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为什么说减法是加法的逆运算？
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四则运算都是源于加法，因为从加法运算可以产生减法运算、乘法运算和除法运算。因此，如果不想无源头地、硬性地定义加法以外的其他运算，那么可以认为：四则运算都是源于加法。
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在最初阶段，可以采用问题9中所说的对应的方法，对小学低学段的学生解释减法运算。比如，仍然用图来解释减法：在（3）的基础上，利用下面的图
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□□□ →□ □□□
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来解释减法：4 - 1 = 3。
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显然，利用这样的与问题9对称的教学方法，可以让学生感悟加法和减法互为逆运算，并且让学生知道，减一个自然数比原来的数小。在这样教学的基础上，对于小学高年段的学生、以及初中阶段的学生，可以进一步通过加法的逆运算来解释减法。
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减法是加法的逆运算。比如，可以认为4 - 1 = 3是由4 = 3 +
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1产生的。更一般地，对于a ≧ b，可以这样产生减法：
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a - b = x ←→ a = b + x，
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其中双向箭头 ←→ 表示等价关系。因为a ≧ b，所以计算结果 x ∈
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N是一个自然数。这就表明了减法是加法的逆运算。可以用语言表达减法与加法之间的逆运算关系：
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对于数量而言，b比a"少"多少等价于a比b"多"多少；对于数而言，b比a"小"多少等价于a比b"大"多少。
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在上面的论述中所说的"多少"表述的是一个量化的过程，这也是a大于b的理由：a
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≧ b等价于存在一个自然数x，使得 a = b + x。
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当a ﹤ b的时候，问题就变得复杂了，因为这时a - b
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的差将小于0，这时的"差"将不是自然数。但在日常生活中，这样的数是有意义的，回顾问题5的讨论。
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除了像问题5中所说的那样，用对应的方法表示负数之外，还可以通过自然数和自然数的加法给出负数的定义：对于a
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∈ N且不为0，称满足
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a + x = 0
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的数x为负数，把这个数表示为 --a，并且称 -a为a的相反数。必须注意到，这时
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--a代表的是一个数，详细讨论参见附录的话题10。一般来说，对于任意数a，称a和
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-a互为相反数。从定义的过程中可以看到，0对加法运算是重要的，因为有了加法运算和0就可以产生负数。这也是为什么自然数要从0开始而不是从1开始的理由。
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> 为了研究问题的方便，人们称不为0的自然数为正整数，正整数对应的相反数为负整数[^11]，把负整数、0和正整数统称为整数。这样，整数集合就可以表示为：
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Z = {负整数，0，正整数}。
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或者具体地表示为
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Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }。
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这也表示了整数之间的大小关系：从0开始，正整数是一个一个大起来的；从0开始，负整数是一个一个小下去的。因此，整数的序既无开头也无结尾。
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现在，我们已经把数的集合从自然数集合扩充到整数集合。那么，数学进一步必须做的事情是：把加法运算由自然数集合扩充到整数集合。在教学活动中，虽然不需要让小学生知道这个扩充的过程，但应当让小学生知道，加上一个正数，比原来的数大；加上一个负数，比原来的数小。
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有了整数集合上的加法，就可以在整数集合上一般性地定义减法：对于a ∈ Z，b ∈
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Z
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a - b = x ←→ a = b + x，
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其中 x ∈ Z是一个整数。容易验证，整数集合对于加法和减法运算都是封闭的。
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上面的表达式准确地说明：减法是加法的逆运算。基于这个结果，容易验证减法与相反数之间的关系：减去一个数等价于加上这个数的相反数。可以把这个关系表示为
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a -- b = a + (- b)，
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详细讨论参见附录的话题9。
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