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如何认识自然数的性质？
虽然自然数是数学中最简单、最基础的研究对象，但要研究清楚自然数的性质却不是一件容易的事情，一些著名的命题和猜想都与自然数的性质有关。
在下面的讨论中将会看到，依据性质可以对自然数进行分类。在2011年颁布的《义务教育数学课程标准》中强调了分类，因为"分类讨论问题"有助于人们认识事物的本质，这也是中国人认识问题的传统思维模式，这种思维模式一直影响到当代中国[^4]。分类的核心是构建一个标准，基于这个标准把所要研究的东西分为两个、或者两个以上的集合，使得每一个要研究的东西属于、并且唯一属于某一个集合。因此，这里所说的标准实际上就是所要研究的重要性质：标准与性质是等价的。或许可以说，凡是不能用于构建分类标准的性质都不是重要的，参见附录的话题11。
人们最常见的、也是小学数学教学内容包括的对自然数的分类主要有两种：一种是奇数与偶数的分类；一种是素数与合数的分类。
奇数与偶数。可以有两种方法进行这样的分类，一种方法针对自然数序：从1开始每隔1个称其为奇数，从2开始每隔1个称其为偶数；一种方法针对非0自然数：称不能被2整除的为奇数，能被2整数的为偶数。所说的两种方法是等价的，有兴趣的读者可以尝试性地给出证明。乍一看，这样的证明几乎无从下手，但完成这样的证明能够体会到数学的严谨性。
一个非常有趣的现象是，几乎所有民族在日常生活中遇到与数量有关的事件，都会通过数的奇偶性、或者一些特殊的数字来推断事件的凶吉，特别是对一些重大事件的推断，比如中国的《易经》就利用数的奇偶来表示阴阳，参见附录的话题12。另一方面，知道数的奇偶性也有利于直观判断运算结果：奇数加偶数为奇数，奇数加奇数为偶数，偶数加偶数为偶数；奇数乘奇数为奇数，偶数乘偶数为偶数。最后的性质被用来证明
√2是无理数，参见附录的话题14。
素数与合数。对于非0自然数，人们称只能被1和自己整除的数为素数（质数），其他的数为合数（为了研究问题的方便，人们规定1既不是素数也不是合数）。比如，2，3，5等就是素数，4，6，9等就是合数。人们发现：任何一个合数都可以表示为若干个素数的乘积，并且表示方法是唯一的，比如，60
=
2×2×3×5，这样，60就与素数组（2，2，3，5）唯一对应。于是人们认为素数是最基本的数，加强了对于素数的研究，参见附录的话题12。
后来，年轻的高斯（Johann
Gauss，1777-1855）把这种表达方式引入高次方程的研究，高斯在他的博士论文中给出了代数基本定理，用代数因子乘积的方法清晰地构建了高次方程的基本结构[^5]。对于一个n次多项式
f(x) = x^n^ + a~n-1~ x^n-1^ + ... + a~1~ x + a~0~，
其中a~0~，a~1~，..., a~n-1~ 为多项式的系数，x
表示未知数。代数基本定理述说了这样一个基本事实：存在n个实数或者复数x~1~，...，x~n~,使得
f(x) = (x - x~1~) ... (x - x~n~)。
这样，很容易验证x~1~，...，x~n~ 都是方程f(x) =
0的根。也就是说，代数基本定理给出了一个非常重要的结果：在复数范围内，n次方程必然有n个根，并且，这些根是由系数唯一确定的。
顺便说一句，二次方程因式分解中的十字相乘法不是本质的、因而是不重要的，因为通过求根公式可以得到方程的根，然后用上述高斯的方法就可以写成两个因式的乘积。