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3 weeks ago
整数集合上的乘法是如何得到的?
在上一个问题谈到,在整数集合上,乘法不是加法的简便运算,那么,应当如何定义整数集合上的乘法运算呢?
整数集合上的乘法是自然数集合上乘法运算的推广推广的工具是交换律和分配率。乘法的交换律与分配率可以表示如下对于a
∈ Zb ∈ Zc ∈ Z有
交换律a × b = b × a。
分配率:(a + b) × c = (a × c) + (b × c)。
对于乘法运算交换律与分配率是本质的。甚至可以认为这两个定律与乘法运算是等价的也正因为如此才可能把乘法运算由自然数集合N推广到整数集合Z上具体讨论参见附录的话题19。这样对于问题11中所提出的乘数为负数的情况通过交换律可以得到
3 × (-2= -2 × 3 = -6。
可以看到对于乘法运算1是非常重要的数相当于0对于加法运算通常可以把这个数理解为乘法的单位元。用1和相反数
-1可以把乘法的计算法则表示为
1 × 1 = 1
1 ×-1= (-1) × 1 = -1
-1×-1= 1。
其中,第一个等式来自乘法的基本性质,第二个等式可以通过交换律直接得到,第三个等式可以用下面的方法给予证明:
0 = 0 × (-1)
= \[(-1) + 1\] × (-1)
= \[(-1) × (-1)\] + \[1 × (-1)\]
= \[(-1) × (-1)\] + (-1)。
在上面最后的式子中,因为 -1的相反数为1因此得到结论-1×-1=
1。在上面的运算过程中第一个等号是因为0乘以任何数为0第二个等号是因为1与
-1互为相反数和为0第三个等号是因为乘法分配率第四个等号是因为已知1 ×
(-1) = -1。
在上面的证明过程中可以看到交换律与分配率对于乘法运算是何等重要没有交换律就解释不了1
×-1= -1没有分配率就解释不了-1×-1=
1。当然也可以利用相反数的概念直观解释乘法 \[(-1) × 1\] 这个数是 (1
× 1) 这个数的相反数所以从1 × 1 = 1知道 (-1) × 1 =
-1同样的道理可以得到-1×-1=
1。但是这样的述说至多是一种直观解释因为我们并没有讨论"相反数"与"运算"之间的关系,更没有讨论"相反数"与"算理"之间的关系。
因此算理是重要的绝不可以简单地把算理理解为依附于运算方法的一种性质而应当把算理理解为运算方法的本质详细讨论参见附录的话题19。也正因为如此《义务教育数学课程标准》专门设定了一个核心概念运算能力其中特别强调培养运算能力有助于学生理解运算的算理寻求合理简洁的运算途径解决问题。