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"平均数的意义是什么"相关教学设计\
前 言
自从1998年担任东北师范大学校长以后，我开始关注基础教育，但关注的是一般性的问题，并没有深入到学科内部。2005年，接受教育部的委托，担任了《义务教育数学课程标准》修改组的组长以后，才开始真正思考数学教育。思考课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？思考数学的本质是什么，应当如何在教学中体现这些本质？进一步，开始思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？开始思考培养创新性人才的核心是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？
思考的结果，促使我在传统的课程目标、即基础知识和基本技能这"双基"的基础上，又加上了数学的基本思想和基本活动经验，形成了"四基"的课程目标。与传统的"双基"不同，基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，不言而喻，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。我确信：数学素养的培养、特别是创新人才的培养是"悟"出来的而不是"教"出来的；数学的结果是"看"出来的而不是"证"出来的。可以想象，会"悟"会"看"的底蕴是把握数学思想，会"悟"会"看"的教育是一种经验的积累（包括思维的经验和实践的经验），需要受教育者本人的思考和实践，因此，受教育者本人参与其中的教育教学活动是至关重要的。
令人欣慰的是，"四基"的提出得到修改组的成员的一致支持，后来又得到数学家、数学教育专家、教研员、以及活跃在教学第一线教师的广泛支持。这样的支持迫使我更加深入地思考：数学基本思想是什么？为此，我给出了一个判定数学基本思想的准则，这个准则包含两条：一是数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；二是学习过数学的人与没有学习过数学的人的思维差异。这样，就把数学思想归纳为三方面的内容，可以用六个字表达：抽象、推理、模型。我计划写六本书来说明这些想法，即每一方面的内容写两本书。在东北师范大学出版社的敦促下，已经写完五本并陆续出版了。
恰逢中国的基础教育要实现从"能上学"到"上好学"的转变，这个转变的核心是：实现教育公平，提高教学质量；实现这个转变的基础是：全员提高教师的教育教学水平。于是在我国，由政府主导的大规模的中小学教师培训开始了，培训内容从教育理念到教学方法是全方位的。在这个培训中，修改了的课程标准的解读与实施就自然而然地成为了重要内容。在培训的过程中，我收到了许多问题：有来自培训者的、也有直接来自学员的；有教育理念的、也有教学内容的。在回答问题的过程中，我深切地感悟到基础教育阶段的数学教育应当有所变化，而变化的依据就是"四基"。
比如小学数学。小学阶段所涉及到的数学内容几乎都是常识性的，只要记住一些法则就会计算；此外，小学生的抽象能力、特别是演绎推理能力尚未养成，不应当、也不可能过多地讲授数学道理。或许就是因为这些原因，在我国长期以来就形成了基于"双基"的数学教学，不仅影响到了小学、并且影响到了整个基础教育。这种教学的目标是：基础知识（主要是概念和法则的记忆）扎实，基本技能（主要是计算和证明的能力）熟练；适于这种教学目标的主要教学形式是：通过大量反复的练习，达到记忆扎实、熟能生巧；对应于这种教学目标的考试是：概念的记忆与理解，计算的准确与速度。显然，对于这样的考试而言，上面所说的教学形式是合适的，效果也是明显的。简而言之，就短期行为而言，上面所说的教学方法是简便有效的。但是，这样的教学形式不利于培养学生的数学素养，不利于让学生感悟数学的思想，不利于帮助学生积累思维的和实践的经验，更不利于培养学生的创新意识和创新思维。因此，这样的教学形式将无法实现基于"四基"的课程目标。
基于"四基"的课程目标对中小学数学教师提出了更高的要求，除了传统的"双基"之外，还要求教师：能够把握教学内容的数学实质、并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；引发学生思考问题、并且帮助学生建立起良好的独立思考习惯；引导学生能够正确地思维与实践、并且帮助学生积累思维的和实践的经验。在同样的条件下，一个人的事业成功与否，并不仅仅取决于知识掌握的多少，还取决于这个人的思维方法。毋庸置疑，为了实现新的教学目标就必须改变传统的教育理念和教学方法。
这本书的写作目的就是讲述小学数学内容的实质，探讨能够实现"四基"课程目标的、适合小学生认知规律的表达方式和教学方法。为了讲述得更加直接，这本书尝试以回答问题的方式来讲述这些内容，其中大部分问题来自数学教育工作者和教学一线的数学教师。一共30个问题，我希望通过对这30个问题的理解就能够把握小学数学的核心，就可以增强教学的信心。作为小学阶段数学知识的拓展，又在附录1中设定了30个话题，了解这些话题的内容对于教学是有益处的。在问题和话题中，都没有直接涉及到"综合与实践"，因为我们讨论的问题针对的都是数学内容。既便如此，在问题和话题的讨论过程中多次特别提到，有些内容可以在"综合与实践"的课程中实现，进一步，这些想法还体现在附录2的相关教学内容设计之中。
为了启发教师把"问题"所涉及的内容落实于具体的教学活动，东北师范大学教育科学学部的马云鹏教授组织了长春市的几位优秀小学教师，编写了部分教学片断设计。这些教师有着丰富的教学经验和饱满的工作热情。我多次参加他们的研讨会，商定了编写原则和编写体例，并且对他们编写的每一个教学设计都做了认真修改，这些内容构成了附录2。需要说明的是，这些教学片断的设计是为了说明"问题"内容的教学实现，而不是为了具体的教学活动，因此，所设计的内容含量与教学时间无关，只是供教师在设计自己的教学活动时参考。
因为小学数学所涉及的内容，无论是基本概念（比如自然数、负数、有理数、点线面角等）还是基本法则（比如四则运算、交换律、分配率、全等、距离等）都是最基础的、因而是最本质的，要把这些本质的东西讲述清楚往往是非常困难的，因此我想，这本书的内容对于中学数学教师、甚至对大学生和大学教师都是有参考价值的。
我没有小学数学的教学经验，也没有系统地研究过课程论和教学方法，因此，这本书的内容述说可能并不完全符合实际，特别是关于如何实施教学的那些内容。但是我相信，数学教育工作者、活跃在教学第一线的教研员和广大的教师有着无限的创造力，只要理解了这本书所述说的内容和理念，就一定能够创造出生动活勃、行之有效的教学方案和教学方法。
第一部分 数的认识
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在于十个符号和数位。
为了减法运算的需要，人们把自然数集合扩充到整数集合；为了除法运算的需要，人们把整数集合扩充到有理数集合。减法运算和除法运算都是逆运算，因此，逆运算是数集合扩充的原因，详细讨论参见第二部分：数的运算。
虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是比例关系。最初人们用分数定义有理数，后来又用有限小数和无限循环小数定义有理数，这两个定义是等价的。