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整数集合上的乘法是如何得到的?
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在上一个问题谈到,在整数集合上,乘法不是加法的简便运算,那么,应当如何定义整数集合上的乘法运算呢?
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整数集合上的乘法是自然数集合上乘法运算的推广,推广的工具是交换律和分配率。乘法的交换律与分配率可以表示如下:对于a
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∈ Z,b ∈ Z,c ∈ Z有
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交换律:a × b = b × a。
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分配率:(a + b) × c = (a × c) + (b × c)。
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对于乘法运算,交换律与分配率是本质的。甚至可以认为,这两个定律与乘法运算是等价的,也正因为如此,才可能把乘法运算由自然数集合N推广到整数集合Z上,具体讨论参见附录的话题19。这样,对于问题11中所提出的乘数为负数的情况,通过交换律可以得到
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3 × (-2)= -2 × 3 = -6。
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可以看到,对于乘法运算,1是非常重要的数(相当于0对于加法运算),通常可以把这个数理解为乘法的单位元。用1和相反数
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-1可以把乘法的计算法则表示为
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1 × 1 = 1
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1 ×(-1)= (-1) × 1 = -1
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(-1)×(-1)= 1。
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其中,第一个等式来自乘法的基本性质,第二个等式可以通过交换律直接得到,第三个等式可以用下面的方法给予证明:
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0 = 0 × (-1)
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= \[(-1) + 1\] × (-1)
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= \[(-1) × (-1)\] + \[1 × (-1)\]
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= \[(-1) × (-1)\] + (-1)。
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在上面最后的式子中,因为 -1的相反数为1,因此得到结论:(-1)×(-1)=
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1。在上面的运算过程中,第一个等号是因为0乘以任何数为0;第二个等号是因为1与
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-1互为相反数,和为0;第三个等号是因为乘法分配率;第四个等号是因为已知1 ×
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(-1) = -1。
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在上面的证明过程中可以看到,交换律与分配率对于乘法运算是何等重要:没有交换律就解释不了1
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×(-1)= -1;没有分配率就解释不了(-1)×(-1)=
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1。当然,也可以利用相反数的概念直观解释乘法: \[(-1) × 1\] 这个数是 (1
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× 1) 这个数的相反数,所以从1 × 1 = 1知道 (-1) × 1 =
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-1;同样的道理可以得到(-1)×(-1)=
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1。但是,这样的述说至多是一种直观解释,因为我们并没有讨论"相反数"与"运算"之间的关系,更没有讨论"相反数"与"算理"之间的关系。
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因此,算理是重要的:绝不可以简单地把算理理解为依附于运算方法的一种性质,而应当把算理理解为运算方法的本质,详细讨论参见附录的话题19。也正因为如此,《义务教育数学课程标准》专门设定了一个核心概念运算能力,其中特别强调:培养运算能力有助于学生理解运算的算理,寻求合理简洁的运算途径解决问题。
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