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"平均数的意义是什么"相关教学设计
（刘艳平 东北师大附小）
有关教学内容：平均数的认识
课程标准要求：（第二学段）体会平均数的作用，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。能解释统计结果，根据结果做出简单的判断和预测，并能进行交流。
这里所说的"平均数"主要是指统计学意义上的平均数。算术意义上的平均数比较容易理解：平均数
= 总量 ÷ 份数，这是仅仅是除法的一种形式。这种形式来源于乘法模型：总价 =
单价 ×
份数，其中的单价就是平均数。虽然在运算形式上看，算数意义上的平均数与统计意义上的平均数是一致的，但前者属于描述统计、后者属于推断统计，差异就在于是否考虑了随机性，详细讨论参见问题29和话题29。统计意义上的平均数的教学设计，必须考虑到抽样、考虑到样本的随机性，即把每个数据都看作为样本、是通过抽样得到的；其核心是样本的独立同分布，也就是说，每次抽样是独立进行的、每次抽样过程在本质上是一样的。
教学片断设计：估计投篮命中率
1. 通过样本感悟随机性
教师讲述小明投篮的故事。小强非常喜欢打篮球，长大了想当一名篮球运动员。小强让体育老师测验自己投篮的命中率，体育老师在一个星期的5天里，每天测验一次，每次定点投篮10次，投中球数的记录如下：第一天3个、第二天4个、第三天3个、第四天6个、第五天4个。如下图所示，教师要求学生用图表示小强投篮的情况，帮助小强计算平均每天投中几个球，并且利用平均数帮助小强估计投篮的命中率。
![](./Images/MATH_1_19.png)
因为小强五天一共投中3 + 4 + 3 + 6 + 4 = 20个球，以此平均每天投中20/5 =
4个球。计算模式是：平均数 =
进球数/天数。在计算平均数的过程中，教师应当让学生感悟到：虽然小强每天都投球10次，但进球数却是不确定的；虽然不确定，但进球数相对稳定在平均数附近。这就是对随机性感悟，对统计意义上的平均数的感悟。
基于这种感悟，就可以估计命中率了：因为每天都投了10个球，于是命中率的估计是：4/10
=
2/5。因为命中率就是概率，因此这样的估计就是用样本频率估计概率。也可以直接估计命中率，因为一共投篮50次、命中20次，因此估计命中率是20/50
= 2/5。
2. 通过样本感悟平均数
为了让学生更好地感悟平均数的意义，教师讲述了一个比较复杂的投篮的故事。教师可以利用本地职业篮球队主力投手的资料，比如，这个主力投手近五场球赛投球记录：
第一场18投8中，3分球5个；第二场15投7中，3分球4个；第三场21投10中，3分球5个，第四场17投9中，3分球7个；第五场18投7中，3分球4个。
那么，这名运动员每场球的平均进球数是多少呢？得分是多少呢？这位主力投手的投篮命中率大概是多少呢？
这个故事与小强的故事不同：每场球投球数不同。在一般情况下，观众并不关心一个运动员一场投多少个篮，而只关心投中多少球，得分多少。因此，可以这样计算每场平均进球数：
(8 + 7 + 10 + 5 + 9 + 7) / 5 = 46 / 5 = 9.1
大约每场进球9个。
计算得分就要困难一些了，要用到加权平均，因为要用"权"来区分3分球与2分球。首先把3分球的个数相加：5 +
4 + 5 + 7 + 4 = 25，然后计算每场平均分数：
\[25 × 3 + (46 -- 25) × 2\] / 5 = (25 × 3 + 21 × 2) / 5 = 117 / 5 = 23.4
大约每场得23分，确实是一位优秀的主力投手。
可以看到，这时的平均数已经不是描述统计的平均数了：虽然不能肯定这位运动员每场投进几个球，但可以期望他进球10个左右；虽然不能肯定这位运动员每场得分多少，但可以期望他得20多分。因此，人们通常称这样的平均数为样本均值，用样本均值来估计总体的数学期望。在教学过程中，努力让学生感悟随机性、感悟平均数是一种估计。
对于理解力比较强的学生，还可以让他们知道如何计算投球的命中率：
(8 + 7 + 10 + 5 + 9 + 7) / (18 + 15 + 21 + 17 + 18) = 46 / 89 = 0.52
即分子是所有进球数、分子是所有投球数。这个命中率就是样本频率，是概率的一种估计。
教学设计分析：通过对数据的分析介绍平均数的概念，符合课程标准在"统计与概率"内容中关于建立"数据分析观念"的要求。因为是推断统计意义上的平均数，因此要强调随机性，而强调随机性的例子必须体现独立的、重复发生的事情。在教学设计中，设计投篮的故事就符合这个要求。设计小强投篮和职业篮球队主力投手的投篮，在相似情境中加深问题的难度，有利于学生感悟随机性、感悟平均数的意义、感悟通过平均数计算命中率进而估计概率的过程。这样的教学设计，统计学意义很明晰，能够引发学生思考，引导学生把握其中的数学思想。
[^1]: 大多数教科书已经改过来了，但有些教科书似乎仍然没有理解这个问题的本质，没有理解数位与数是不同的。事实上，这种基于十的数位概念已经渗透到了现实生活中的各种数量单位：元、角、分；米、分米、厘米；等等。
[^2]: 在中国，关于"万"这个数位的记载可以追溯到殷墟甲骨文。
[^3]: 参见《天空中的圆周率》，巴罗著，苗华建译，中国对外翻译出版公司，2000年。
[^4]: 参见"中国古代的命题、定义和推理"，史宁中著，《哲学研究》，2008年3期和4期。
[^5]: 高斯是德国伟大的数学家，近代数学奠基者之一。他的研究几乎遍及当时数学的所有领域，在数论、代数学、非欧几何、[复变函数](http://baike.baidu.com/view/134430.htm)和[微分几何](http://baike.baidu.com/view/17525.htm)等方面都做出了开创性的工作。
[^6]: 《九章算术》是中国最重要的数学著作之一，最晚成书于东汉早期，作者不详。这本书以246个问题为背景，内容涉及方程组、分数四则运算、负数加减运算、面积体积计算等。刘徽、李淳风等人的校注使得这部书得以完整，北宋（1084年）刊刻为教科书，是世界最早的印刷本数学书。刘徽（约225-295），魏晋时代伟大的数学家，山东临淄人。李淳风（602-
670），唐代杰出的天文学家和数学家，陕西岐山人。
[^7]: 参见婆罗摩笈多的著作《婆罗门历算书》，共24章，其中第12章、第18章专门论述数学。
[^8]: 可以把这些核心概念理解为认识一类数学问题的模式，也就是说，可以用这些核心指导对一类数学问题的理解。关于什么是模式可以参见问题2的讨论。
[^9]: 为了表达的更加清晰，这本书中约定，凡是说到加法、减法、乘法、除法，是指具体的计算规则；凡是说到加法运算、减法运算、乘法运算、除法运算，除了计算规则者外，还包括运算法则。
[^10]: 有些教师可能会认为，这种基于直观描述来解释加法的教学还不如直接让学生记住计算的方法，然后通过反复练习让学生熟练掌握计算方法。但是，现代课程改革的理念是以学生的发展为本，因此除了强调基础知识和基本技能之外，还希望学生能够感悟数学的基本思想，逐渐积累数学活动的经验。
[^11]: 在现行教科书、特别是初中教科书中，普遍通过数轴来解释负数或者相反数。比如，可以这样描述相反数：两个数所对应的点在坐标原点0的两边，两个点到0点的距离相等。但一定要注意到，只能用这种方法进行直观描述相反数，而不能用这种方法定义负数或者相反数，因为无法精确地度量距离。事实上，这里所说的"距离"相等或者"绝对值"相等都是"数量"相等的一种描述，参见问题5的讨论。
[^12]: 这是一种从头开始的教学方法，可以让学生逐渐感悟：思考问题需要一个合理的起点。也就是说，让学生感悟：应当从什么地方开始思考问题。必须再次强调的是，思维方法的养成不是教师"教"出来的，而是学生自己"悟"出来的，因此，只有长时间地引发学生思考，才能帮助学生养成良好的思维习惯。
[^13]: 参见Dehaene, S., The organization of brain activations in number
comparison: Event-related potentials and the additive factors
method. Journal of Cognitive Neuroscience, 1996(8),
pp47-68；也参见"估算能力与精算能力：脑与认知科学的研究成果及其对数学教育的启示"，董奇
张红川，《教育研究》2002（5），pp46-51；还可以参见"试论教育的本原"，史宁中，《教育研究》2009（8），pp3-10。
[^14]: 这种用拉丁字母的表示方法是法国哲学家、数学家[笛卡儿](http://baike.baidu.com/view/4285.htm)给出的，参见附录的话题22。
[^15]: 在我国，代数一词始于清代数学家李善兰（1811-1882）与英国人伟烈亚力（Wylie，1815-1887）合作翻译的著作《代数积拾级》，译自英国数学家摩根（De
Morgan，1806-1871）的著作"Elements of
Algebra"，其中代数algebra一词直接源自中世纪拉丁文algebra，而拉丁文又译自阿拉伯文al-jebr、见诸数学家花拉子米（al-Khwarizmi，约783-850）关于代数学的著作，阿拉伯文原意是：破碎部分的重组。参见《牛津英语大辞典》第一卷217页，1933年。
[^16]: 鸡兔同笼问题是《孙子算经》中的第三十一题，原题"今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？"《孙子算经》共三卷，大约成书于四、五世纪，作者不详。其中最著名的是第二十六题，这个问题涉及到余数："今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？答曰：二十三。"这个问题及其解法被世界数学史的著作誉为"中国剩余定理"。
[^17]: 参见问题2中关于模式的定义。一般来说，模式关心的是数学内部，是解决一类数学问题的方法；模型关心的是数学外部，是解决一类现实问题的方法。因此，有许多学者认为"数学是一门关于模式的科学"，参见《振兴美国数学：90年代的计划》，美国国家研究委员会著，世界图书出版公司，1993年。
[^18]: 关于并列的问题要用加法，可以参见问题14的讨论。关于利用加法的模型似乎没有一个明确的称谓，为了与路程模型对应，我们姑且称之为总量模型。
[^19]: 参见《义务教育数学课程标准》第三部分"课程内容"中"第二学段"的有关叙述。
[^20]: 虽然在《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2012-2020）》中提出的教育理念是"育人为本"，但就现代教育的基本趋势看，还是应当更多地尊重学生的主体地位，因此还是"以学生发展为本"的提法更好一些。
[^21]: 正因为如此，教师在引导学生讨论时，应当围绕这个比例给出便于计算的数值。
[^22]: 欧几里得定义角为相交直线的倾斜度，参见附录的话题25。
[^23]: 在许多教科书中，介绍了角的概念以后就转入其他的话题，这是不好的。因为对于数学而言，概念本身的存在性是不重要的，重要的是概念之间的关系和性质。因此，在介绍了角以后，就应当比较角的大小，分析角的性质。
[^24]: 在欧几里得几何中，是通过图形的重合定义图形的全等，详细讨论参见附录话题26的注释。
[^25]: 在一些教科书中，认为旋转的参照物是一个点，旋转就是物体围绕这个点做圆周运动。这个说法是不确切的，因为只有一个点做参照物无法判断物体是否旋转，还必须确立方向。
[^26]: 我们不考虑原地不动的情况。
[^27]: 更确切地说，这样的方法是分层抽样，但我们依然归入随机抽样。
[^28]: 由此可以知道，估计值本身也是随机的。
[^29]: 虽然在这个例子中球的数量是有限的，颜色的比例也是已知的，但从操作过程可以看到，我们可以认为球的数量是无限的，总体的概率也是未知的。
[^30]: 参见《数学史概论》，李文林著，高等教育出版社，2003年。
[^31]: 参见《数：科学的语言》，丹齐克（Dantzing）著，苏仲湘译，上海教育出版社，2001年。
[^32]: 参见《天空中的圆周率》，约翰·巴罗著，苗华建译，中国对外翻译出版公司，2000年。
[^33]: ^4^
参见《奥德修记》又译《奥德赛》，荷马著，杨宪益译，上海译文出版社，1979年。
[^34]: ^4^参见《天空中的圆周率》，巴罗（Barrow）著，苗华建译，中国对外翻译出版公司，2000年。
[^35]: 见中译本《马克思·数学手稿》，北京大学《数学手稿》编译组，人民教育出版社，1975年。
[^36]: 拉普拉斯 (Pierre-Simon
Laplas，1749-1827)，法国著名数学家和天文学家。这段论述参见拉普拉斯的著作《宇宙体系论》中译本，李珩译，上海世纪出版集团，2001年。
[^37]: 吴文俊（1919-），中国数学会名誉理事长，中国科学院院士，第三世界科学院院士。这段论述参见《吴文俊论数学机械化》，山东教育出版社，1995年。
[^38]: 在古汉语中"岁"与"年"的含义不同。岁是指某一气节，比如春分，到第二年这个气节这段时间，因此岁是指阳历的一年；年是正月初一到下一个正月初一这段时间，因此年是指阴历的一年。参见王力主编《古代汉语·第三册》，北京：中华书局，第三版，1999年。
[^39]: 参见《天空中的圆周率》，巴罗（Barrow）著，苗华建译，中国对外翻译出版公司，2000年。
[^40]: 王充（27-约97）是我国东汉时期著名科学家。
[^41]: 梁宗巨等著《世界数学通史》对此有专题讨论，辽宁教育出版社，2004年。
[^42]: 参见R.Englund, Mesopotamiem(OBO 160/1),Universitatsverlag
Freiburg Schwez,1999,pp 118-119。
[^43]: 托勒密（Ptolemy，约公元90-168），古希腊地理学家，天文学家，数学家。托勒密是"地心说"的集大成者，《天文学大成》（13卷）是他的主要著作，还著有《地理学指南》(8卷)和《光学》(5卷)等。
[^44]: 参见王力主编的《古代汉语·第三册》，中华书局，1995年。
[^45]: 参见《陶哲轩实分析》第16页，陶哲轩著，王昆扬译，人民邮电出版社，2008年。
[^46]: 我们已经反复强调，数学所涉及的概念是抽象出来的东西。关于这个问题的详细讨论，可以参见《数学思想概论》的第2辑"图形与图形关系的抽象"的第十讲"数学的抽象"，史宁中著，东北师范大学出版社，2009年。
[^47]: 参见《工具论·后分析篇》，亚里士多德著，余纪元等译，中国人民大学出版社，2003年，p249。
[^48]: 更准确地应当称为《原本》。这本书的中文翻译完成时间于明万历三十六年（1607年），由利马窦（Matteo
Ricci,1552-1610）和徐光启（1562-1633）完成，原书15卷，他们翻译了前6卷。因为主要是平面几何的内容，于是他们定书名为《几何原本》。这个命名也为中国数学增添了一个新的、对后世影响很大的名词：几何。
[^49]: 参见《世界著名科学家传记·数学家Ⅲ》，吴文俊主编，科学出版社，1992年，p228-230。
[^50]: 参见《爱因斯坦文集·第Ⅰ卷》，许良英、范岱年编译，商务印书馆，1976年，p574。
[^51]: 参见《数学思想概论》第3辑"数学中的演绎推理"，史宁中著，东北师范大学出版社，2009年。
[^52]: 参见《什么是数学》，柯朗、罗宾著，左平、张饴慈译，复旦大学出版社，2005年，p225。
[^53]: 参见《希尔伯特：数学世界的亚历山大》，瑞德著，袁向东、李文林译，上海科技出版社，2001年，p90。
[^54]: 参见《数学思想概论》第4辑"数学中的归纳推理"的"绪论"，史宁中著，东北师范大学出版社，2010年。
[^55]: 参见《周髀算经/九章算术》第七十六页，上海：上海古籍出版社，1990年。
[^56]: 事实上，在数学上需要一个约定，如果元素x属于某一个集合，那么x就永远属于这个集合，参见话题16。
[^57]: 陈景润（1933-1996），中国科学院院士，世界著名解析数论学家。
[^58]: 哥德巴赫（Christian
Goldbach，1690-1764），德国数学家，1742年提出著名的哥德巴赫猜想。
[^59]: 近代数学有五个重要猜想：四色猜想、庞加莱猜想、费马大定理、哥德巴赫猜想、黎曼猜想，前三个猜想已经于近些年相继解决，其中四色猜想的证明借助了计算机。对于哥德巴赫猜想，陈景润给出的结果是1加2：偶数
= 素数 +
素数×素数，式中后一项两个素数的乘积所构成的数被称为半素数，在密码学中应用广泛。
[^60]: 参见《西方哲学史》中译本，商务印书馆1963年。罗素（Bertrand
Russell，1872-1970）英国著名哲学家、数学家。
[^61]: 参见"从八卦到六十四卦：试论《周易》的思维逻辑"，史宁中著，《哲学研究》，2011年第8期。
[^62]: 参见《费马大定理》，辛格（Singh）著，薛密译，上海译文出版社，1998年。
[^63]: 相传《管子》的作者是管夷吾。管夷吾（前730-前645）又名敬仲，字仲，安徽颖上人，春秋时期齐国著名政治家，曾任齐国上卿（丞相）。
[^64]: 参见《数学：确定性的丧失》，克莱因（M.
Kline）著，李宏魁译，湖南科学技术出版社，1997年。
[^65]: 每一个命题都能够写成系词结构，即写成"A是B"或者"A不是B"的形式，其中的"是"被称为系词。更详细讨论参见《数学思想概论》的第3辑"数学中的演绎推理"，史宁中著，东北师范大学出版社，2009年。
[^66]: 如果肯定这个命题，那么复数就不是数，因为复数不可以直接比较大小。
[^67]: 如果否定这个命题，那么矩阵的乘法就不是乘法了，因为矩阵的乘法不满足交换律。
[^68]: 参见《数学：确定性的丧失》第184页，M.
克莱因著，李宏魁译，湖南科技出版社，1997年。
[^69]: 参见《数学思想概论》的第3辑"数学中的演绎推理"的第二讲，史宁中著，东北师范大学出版社，2009年。
[^70]: 参见柯匹、科恩主编的《逻辑学导论·11版》，张建军
等译，人民大学出版社，2007年。
[^71]: 参见《马克思恩格斯全集》第二十卷第557页，人民出版社，1971年。
[^72]: 参见《数学思想概论》第5辑"自然界中的数学模型"，史宁中著，东北师范大学出版社，2012年。
[^73]: 现代数学中有些规定似乎违背这个原则，比如：在概率论与数理统计中规定，随机变量以概率的形式取值于某一个集合；在模糊数学中规定，模糊变量以非0-1示性函数的形式取值于某一个集合。但在本质上，这些规定与同一律不悖，因为无论是概率本身还是示性函数本身都必须是确定不变的。
[^74]: 参见《亚里士多德全集·Ⅶ》第91页，苗力田主编，中国人民大学出版社，1997年。
[^75]: 参见《韩非子·难一》。韩非（约前281年-前233年）[战国](http://baike.baidu.com/view/20236.htm)末期韩国人(今河南省[新郑](http://baike.baidu.com/view/18649.htm)），[中国](http://baike.baidu.com/view/61891.htm)古代哲学家和[思想家](http://baike.baidu.com/view/67073.htm)、[法家](http://baike.baidu.com/view/22147.htm)思想集大成者，后世尊称韩非子。
[^76]: 参见《亚里士多德全集·Ⅶ》第196-107页，苗力田主编，中国人民大学出版社，1997年。
[^77]: 参见《数学思想概论》的第2辑"图形与图形关系的抽象"的第7.3节，史宁中著，东北师范大学出版社，2009年。
[^78]: 因为这是解决一类数学问题的方法，因此可以称其为模式，如前面反复谈到的那样。
[^79]: 因为任意一个自然数组、即任何一个自然数的子集都存在最小元素，所以这个"令"是可能的。
[^80]: 关于实数的详细讨论，可以参见《数学思想概论》的第1辑"数量与数量关系的抽象"，史宁中著，东北师范大学出版社，2008年。
[^81]: 虽然规定重量单位只能用"克"或者"千克"，但人们传统习惯还是用"斤"或者"公斤"，就像西方习惯用"磅"。
[^82]: 参见《费马大定理：一个困惑了世间智者358年的迷》，西蒙·辛格著，薛密译，上海译文出版社，2005年。
[^83]: 现传本《周髀算经》大约成书于公元前一世纪的西汉时期，据考证作者是赵君卿。《周髀算经》是我国最古老的天文学著作，记载了当时盛行的盖天说和四分历法。其中谈到计算直角三角形斜边长度的方法：勾股各自乘，并而开方除之，这就是现在人们所说的勾股定理。西方称这个定理为毕达哥拉斯定理。
[^84]: 三国时代的数学家赵爽在解释《周髀算经》时，用图解的方法给出了勾股定理的证明。赵爽生平不详，大约生活在公元3世纪初。
[^85]: 参见《数学思想概论》的第3辑"数学中的演绎推理"的第2讲，史宁中著，东北师范大学出版社，2009年。
[^86]: 参见"亚里士多德全集"第七卷，p185和p246-247，苗力田
译，中国人民大学出版社，1997年；
[^87]: 参见《自然哲学的数学原理》第5页，牛顿著，王克迪译，北京：北京大学出版社，2006年。
[^88]: 这是伽利略最早发现的木星卫星，也是伽利略发现的木星四个卫星中最亮的一颗。
[^89]: 参见《时间之河》第37-38页，伊戈尔·诺维科夫著，吴王杰等译，上海：上海科学技术出版社，2001年。
[^90]: 参见《数学思想概论》的第4辑"数学中的归纳推理"的第1.3节，史宁中著，东北师范大学出版社，2010年。
[^91]: 以太的英文是Ether，来自希腊语，原来的意思为上层的空气，即天上的神呼吸的空气。笛卡尔把这个词引入科学。文艺复兴以后的很长一段时间，人们普遍认为宇宙中到处都存在一种被称之为"以太"的媒介，这是一种不被人感知的物质，而力的传递、甚至光的传播借助的就是以太。
[^92]: 惯性系这个名称来源于牛顿力学三大定律中的第一个定律，即惯性定律：在不受外力的作用下，物体保持静止或者匀速直线运动。据此，人们称具有惯性运动的坐标系为惯性系。
[^93]: 洛伦兹和他的学生塞曼共同获得1902年诺贝尔物理学奖。
[^94]: 参见Abraham Pais, SUBTLE is the LORD: The science and the life of
Albert Einstein, Oxford: Oxford Unibersity Press, 1982, p167。
[^95]: 参见《相对论》第24页，爱因斯坦著，周学政
徐有智编译，北京：北京出版社，2007年。
[^96]: 参见杨振宁的《爱因斯坦对二十一世纪理论物理学的影响》，源于杨振宁2004年3月14日在德国爱因斯坦诞辰125周年纪念会上的讲话稿，原文为英文。
[^97]: 参见《历史》，希罗多德著，王嘉隽译，商务印书馆，1959年。
[^98]: Smith, D. E. History of Mathematics, Ginn and Co., 1923。
[^99]: Heath, T., A History of Greek Mathematics, Oxford Press 1921。
[^100]: 原著全书13卷，前6卷论述平面几何，第7～9卷论述数的理论，第10卷论述无理数，第11～13卷论述立体几何。后希普西克勒斯(Hypsicles，约前175年)补第14卷，又将晚期的一些评注编为15卷，拉丁文本为《欧几里德原本》。
[^101]: 参见H.G.Liddell and R.Scott, A Greek-English Lexicon, Oxford:
The Clarendon Press, 1992。
[^102]: 参见http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Euclid.html。
[^103]: 参见 L.Adcins and R.A.Adcins, Handbook of Life in Ancient
Greece, Facts On File Inc., 2005, p431。
[^104]: 参见《欧几里德·几何原本》，兰纪正、朱恩宽译，陕西科学技术出版社，1990年。
[^105]: 后来人们所说的"三等分角""化圆为方"等问题均与这三个公设有关。
[^106]: 现行教材中 "过已知直线外一点，能且仅能作一条直线与已知直线平行"
这个平行公理是英国地质学家、数学家普莱费尔（John
Playfair，1748-1819）给出的，这个公理后来成为欧几里得几何的核心，而非欧几里得几何（包括罗巴切夫斯基几何和黎曼几何）都修改了这个公理。
[^107]: 高斯就怀疑在大的范围三角形的内角和不是180度，他曾经在三个山头进行过实地测量。
[^108]: 参见中译本《几何基础》，江泽涵、朱鼎勋译，科学出版社，1995年（第二版）。
[^109]: 在欧几里得几何中，表述两个三角形全等的"边角边定理"是被证明的，证明的过程用到了物理属性的描述、即用到了两个三角形重合的概念。为了摆脱物理属性，在第三组公理（合同公理）中希尔伯特把这个定理作为一条公理。《义务教育数学课程标准》采用了希尔伯特的观点，规定这个定理为基本事实。
[^110]: 参见 John von Neumann Collected
Works,Ⅰ,p9，中译文参见《数学史译文集》第123页，刘金顺、何绍庚译，上海：上海科学技术出版社，1981年。
[^111]: 参见中译本《科学与方法》第74页，庞加莱著，李醒民译，北京：商务出版社，2006年。
[^112]: 参见《不列颠百科全书（国际中文版）》第15版第437-438页，2002年。
[^113]: 参见《阿基米德全集》，希思编，朱恩宽
李文铭等译，陕西科学技术出版社，1998年。
[^114]: 参见《统计与真理-怎样运用偶然性》,C.R.劳
著，科学出版社，2001年。
[^115]: Woolf S Statistics and the Modern State, Comparative Study of
Society and History, 588-604，1989。
[^116]: 参见网站http://www.biocrawler.com/encyclopedia/Sir John
Sinclair。
[^117]: 参见道琼斯官方网站www.djindexes.com。
[^118]: Pearson and Lee, On the laws of inheritance in man: Inheritance
of physical characters, Biometrika, 1903.
[^119]: 参见《统计与真理-怎样运用偶然性》,C.R.劳
著，科学出版社，2001年。
[^120]: Encyclopedia Americana, Encyclopedia Americana
Inc.1990，中译见《大美百科全书》，台北：光复书局，1991年。
[^121]: 参见《数学思想概论》的第4辑"数学中的归纳推理"的第5.2节，史宁中著，东北师范大学出版社，2010年。
[^122]: 1812年拉普拉斯的名著《分析概率论》出版，1814年出第二版时，拉普拉斯增加了长达150页的绪论，同年，这个绪论以《概率的哲学导论》为书名单独出版，上面的译文译自英译本
Pierre Simon Marquis de Laplace, A Philosophical essay on
probabilities, New York: John Wiley & Sons, 1902, pp6-7。
[^123]: 杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，生卒年不详，南宋数学家和数学教育家，13世纪中叶活跃在苏杭一带，所著数学书有五种二十一卷。
[^124]: 引自海西教育网 [www.fjedu.net.cn](http://www.fjedu.net.cn)
发布者:[林芳](http://www.fjedu.net.cn/home/space.php?uid=62104)，发布日期:2011-03-29，本文有修改。
[^125]: 虽然"相等"也有"恒等（定义）"的功能，但在小学低年级不易使用这个功能。
[^126]: 即便不写出来，这个正常思维过程也是不可省略的，因此在最初阶段教师要引导学生学会思维。
[^127]: 在小学阶段，让学生对乘法交换律留下深刻影响是有必要的，因为初中讲"有理数的乘法"时要利用这个性质，参见问题11和问题12的论述。