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除数是分数时的除法运算
小学数学的教学中，除数是分数时的除法运算是难点之一。许多情况下，学生只是记住了运算的法则，却很难理解其中的道理。在这个话题中，我们借助问题6中的例题尝试性地讨论这个问题，分析其中的道理，问题6中的例题是
小红家有鹅4只，是鸭子数量的1/3，问有几只鸭子？
在问题6，我们曾经用比例的方法讨论了这个问题的解法。但是，小学数学教材中设立这个例题的目的并不是为了讲比例关系，而是为了介绍一个法则：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。虽然在问题13以及话题20中，我们讨论了更为一般的法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，但因为分数的情况特殊，因此在小学数学教学中把这个问题作一个专题还是必要的。
在具体的教学过程中，必须重视两个核心问题：一个问题是为什么要用除法，一个问题是除以一个分数为什么等于乘以这个分数的倒数。
为什么要用除法。许多教师对这个问题感到困惑，主要是困惑在分数上：对于现实问题，除以分数的含义是什么？回顾问题13中关于除法的讨论，其中特别强调：对于"a是b的y倍"这样的问题应当用除法，运算形式表示为：a
÷ b = y。因为在这个运算形式中，除数b与商y是对称的，因此算式等价于：a ÷ y
=
b。对应于后一个算式，可以知道：对于"已知a是b的y倍，求b是多少"这样的问题也应当用除法。
根据上面的讨论，只要把问题6中的例题适当转换，就可以得到应当用除法的问题：
小红家有4只鹅，是鸭子数量的2倍，问有几只鸭子？
显然，这个问题应当用除法，即鸭子的数量为：4 ÷ 2 = 2
(只)。同样的道理，原来的例题也应当用除法，鸭子的数量为：4 ÷
1/3。同时也应当看到，许多教师对这个问题感到困惑是有道理的，因为在人们日常的话语系统中，很少会说"一个数量是另一个数量的1/3倍"，所以这个例题设计的不尽合理。对于这个例题，还是应当把1/3理解为比例关系，就像问题6中所做的那样。
为什么要乘以倒数。进一步，我们讨论应当如何解释法则：除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。对于这个例题而言，就是要解释为什么
4 ÷ 1/3 = 4 × 3 = 12。 (A11)
显然，记住这个法则是非常重要的，但是，在教学过程中也应当让学生多多少少感悟其中的道理，那怕这个道理述说的并不严格。我们尝试性地解释这个法则。
如果把分数理解为整体与等分关系的（参见问题6），那么，可以从1开始来分析上面的算式。比如考虑重量：把一个整体等分为3份，如果1份的重量是1斤[^81]，问整体的重量是多少？学生自然会知道：整体的重量是3斤。然后把这个想法抽象为算式：
1 ÷ 1/3 = 1 × 3 = 3。
同样的道理，可以得到：2 ÷ 1/3 = 2 × 3 = 6，3 ÷ 1/3 = 3 × 3 = 9，...
。这样，就可以通过类比的方法得到算式（A11），进而得到法则。
如果把除法理解为乘法的逆运算，则可以严格地证明这个法则。由问题13可以得到：
4 ÷ 1/3 = ? ←→ ? × 1/3 = 4。 （A12）
在箭头右边的等式两边分别乘以3等式不变，可以得到
? × 1/3 × 3 = 4 × 3，
于是可以得到：? = 4 ×
3。比较（A12）箭头左边的等式，因为等量的等量相等，于是有：
4 ÷ 1/3 = 4 × 3 。
很容易把上面的证明过程推广到一般的情况，即对于自然数n和m有
n ÷ 1/m = n × m，
这就证明了法则。有兴趣的读者可以把这个论证方法与问题13中关于一般法则的论述进行比较，从而加深对除法的理解。
特别是，如果学习了方程，问题就容易解决了。比如，令 a = 4 ÷
1/3，在等式两边分别乘以1/3得到：a × 1/3 = 4；两边再分别乘以3得到：a = 4
× 3 。