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公理体系的必要性与数学证明的形式
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我们在话题6中介绍了算术公理体系，在话题7中用算术公理体系论证了加法运算的合理性。在这个话题，我们将讨论建立公理体系的必要性，进而讨论基于公理体系的数学证明的形式到底是什么。显然，一名数学教师、包括中小学的数学教师，应当从结构上了解现代数学论理的形式，这样就可能从形式上对数学有一个整体的把握，因此，这个话题所要讨论的内容对数学教师提高专业化水平是非常必要的。关于数学证明的逻辑过程，可以参见话题15。
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数学中使用的证明方法通常被称为演绎方法，这是一种形式逻辑的论证方法。这种论证的方法起源于古希腊，集大成者是古希腊哲学家亚里士多德（Aristotle，前384-前322），而在数学上成功地实现了这种论证方法的是古希腊数学家欧几里得（Enclid，约前325-前265）。
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除了必须清晰数学中所使用的概念之外[^46]，亚里士多德认为，要把问题论证清楚必须把握两个要点：一个要点是论证前提，一个要点是论证形式。
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毋庸置疑，要进行所谓的论证（或者说要进行数学证明），就必须清楚论证的前提是什么。亚里士多德认为论证前提应当是一些公认的基本事实，特别强调：论证前提本身的正确与否是不需要证明的，或者说，论证前提本身的合理性应当是不证自明的、甚至是不可证明的。关于这一点，亚里士多德在《工具论·后分析篇》是这样述说的[^47]：
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我们认为，并不是所有知识都是可以证明的。直接前提的知识就不是通过证明获得的，这很显然并且是必然的。因为如果必须知道证明由已出发的在先的前提，如果直接前提是系列后退的终点，那么直接前提必然是不可证明的。以上就是我们对这个问题的看法。我们不仅主张知识是可能的，而且认为还存在着一种知识的本原，我们借助它去认识终极真理。
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进一步，亚里士多德又把不需要证明的直接前提分为两类：一类是获得任何知识的都必须把握的前提，称之为公理；一类是获得某些专门领域的知识必须把握的前提，称之为公设。可以看到，亚里士多德的建议是非常重要的，否则我们论证问题将没有一个合理的出发点，而没有合理出发点的论证是没有根基的。也正因为如此，我们在前面的30个问题中反复强调，要在数学教学的过程中引导学生学会从头思考问题，要知道自己思考问题的开始是什么。可以知道，这样强调地目的就是让小学生从小养成良好的思维习惯，一个人的思维习惯是从小养成的。
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在很长一段时间，人们普遍认同亚里士多德的说法，即认为公理应当是那些近乎真理的东西，后来人们逐渐意识到把握真理实在是一件非常困难的事情，因为人们逐渐认识到，对于自然科学而言，绝对的真理是不存在的，所有的结论都依附于一些使得这些结论成立的条件。于是现代数学、包括现代自然科学，一并认为公理和公设是一种假设，参见话题16的讨论。
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欧几里得成功地实现了亚里士多德所提倡的"论证问题需要直接前提"的方法，这表现在欧几里得《几何原本》这部书中[^48]。为了更好地归纳古希腊学者关于几何学方面的研究成果，在这部书中，欧几里得给出论证问题的直接前提：五个公理和五个公设。欧几里得把下面五个命题称为公理：
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1\. 等于同量的量彼此相等。
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2\. 等量加等量，其和相等。
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3\. 等量减等量，其差相等。
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4\. 彼此能重合的物体是全等的。
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5\. 整体大于部分。
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可以看到，这五个命题所涉及的问题是超出数学的，符合人们生活的经验和思维的常理，因此完全符合亚里士多德对公理所提出的要求。特别是这五个公理的表述简洁高雅，不仅体现了数学的严谨性，也充分体现了数学的美。
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欧几里得《原本》奠定了几何学公理体系的基本结构，影响是深远的。这是人类建立的第一个能够被称之为科学的学科体系，给数学的发展、甚至给物理学等自然科学的发展作出了楷模。许多数学家、科学家都是在学习了《原本》之后才开始了他们的研究生涯，据说牛顿最初对数学并没有兴趣，是他读了《原本》之后才热衷于数学，开始了他天才的思考[^49]。爱因斯坦更是给出了高度的评价[^50]：
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西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出因果关系（在文艺复兴时期）。
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后来，德国数学家希尔伯特（David
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Hilbert，1862-1943）又给出了现代数学的几何公理体系。在19世纪前期和20世纪初期，人们建立了一系列的公理体系，比如，皮亚诺算术公理体系，德国数学家策梅罗（Ernst
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Zermelo,1871-1953）于1908年给出集合论公理体系[^51]，等等。这些公理体系已经成为现代数学的基础。关于什么是公理体系，德裔美国数学家柯朗（Richa
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Courant,1888-1972）有一段清晰的论述，他在著作《什么是数学》中谈到[^52]：
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用通常的话来说，公理体系的观点可以描述如下：在一个演绎系统中，证明一个定理就是表明这个定理是某些先前业已证明过的命题的必然逻辑结果；而这些命题的证明又要利用另一些已证明的命题，这样一直逆推上去，所以数学证明的过程是一个无限逆推的不能完成的任务，除非允许在某一点停下来。因此，必须有一些称为公设或公理的命题，把它们当作真的事实接受下来，而无须加以证明。从它们出发，我们可以设法用纯粹的逻辑论证，推导出所有其他定理。如果一个科学领域中的事实能被纳入这样一个逻辑次序，使得所有的事实都能够从一些选择好的命题出发来证明，则称这个领域已被表示为公理体系。
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借助公理化体系，人们就逐渐构建了现代数学的基本特征：研究对象是基于定义（符号）的，论证逻辑是基于公理（假设）的。可以看到，虽然公理化体系是从现实中抽象出来的，但其表述形式则完全脱离了现实背景。正如希尔伯特解释的那样[^53]：
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欧几里德关于点、线、面的定义在数学上并不重要，它们之所以成为讨论的中心，仅仅是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论是称它们为点、线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒杯，最终推理得到的结论都是一样的。
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公理化体系对现代数学是必要的，因为凡是具体的东西都必然会出现反例（参见话题26），因此一个科学严谨的数学必须实现高度抽象，而研究对象的符号化、以及论证逻辑的公理化就是实现这种高度抽象的有效手段，这种高度的抽象也深刻地影响了现代数学的教学活动。但我们也应当看到，在义务教育阶段、特别是在小学教育阶段，传授这种抽象的东西是不应该的、也是不可能的。因此，我们在前面的30个问题中反复强调，在教学过程中要重视问题的背景，强调在讲解数、负数、点、线、面、角等基本概念时要重视与现实世界的对应，强调在讲解四则运算法则、在讲解先乘除后加减等运算规则、在介绍各种数学模型的时候也要重视与现实世界的对应。
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除了上面谈到的两个基本特征之外，现代数学还有一个显著特征，那就是论证方法是基于形式的。论证方法的形式化也就是上面所说的、亚里士多德所提倡的第二个要点。这个要点突出体现在亚里士多德所提倡的"三段论"之中，关于这个问题的详细讨论参见后面的话题15。
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这样，论证前提和论证形式就构成了演绎推理的要义，也构成了数学证明的要义。虽然就发现知识而言，演绎推理的作用是微乎其微的[^54]，但这样的论证形式对于验证命题，对于理清知识体系，甚至对于理清研究思路都是极为重要的。无论如何，古希腊哲学家超乎寻常的直觉和逻辑，为人类思维方法的确立、以及思维能力的提高奠定了坚实的基础。
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在下一个话题中，我们将再一次尝试用公理体系证明加法运算和减法运算的性质，教学一线的教师可以在这些证明中体会数学论理的思维过程，可以加深对数学概念本身的理解。
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