本身的一种统计。\n推断统计。推断统计希望推断调查了的数据以外的信息。比如，通过一个班级同学的身高信息推断全年级同学的身高情况。如果认为只考虑一个班级的情况不具有代表性，那么可以针对全年级同学身高情况进行抽样调查，之所以要抽样调查是因为全年级同学太多，没有必要全部调查。所谓抽样调查就是抽取这个年级的一部分同学测量身高，对这些同学的身高进行数据分析后推断全年级同学的身高情况。数据分析的方法可以与描述统计的方法完全一样，但得到的结论是或然的、是一种估计。比如，可以估计全年级各身高段人数的比例，可以估计平均身高等等。\n在上述过程中，如何合理地抽取一部分同学是非常关键的，通常称这样的过程为抽样。针对研究问题的不同，可以有各种抽样的方法，但在小学阶段主要介绍的是随机抽样。随机抽样是最一般的、最有效的抽样方法，比如可以事先在“随机数表”中得到一些随机数，然后根据学生的班级顺序和同学的学号进行抽样；可以事先决定在每个班抽相同比例的同学，然后根据同学的学号随机抽样；也可以根据男女同学的比例分配在男生和女生中的抽样数量等等。\n抽样的重要性，不仅仅是因为总体的数量太大，而是在大多数情况下无法掌握总体。比如，希望知道某种产品的寿命，就不可能把所有的产品都拿来做实验。\n可以看到，推断统计的核心就是通过经验了的东西推断未曾经验的东西，或者说，是通过对样本的数据分析推断总体的情况。因为现实世界的大多数事情都是以随机现象出现的，并且不可能完全知
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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10. ID: m8ler5cB_f1MV5w7KcDe
内容: 三种统计图之间有什么共性和差异？
标签: {'tags': ['MATH_DATA_1', '小学数学'], 'full_content': '三种统计图之间有什么共性和差异？\n在“统计与概率”的教学内容中涉及到三种统计图：条形统计图，扇形统计图和折线统计图。这三种统计图都可以用来直观地表述数据，使得数据表述信息一目了然，这是三种统计图的共性。但就信息表述的功能而言，这三种统计图还是有所区别的：条形统计图更有利于表述数量的多少，扇形统计图更有利于表述数量所占的比例，折线统计图更有利于表述数量的变化。应当注意到的是，虽然各种统计图的功能有所不同，但只有“好坏”之分而无“对错”之分，也就是说，在实际描述中无论使用那种统计图都不能说是错，而应当说表述的不够好、或许还有更好的方法。这也是统计学与数学的不同之处，因为数学对结果更多地是强调对、或者错。\n即便如此，在教学过程中应当引导学生学会选取合适的表述方式，学会确立判断事物好坏的准则，学会基于准则的判断。因为日常生活中的许多问题往往没有“对错”之分只有“好坏”之分，因此引导学生学会选择更合适的方法是重要的。这也像“数据分析观念”中所解释的那样：了解对于同样的数据，可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。当然，这里所说的分析方法还包括估计等许多内容，但思想的本质是一样的。'}
时间戳: 2025-06-27 11:25:01
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