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数量是什么？数量关系的本质是什么？
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数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生产实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等等。在古代中国，这样的表述可以追溯到商代的甲骨文，参见附录的话题1。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。在现代汉语中，一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。
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在上面的表达中，其中的数字还不具有数字符号的功能，只能把这些数字理解为与数量有关的事物的记载：一粒米与一头牛是不可同日而语的，虽然都是数量"一"的具体例子；此外，这样的表达是不利于进行运算的：一粒米加上一头牛是什么呢？因此，虽然数量是对现实世界中与量有关的事物的一种抽象，但数量还不能作为数学研究的对象，数学研究的对象应当是比数量更为一般的抽象。为了实现更为一般的抽象，就必须把握数量的本质，这个本质表现在数量的关系之中。
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数量关系的本质是多与少。经验告诉我们，动物也能够分辨清楚的东西，这些东西往往就是本质的。动物能够分辨多与少，一个生动的例子可以参见附录的话题2，因此，可以认为：数量关系的本质是多与少。可是，当人们还不会计数时，如何准确地分辨数量的多与少呢？
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对于同样的东西，问题还是比较简单的，因为数量是一个一个多起来的。比如，四个苹果是在三个苹果的基础上又多了一个苹果，所以四个苹果要比三个苹果多；同样的道理，五个苹果要比四个苹果多；又因为"多"的关系具有传递性，因此五个苹果要比三个苹果多。"少"与"多"是对应的，因此用同样的方法可以理解"少"。
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对于不同的东西，问题将变得比较复杂，因为很难理解四粒米要比三头牛多。这时，可以采用对应的方法来比较多少，比如，有若干个苹果，还有若干个橘子，如何判断是苹果多、还是橘子多呢？可以实施下面的过程来判断多少：把苹果看作一个集合，把橘子也看作一个集合；从苹果的集合中拿出一个，同时也在橘子的集合中拿出一个；重复这个过程，如果最后苹果的集合中还有剩余，这就说明：苹果的数量比橘子的数量多，反过来也说明：橘子的数量比苹果的数量少。我们称这种比较数量多少的方法为对应，人们最初就是用这种对应的方法来比较数量的多少，一些例子可以参见附录的话题3。在现代数学中，人们把这种对应的方法应用于无穷集合大小的比较。
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从上面的讨论可以看到，比数量更为一般的抽象，或者说，能够成为数学研究对象的抽象已经呼之欲出了。但是，应当如何来描述这个抽象呢？
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