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负数的意义
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在具体讨论负数之前，我们先来分析一个问题，这个问题是在培训的过程中小学一线的数学教师提出来的。说是在对小学数学教师的测试中，有时会有这样的问题：最小的一数位是几？据提问题的小学数学教师说，出题者希望的正确答案是0而不是1，这大概是为了说明自然数的起始是0而不是1。无论如何，这样的问题是不全面的、因而是不确切的，因为在不同的数集回答，问题的答案是不一样的：
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在正整数集合中，最小的一位数是1；
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在自然数集合中，最小的一位数是0；
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在整数集合中，最小的一位数是 -9。
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由此可以看到，在提出或者回答类似问题时，首先应当清楚是在哪个集合讨论问题，这个集合决定了讨论问题的范围。在这个问题中，集合是论证问题的出发点，正如话题8中所讨论的那样，出发点是论证的基础。关于集合的进一步讨论，可以参见下一个话题。
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此外，对于这样的问题，还应当加强对负数符号的理解、进而加强对负数的理解。如果利用对应的方法认识负数（参见问题5），-9应当是一个符号而不是由两个符号组成的，-9表示的是与自然数9量相同、意义相反的数。
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现在，让我们回顾古代中国是如何提出负数的，从而加强对负数意义的理解。如问题5所说，负数及其加减运算最初出现在《九章算术》这本书的《方程》篇中，我想，其中的第八题就能够很好地说明古代先哲为什么要引进负数。第八题是这样表示的[^55]：
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今有卖牛二、羊五，以买十三豕，有余钱一千。卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足。卖羊六、豕八，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？
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答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。
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术曰：如方程。置牛二、羊五正，豕一十三负，余钱数正；次置牛三正，羊九负，豕三正；次置牛五负，羊六正，豕八正，不足钱负。以正负术入之。
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上面所得"术曰"是讨论解题的方法。要列方程，并且"置"、"次置"、"次置"表示这是一个三元一次方程组；其中特别提示说：如果"卖"所得的钱是"正"的话，那么"买"所付的钱为"负"，如果"余钱"为正的话，那么"不足钱"为"负"；最后，用正负数的加减法运算求得方程组的解。
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下面，我们用现代符号来表述"术曰"中所说的三元一次方程组。分别用x、y、z表示牛价、羊价和豕（猪）价的话，那么，"术曰"中所说的三元一次方程组为：
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2x + 5y + (-13z) = 1000
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3x + (-9y) + 3z = 0
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(-5x) + 6y + 8z = -600
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把"答曰"所示：x = 1200，y = 500，z =
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300代入上面的方程，方程成立，即"答曰"所示的数是方程的解。
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由此可见，至少在汉朝，古代中国的先民就已经在日常生活和生产实践中广泛地使用负数了，特别难能可贵的是，他们能够非常清晰地理解负数的意义。
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