dsProject/dsRag/Txt/MATH_1_119.txt

加法运算和减法运算性质的证明
虽然话题8中的五个公理超出了数学的范畴，但也可以理解这五个公理就是针对数学述说的。如果把公理中的"等于"扩充到"大于等于"，并且用数学的语言"等式"和"不等式"表示，就可以把其中的前三个公理合并写成下面两个数学命题：
命题1. 等式（不等式）关系具有传递性。
命题2. 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。
可以看到，上面这两个命题对于数学是最为基本的、是非常重要的。虽然让小学生完全理解这两个命题是困难的，但教师在教学活动中应当很好把握这两个基本命题，让小学生通过具体的实例感悟这些命题的内涵，而不是单纯地记忆命题的语言表述。事实上，从这两个命题出发，可以论证小学数学中许多常识性的、概念性的东西。
加上一个正数比原来的数大。如果用数学符号表示，那么，这个命题是说：对于任意的数a和正数b，必然有a +
b ＞ a。这个命题的证明过程如下：因为b为正数，因此b ＞
0；在这个不等式两边分别加上一个数a，根据上述命题2可以得到
a + b ＞ a，
因此结论成立。利用类似的方法可以证明与这个结果对称命题：加上一个负数比原来的数小。下面我们来证明两个稍微复杂一些的问题，证明方法是相似的。
减去一个正数等于加上这个正数的相反数。如果这个命题成立，因为正数的相反数是一个负数，因此通过上面的结论知道：减去一个正数比原来的数小。
现在证明这个命题。用数学符号表示这个命题：a - b = a + (-b)，其中b ＞
0。回忆问题10关于"减法是加法逆运算"的定义：
a - b = x ←→ a = b + x。
根据命题2，在上面右边等式的两边分别加上（-b）等式不变：a + (-b) = b +
(-b) + x。根据相反数的定义可以得到：a + (-b) =
x。于是，根据命题1和上面左边等式知道命题成立。
减去一个负数等于加上这个负数的相反数。如果这个命题成立，因为负数的相反数是一个正数，因此通过这个命题知道：减去一个负数等于加上一个正数。这样，利用已经证明了的结论可以知道：减去一个负数比原来的数大。
现在证明这个命题。用数学符号来表示这个命题：a - (-b) = a + b。首先令x =
a + b。在这个等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2可以得到
x + (-b) = a + b + (-b)
= a。
然后，在上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2知道等式不变，即可以得到：
x + (-b) -- (-b) = a -- (-b)。
因为同样的数相减为0，因此上式意味着：x = a -- (-b)。又因为假设x = a +
b，所以根据命题1有：a - (-b) = a + b，这就证明了命题。
上面加重的命题都是加减法运算中最重要的概念，记住这些命题对于学生掌握计算方法、特别是判断运算结果是非常有用的，因此，在教学过程中应当让学生知道这些命题。再一次强调的是，虽然让学生完全理解这些命题的证明过程是困难的，但在教学过程中，还是应当通过一些实际的例子、或者具体的例子让学生感悟其中的道理，而不是让学生单纯的背诵记忆。特别是，如果能够设计出好的教学方案，一定能够成为"帮助学生积累数学思维经验"的有效载体。