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数量多少的比较
大多数古代文明都是借助对应关系来记载数量的多少。比如，《周易·系辞传》中记载："上古结绳而治，后世圣人易之以书契"，就是说上古的人们在绳子上系结来纪录发生过的事件。直到上个世纪初，在满族的风俗中，对于特殊事件的纪录仍然保持这种结绳记事的习惯。
英语单词中"计算"一词为calculate。这个词的词干来源于拉丁语calculus，这是一个阳性名词，原意是"小石头"，这就意味着，古代欧洲人是利用石头来表示数量的多少。大约在公元前9世纪至公元前8世纪成书的、古希腊著名的荷马史诗中，就是这样记数的[^33]：
当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕裴摩斯并离开克罗普斯国以后，那个不幸的盲老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子；晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全都返回了。
故事中讲述的方法，就是把羊的个数与石子个数相对应。这是因为独眼巨人关心的只是母羊是否全都返回山洞，而不是关心一共有多少只母羊。
在《天空中的圆周率》这本书中还记载这样一件事情[^34]，1929年，考古学家在公元前15世纪的努孜城废墟（现在伊朗境内）发现了一个很小的圆形土质容器，外侧的楔形文字记载：
与绵羊和山羊有关的物体
4只小公羊
21只生过小羊的母羊 6只生过小羊的母山羊
6只小母羊 1只公山羊
8只成年公羊 2只小羊
这些数字加起来是48。当人们打开这个容器后发现，里面正好有48个泥球。
通过上面的几个例子可以知道，人类在远古时代就知道借助集合与集合之间元素的对应关系可以分辨多少：如果两个集合的元素能够一一对应，那么这两个集合的元素一样多；如果一个集合有剩余，那么这个集合元素的个数就多于另一个集合元素的个数；反之，就少于另一个集合元素的个数。正是利用这样的对应关系，古代的人们就抽象出了数，并且用符号来表达数。这也是我们为什么在问题2中强调要用对应的方法来认识自然数，在问题9中强调要用对应的方法来解释自然数的加法的理由。因此，在小学阶段、特别是低年段的数学教学中，应当重视数与数量的对应关系，应当重视数的大小与数量的多少的对应关系，并且应当创造出各种生动的案例让学生感悟这样的关系。
在现代数学中，凡是涉及到集合的问题，都可以看到这种对应关系的应用。比如高中数学，关于函数的定义就利用了这样的对应关系。再比如大学数学，关于集合大小的比较也利用了这样的对应关系，只不过是把这样的一一对应的思想推广到无穷的情况，使得这样的对应方法可以应用于无穷集合元素个数的比较，并据此确立了比较无穷集合大小的准则。