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3 weeks ago
如何认识自然数?
数是对数量的抽象数的关系是对数量关系的抽象。在问题1中已经谈到为了更好地研究现实世界中量的关系就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。在这个抽象过程中人们把数量关系也一并抽象出来形成数的关系。数量关系的本质是多与少与此对应数的关系的本质是大与小。因此自然数是对数量、以及数量关系的抽象。可以有两种方法实现这种抽象或者说可以有两种方法认识自然数。
一种方法是基于对应的。基于对应的抽象过程大概是这样的:首先利用图形对应表示事物数量的多少,然后再对图形的多少进行命名,最后把命名了的东西符号化。比如,
□□ ←→ 2
□□□ ←→ 3
...... 1
在汉语中,分别称其为"二"和"三"。其中小方块表示任何元素既可以表示小石头参见附录的话题3也可以表示苹果或者橘子符号"←→"表示对应关系。
因为上面的表达具有一般性因此可以把表达1称为模式其中小方块就是沟通数量与数字之间对应关系的桥梁。之所以称这样的表达为模式是因为这样的表达具有一般性我们称能够表达或者解决一类数学问题的方法为模式。
可以看到,这种基于现实背景认识自然数的方法是直接的、也是深刻的,因此,我国现行小学数学教材普遍采用的就是这样的写法,在教学过程中普遍采用的也是这样的教学方法。进一步,因为数量的"多与少"对应于数的"大与小"所以从1的对应法则应当让学生知道3﹥2。
一般来说,需要从两个角度来把握这种抽象:在形式上,自然数去掉了数量后面的后缀名词;在实质上,自然数去掉了数量所依赖的具体背景。自然数的抽象过程深刻地表明,数学不是研究某一个有具体背景的东西,数学研究的是一般的规律性的东西;反过来,人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物,这就体现了数学的价值。比如,人们通过抽象了的自然数研究运算方法,反过来,又把自然数的运算方法应用于具体的数量运算。
一种方法是基于定义的。数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了"后继"的概念。比如先有1称1的后继为22比1大1表示为2
= 1 + 1称2的后继为33比2大1表示为3 = 2 +
1......通过这样的后继关系人们就得到了自然数。最初规定自然数是从1开始的后来为了更一般的表示又规定自然数从0开始。关于定义自然数的详细讨论参见附录的话题6。
可以看到,通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景,这样的方法过于抽象,不适于小学阶段的数学教学。但是,作为数学教师应当知道这样的方法,并且要理解其中的逻辑关系,因为数学的严谨性是从数的定义开始的。
在教学过程中还应当注意到,读数和用符号表示数是有所不同的,用符号表示数比读数更加抽象。在读数的过程中,人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了,比如,用"十"对应于"十个"那么多、用"百"对应"百个"那么多。但是,这样的方法对于符号表示是不可能的,因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。那么,表示自然数的关键是什么呢?