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逻辑推理的思维起点
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这是一个非常难以回答的问题，现代的学者们给出了许许多多的逻辑形式，已经达到了使人无法记忆的程度，更无法判断这些逻辑形式本身的合理性[^70]。因此在这个话题中，我们还是强调形式逻辑中的三个最古老的原则，批判性地把这三个原则作为数学推理的逻辑起点，作为建立数学命题和判断数学命题的逻辑起点。这三个原则就是：同一律，矛盾律和排中律。
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同一律。是指一个事物与自身同一，表示为A =
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A。也就是说，一个事物不能同时存在又不存在；或者说，一个事物不能同时是自身又是别的。显然，同一律要求把这个事物与不是这个事物分辨得非常清楚。但事物总是相对的，事物也总是变化的，这样，就历史发展的长河而言，同一律就显得有些僵化了，正如恩格斯（Friedrich
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Von Engels,1820-1895）在《自然辩证法》中所批评的那样[^71]：
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旧形而上学意义下的同一律是旧世界观的基本原则：a=a。每一个事物和它自身同一。一切都是永久不变的，太阳系、星体、有机体都是如此。这个命题在每一个场合下都被自然科学一点一点驳倒了，但是在理论中它还继续存在着，而旧事物的拥护者仍然用它来抵抗新事物：一个事物不能同时是它又是别的。...
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抽象的同一性，象形而上学的一切范畴一样，对日常应用来说是足够的，在这里所考察的只是很小的范围或很短的时间。
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在上面的述说中，恩格斯强调一切事物、甚至一切规律都不是永恒不变的，要学会辨证地分析问题。恩格斯的说法是有道理的，以几何学为例，最初人们认为欧几里得几何是永恒不变的真理，包括"过直线外一点能作并且只能作一条平行线"这个公理；后来人们发现也可以建立基于公理"有无数条平行线"的几何，这便是罗巴切夫斯基几何；再后来人们发现还可以建立基于公理"没有平行线"的几何，这便是黎曼几何。特别令人们感到惊讶的是，这三种几何都有明确的物理背景[^72]，那么，到底哪个才是真正的公理呢？正因为如此，后来人们意识到所谓的公理仅仅是一种假设而已。
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但是，数学教育、特别是基础教育阶段的数学教育，在本质上还是讨论确定性的东西，因此必须使用同一律。比如，关于数学的研究对象，我们必须限定：一个元素x是确定的，一个集合A也是确定的。如果元素x属于集合A，那么，这个元素就永远属于集合A；反之，这个元素不属于集合A，那么，这个元素就永远不属于集合A。这就是关于数学研究对象的逻辑基础[^73]。关于数学的计算法则、数学的内部规律也是如此，一种数学的概念和公理体系一旦确定了，那么其中所蕴含的法则和规律就必须是一成不变的，否则，数学的研究将无法进行。
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矛盾律。这是逻辑推理的基本原则：一个命题不能同时为真又为假。现有的资料表明，矛盾律最初是亚里士多德提出的，他在《形而上学》中写道[^74]：
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但我们明确主张，事物不可能同时存在又不存在，由此我们证明了它是所有原本中最为确实的。有些人由于学养不足认为需要对此加以证明，但是他们不知道哪些应当证明哪些不应当证明，这正是学养不足的表现。
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这里，亚里士多德所说的"事物"并不是指物本身，更主要的是指一个命题。因此，矛盾律更确切地说法是：正命题与否命题不能同时存在。比如，命题"x是有理数"的否命题是"x是无理数"，那么，x就不可能即是有理数又是无理数；同样，一个图形不可能又是三角形又是四边形，因为四边形不是三角形，因此属于"是三角形"的否命题。这样，亚里士多德不仅强调推理形式必须有明确的出发点，并且强调推理逻辑也必须有明确的出发点。人们接受了亚里士多德的建议，把矛盾律作为不证自明的逻辑推理基础。
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众所周之，中文的"矛盾"一词出于中国春秋战国时代的一个寓言[^75]。矛盾律与人们在日常生活中的思维原则是一致的，就像寓言中所述说的那样，当听众中有人提出"矛盾"之后，使得那个既卖矛又卖盾的人无法回答、十分尴尬。由此可见，矛盾律这个思维原则是可以让所有人接受的。
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事实上，数学证明相当广泛地使用了矛盾律，特别是在反证法中就要使用矛盾律。比如，在话题14中证明√2是无理数时，就用到了：
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b不可能又是奇数又是偶数
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这样的判断，而这样判断的逻辑基础就是矛盾律。矛盾律这个原则对于数学推理至关重要，没有这个原则数学将几乎寸步难行。
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排中律。排中律也是针对推理的基本原则：一个命题不是真的就是假的。可以看到，这个原则对命题本身的要求是非常严格的。在日常生活中，排中律不一定是合适的，特别是中国的传统文化，很难接受"非此即彼"的思维模式。事实上，在日常生活中，不能肯定一件事情的时候并不意味着就要否定这件事情，比如，排中律就不适用于下面两个命题：
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这个菜做的很辣。
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完成这样的事情是很花费时间的。
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这是因为：一个菜可能在"辣"与"不辣"之间；一个工作可能在"费时"与"不费时"之间。虽然排中律也是亚里士多德在《形而上学》中提出的，但他提出的时候就犹豫不决[^76]：
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在对立的陈述之间不允许有任何的居间者，对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面。......
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如果不是为理论而理论的话，在所有对立物之间，应当存在居间者，故一个人可能既以其为真又以其为不真。在存在与不存在之外它也将存在，因此，在生成和消灭之外有另外某种变化。
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由此可见，排中律的要求过于苛刻，在日常生活中严格地使用排中律是不合适的。但是，正如亚里士多德所说的那样，为了理论而理论研究，我们不能不使用排中律。比如，为了数学证明的严谨性，必须使用排中律，我们来说明这个问题。
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可以用符号来描述排中律：令P表示一个数学命题，用P^c^
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表示这个命题的反命题，那么P与P^c^ 必有一个成立，即P + P^c^ =
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1。在前几个话题中，我们曾几次使用反证法来证明问题，而反证法所依赖的基本原理就是排中律。回顾话题12和话题14中反证法的论理过程：
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希望证明命题P成立。
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假定反命题P^c^成立，如果在这个假设下推导出的结论与某些事实矛盾，即反命题P^c^不成立。
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所以，断言命题P成立。
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比如：话题12中希望证明的命题是"不存在最大素数"，假设的反命题是"存在最大素数"；话题14中希望证明的命题是"√2不是有理数"，假设的反命题是"√2是有理数"。因此，整个反证法的逻辑基础就是排中律，也就是说，没有排中律就没有反证法。可以想象，如果在数学证明中不允许使用反证法，其结果将是灾难性的。
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通过上面的论述可以看到，在数学证明的过程中，同一律、矛盾律和排中律都是非常重要的思维原则，或者说，都是非常重要的思维基础。但也应当注意到：在任何情况下都可以是理直气壮地使用矛盾律；在使用同一律的时候，应当注意到条件是否发生了变化；在使用排中律的时候，必须对数学命题本身进行严格审核，否则会出现不可判定的命题[^77]。
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