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乘法是加法的简便运算吗？
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人们一般认为，乘法是加法的简便运算，但事实并不这样简单，需要分两种情况讨论：一种情况是基于自然数集合，一种情况是基于整数集合。
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在自然数集合上，乘法是加法的简便运算。比如，8 = 4 × 3是由8 = 4 +
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4 + 4 产生的，是3个4相加的简便运算。一般地，对于a ∈ N，b ∈ N有
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a × b = c ←→ a + a + ... + a = c，
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其中"连加"表示有b个a相加，因此左边的乘法是b个a相加的简便运算。对于这样的表示，通常称a为被乘数、b为乘数、c为积。
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基于这样的运算，可以得到两个基本性质：对于任何a ∈ N有
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0 × a = 0，1 × a = a。
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通过附录话题19的讨论可以看到，这两个性质是乘法运算独有的。这两个性质构成了乘法运算的基本特征，近代数学所定义的任何乘法（包括矩阵的乘法）都保留了这两个性质。
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在整数集合上，乘法不是加法的简便运算。当被乘数为负数、乘数为正数时，还可以把乘法运算解释为加法的简便运算。比如，可以把
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-2 × 3 = -6 ←→ (-2) + (-2) + (-2) = -6，
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解释为3个
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-2相加的简便运算。可是，当乘数为负数时，"乘法是加法的简便运算"这个命题就解释不通了。比如，不可能把乘法3
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× (-2）解释为
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-2个3相加的简便运算。因此，在整数集合上，我们不能说乘法是加法的简单运算。那么，到底应当怎样解释整数集合上的乘法呢？这就需要我们更加深刻地理解乘法，理解乘法的算理、以及基于算理的乘法运算法则。
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