You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.

46 lines
9.6 KiB

3 weeks ago
数学中的符号表达
古代代数学的顶峰大概是在古希腊数学家丢番图Alexandria
Diophantus约公元250年前后的时代现有资料表明是丢番图首先把抽象的符号引入代数学。他甚至给出了相当现在1/x、以及x的3次以上幂的表现形式这在当时被认为是极度抽象的、甚至是难以想象的。因为当时的人们普遍认为一个数的2次幂是平方、3次幂是立方都有具体的几何背景但3次以上幂就没有具体的几何背景了因此这样表示是没有意义的。
丢番图还知道一元二次方程有两个根但不知道如何处理这两个根于是他规定如果两个根均为有理数那么取较大的一个如果有根为无理数或者虚数那么这个方程不可解。这样话题13中所说的毕达哥拉斯学派发现
√2是无理数就是一个特例了因为 √2是方程x^2^ = 2
的一个根,当时的人们认为这样的方程是不可解的。
丢番图最感兴趣的问题是方程的正整数解,他把许多重要结果写在《算术》这本书中。现在,人们称求方程整数解的问题为丢番图问题。但是,丢番图绝对不会想到的是,他的《算术》这本书引发了一个著名的猜想,这就是费马大定理。
费马大定理。这个定理与勾股定理关系密切。在勾股定理a^2^ + b^2^ = c^2^
a、b和c表示直角三角形的三个边长三个边长可能为整数比如a = 3、b =
4和 c = 5。法国数学家费马Pierre Simon de
Fermat16011665把问题推广到一般的n次幂的代数等式并且猜想对于一般的情况、即n
≧ 3时等式
a^n^ + b^n^ = c^n^
不存在整数解也就是说不存在同时为整数的a、b、c使得上面的等式成立。因此对这样的一类等式勾股定理即n
=
2的情况是一个特例。费马是在读丢番图《算术》这本书拉丁版的问题8时想到这个问题的以定理的形式把这个结论写在这一页的扉页上[^82]
不可能将一个立方数写成两个立方数之和或者将一个4次幂写成两个4次幂之和或者总的来说不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂之和。
问题是简洁的结论是清晰的但证明却是相当困难的。经历了三个多世纪经过几代数学家的不懈努力于1993年这个问题终于被英国数学家怀尔斯Sir
Andrew John Wiles1953-解决长达130页的论文发表于1995年。
第一个有意识地使用字母表示抽象运算的是法国数学家韦达Francois
Viete1540-1603。在韦达之前人们只解决带有数字系数的方程比如一元二次方程。当时的人们认为像3x^2^ +
2x = 1和2x^2^ + 3x =
5这样的两个方程是不一样的虽然他们知道求解的方法是类似的。后来韦达用
ax^2^ + bx + c = 0
的形式一般性地表示一元二次方程其中a、b、c这些字母系数可以表示任何数。因为把方程由数字系数抽象到了字母系数于是研究的是一类方程的计算方法。借助字母系数韦达给出了一般的求根公式这样对于具体的数字系数只要代入公式就可以得到解。不仅如此韦达还借助字母研究了根与系数之间的关系如果用x~1~和x~2~
表示方程的两个根,那么方程的根与系数之间的关系为
x~1~ + x~2~ = -b/ax~1~·x~2~ = c/a。
这个公式阐明了方程的本质:由系数可以得到根,同时,知道了根可以推算系数。为了纪念韦达,人们把这个公式称为韦达定理。
韦达在1591年出版的《分析艺术引论》一书中划分了算术与代数的区别算术以及数字系数的方程是与数打交道是数字计算代数是作用于事物的类别或形式上的方法是类型计算。很显然如果没有韦达给出的字母系数的表达方法就不可能有代数学今天的发展。
最初韦达用拉丁文的辅音字母表示已知量元音字母表示未知量。后来解析几何的创始人法国哲学家、数学家笛卡尔Rene
Descartes1596-1650完成了代数符号的改进工作用拉丁字母的前几个字母a、b、c表示已知量用后几个字母x、y、z表示未知量这种表示方法沿用至今。
在今天,无论是自然科学还是社会科学、甚至包括人文学科,用符号表达概念、关系、法则已经成为一种常识。下面,考虑一个几何学的例子。
勾股定理。古代中国很早就知道了直角三角形边长之间的关系,人们称这个关系为勾股定理或者商高定理。这些名称大概来源于《周髀算经》[^83],因为这本书中记载,当周公问商高:古代伏羲在制定历法时是如何计算太阳高度的,商高回答:
勾广三,股修四,径隅五。
商高是用具体数字来回答问题的如果一个直角三角形两个直角边勾和股的长度分别为3和4那么斜边的长度就是5。虽然商高的回答没有述说一般性的结论但商高显然知道对应直角边成比例的两个直角三角形相似因此我们可以把商高的述说理解为一般性的结论。《周髀算经》没有对定理进行证明[^84]。
现在我们知道,这个关系可以用符号表示为
a^2^ + b^2^ = c^2^
其中a和b分别表示两条直角边长c表示斜边长。可以看到这样的表达既简洁又确切从中可以充分体会到利用符号表达公式的意义。
不用符号表达的弊病。学会用抽象的符号表达一般的数学关系和运算法则绝不是一件轻而易举的事情。但是不进行抽象符号表达至少会带来两个弊病一是很难进行更加深入的研究二是很难进行知识的传播。古代中国有过许多重要的数学成果就是因为没有抽象为符号表达后来这些数学成果没有得到深入也没有得到传承比如元代数学家朱世杰12491314的工作。朱世杰在1303年左右出版了数学著作《四元玉鉴》这部著作述说了许多高维的数学问题比如书中提出的"四元术"是一种解多元高次联立方程组的方法、提出的"招差术"是一种高次内插法;书还述说了从立体角度思考的数学问题,比如,书中提出的"垛积术"就是一种从立体层面考虑的三维的级数求和方法[^85]。可惜的是,在朱世杰的这部书中,无论是问题的提出、还是结果的描述几乎都是具体的数值,没有抽象成一般性的符号表达,因此,很难让人理解问题的本质和结果的含义,也能难让人揣摩解决问题的思路,因此明清以后几乎就没有人能够理解朱世杰的工作了。
数学抽象的本质。由此可见,用抽象的符号来表述概念从而形成数学的研究对象,用抽象的符号来表示研究对象之间的关系从而形成命题,对数学是何等重要。那么,到底什么是数学的抽象呢?数学抽象的本质是什么呢?我们还是回顾亚里士多德的论述。在《形而上学》一书中,亚里士多德对抽象的方法阐述到[^86]
数学家用抽象的方法对事物进行研究,去掉感性的东西诸如轻重、软硬、冷热,剩下的只有数量和关系,而各种规定都是针对数量和关系的规定。有时研究位置之间的关系,有时研究可通约性,还研究各种比例等等。......
数学家把共同原理用于个别情况,......
等量减等量余量相等,这便是一条对所有量都适用的共同原理。对于数学研究而言,线、角,或者其他的量(的定义),不是作为存在而是作为关系。
事实正是如此,数学抽象至少要把握两条:一条是去掉现实世界中事物的那些感性的东西,只保留事物的数量特征或者图形特征、以及数量或者图形之间的关系,并且创造符号、建立概念来表达这些特征和关系,比如,创造自然数的符号、并且建立等于、大于这样的概念来表示自然数之间的关系;再比如,抽象出点、线、面、角这样的图形、并且建立属于、之间这样的概念来表示图形之间的关系;另一条是数学的使命不是研究那些抽象出来的概念本身,而是研究概念之间的关系,并且建立运算法则和数学命题来表述这种关系。这样,在本质上,数学只有两种形式上的抽象:一种是数量与数量关系的抽象,一种是图形与图形关系的抽象。
那么抽象了的东西是如何存在的呢显然抽象了的东西不可能是具体的存在。比如数字3在这个世界上并不存在一个抽象了的3而只存在具体的三匹马、或者具体的三头牛。因此抽象了的符号和概念不是具体的存在其存在性体现于每一个具体。
或许可以这样说抽象了的符号或者概念是一种抽象的存在存在于人们的大脑之中。比如我们看到足球、看到乒乓球可以抽象出圆的概念但是脱离了足球、脱离了乒乓球我们仍然有圆的概念借助这样的概念我们能够在黑板上画出圆来甚至借助这样的概念我们可以定义圆、可以研究圆的各种性质。显然我们画出来的圆、我们讨论的圆依赖的是头脑中存在的抽象了的圆而不是曾经看到过的足球、乒乓球的简单复制关于这一点正如明代画家郑板桥1693-1765所说的那样"我画的是胸中之竹,不是眼中之竹。"我们称这样的存在为抽象了的存在。