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为什么说除法是乘法的逆运算？
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与减法是加法的逆运算类似，除法是乘法的逆运算。不同之处在于：加法逆运算的表达是通过0，乘法逆运算的表达是通过1。我们来分析这个问题：对于a
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∈ Z，b ∈ Z，
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a ÷ b = y ←→ a = b × y。
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这个关系表明除法是乘法的逆运算，因为除法可以与乘法对应。通常在上式中，称a为被除数，称b为除数，称y为商。
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如果得到的商是整数，那么，很容易通过语言说明上面的关系式、进而说明除法是乘法的逆运算：命题"a是b的y倍"等价于命题"b的y倍是a"。通过上面的式子还可以看到，对于前一个命题、即"a是b的多少倍"这样的问题应当用除法；对于后一个命题、即"b的y倍是多少"这样的问题应当用乘法。因为理解除法比理解乘法要困难一些，因此在实际教学过程中，往往需要借助乘法来说明除法，一个具体的例子参见附录的话题21。
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如果得到的商不是整数，比如，5 ÷
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2就不能表示为整数，这就需要构建一种新的数，人们称这样的数为有理数。这样，通过除法，可以把数的集合由整数集合扩充到有理数集合，通常用R表示这个集合。进一步，可以把加法运算、减法运算、乘法运算和除法运算扩充到有理数集合，这便是四则运算。人们把四则运算扩充到有理数集合的同时，也把相应的运算法则扩充到有理数集合。但是，在扩充过程中需要特别注意逆运算，对于逆运算
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分配率成立：(5 + 6) ÷ 3 = (5 ÷ 3) + (6 ÷ 3)；
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交换律不成立：5 -- 3 ≠ 3 -- 5；5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5。
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除法与倒数。在问题10中，曾经利用相反数来定义负数，同时把自然数集合扩充到整数集合。类似，也可以利用倒数来定义有理数，把整数集合扩充到有理数集合。倒数的定义方法如下：对于b
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∈ Z且不为0，称满足
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b × y = 1 （5）
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的数y为b的倒数，表示为1/b。与相反数类似，称b与1/b互为倒数。进一步，对于任何a
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∈
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Z，用a/b表示a个1/b这样的数。通过这样的表示，就可以利用倒数把整数集合扩充到有理数集合，即把有理数集合表示为
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R = { a/b；a ∈ Z，b ∈ Z - {0}}，
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其中Z为整数集合。
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上面关于有理数集合的表示是具有一般性的：用大括号囊括所有集合中的元素；分号前面表示的是集合中元素的形式；分号后面表示的是集合中元素的属性。其中符号
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b ∈ Z- {0}
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表示b可以是除去0以外的所有整数，这种表示也意味着"0不能为除数"这个基本要求，关于这个要求的详细讨论参见附录的话题20。
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容易验证，有理数集合对加、减、乘、除这四种运算都是封闭的。这样，人们就从自然数集合出发，通过四则运算（主要是通过减法和除法这两种逆运算）把数的集合扩充到整数集合、继而扩充到有理数集合。事实上，有理数集合也是四则运算能够扩充到的最大数集。除却四则运算之外，还有一种重要的运算就是极限运算，人们通过极限运算把数集由有理数集合扩充实数集合。
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在问题10中，我们讨论了相反数与减法之间的关系：减去一个数等于加上这个数的相反数。采用类似的方法，我们可以得到倒数与除法之间的关系：除以一个数等于乘以这个数的倒数。可以把这句话用关系式表示为
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a ÷ b = a × (1/b)。
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在乘法运算过程中，人们通常会省略其中的乘法符号"×"（参见附录的话题19），因此，基于上面的表达式，人们有时也把除法写成倒数的形式：a
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÷ b =
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a/b。虽然这种表示方法与分数是一致的，但从抽象的本意来说，分数与除法是有本质差异的，回顾问题6的讨论。
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