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用符号表示分类
在这个话题，尝试用符号来表示分类。我们将看到，用符号表示分类，不仅能够更加清晰地表达分类，并且能够更加深刻地理解分类的标准、进而能够更加深刻地理解所要研究问题的性质。在问题4中曾经谈到，凡是不能用于构建分类标准的性质都是不重要的，或者说，凡是重要的性质必须是那些能够成为构建分类标准的性质。我们来分析这个问题。
用x表示所要研究的东西，称之为元素，用 Ω
表示所有元素所构成的集合。这样，符号x ∈ Ω 就表示x是一个属于集合 Ω
的元素[^56]。例如，要研究非0自然数（除去0以外的自然数），那么 x
就表示任意一个非0自然数，Ω 就表示所有非0自然数构成的集合。
令P表示一个与元素x有关的命题，为了讨论问题的方便，有时也用P表示性质或者标准；用A和B表示基于标准得到的两个集合，其中A表示满足标准P的那些元素构成的集合，B表示不满足标准P的那些元素构成的集合。例如，我们进一步讨论基于集合
Ω
的问题、即讨论所有非0自然数的问题。用P表示命题：能被2整除。那么，集合A就包含所有能被2整除的非0自然数，集合B就包含所有不能被2整除的非0自然数。
以上面所述的实例为背景，就可以给出分类标准的定义：性质P是分类标准的充分必要条件是集合A和B满足下面两个条件：
A ∪ B = Ω 和 A ∩ B = φ， （A3）
其中 φ
表示空的集合、即不存在元素。在这个表达中，符号"∪"被称为"并"，表示"或者"的意思，因此第一个等式表示：如果元素x∈A或者x∈B，则x∈Ω；反之，如果x∈Ω
则x∈A或者x∈B。符号"∩"被称为"交"，表示"同时"的意思，0表示空集合，因此第二个等式表示："属于集合A同时属于集合B"的元素不存在。
可以看到，前面例子中的集合A和B满足（A3），因为：一个非0自然数或者能被2整除、或者不能被2整除，二者必居其一，这是第一个等式；一个非0自然数不可能同时被2整除又不被2整除，这是第二个等式。因此对于集合
Ω，命题"能被2整除"可以作为分类的标准，因此对于非0自然数而言，这个命题是一个重要性质。
也可以看到，在分类的过程中，限定讨论问题的范围、即限定集合 Ω
是重要的，比如针对上面的例子，如果把讨论问题的范围限定在所有自然数，那么（A3）将不成立，因为自然数集合包括0：对于整除而言，0是一个特例。
有兴趣的读者可以尝试，小学数学教学中常见的性质都能按照这个方法进行分类。