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如何理解点、线、面、体、角?
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如上问题20中所说的那样,小学数学教学中涉及到的点、线、面、体、角都是平直的,是基于欧几里得几何的。这些概念是所有受教育者最早接触到的几何概念,这些概念的特点是:看的见、说不清。事实上,越是基本的概念就越难说清楚,这是因为在描述的过程中无法借用其他的概念,而小学数学中所涉及到的概念基本如此,这就给小学数学教学带来了难度。
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在日常生活中,人们看到的物体都是立体的,因此,所谓的点、线、面、体、角都是人们抽象出来的概念。这种抽象不仅舍去了物体的颜色、构成材料等物体的本质要素,还忽略了所占空间:点不分大小、线不分宽窄、面不分薄厚。因此,这些抽象了的概念本身是不存在的,或者说,这些抽象了的概念只是一种理念上的存在,具体的讨论参见附录中的话题24。
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因为这些概念源于立体图形,因此小学数学"图形与几何"内容的教学应当首先认识立体图形。为了把握立体图形的特征,可以引导学生对立体图形进行分类,在分类的过程中发现共性和差异。在熟悉了各种立体图形的基础上,在一些特殊的立体图形(比如长方体)中抽象出点、线、面的概念,就像图1那样,关于这方面的讨论可以参见《义务教育数学课程标准》的例58。
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在教学过程中应当注意的是,这些概念涉及的线都是直的,涉及的面都是平的,这是欧几里得几何最显著的特征。为了使这部分的教学更加生动,可以把理解几何概念与计数有机地结合起来,如《义务教育数学课程标准》的例46所表述的那样。
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图1 点、线、面的抽象
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在小学阶段数学教学中,关于点、线、面这些数学概念只能给出描述性定义。比如,关于线段的概念,只能先画出一条线段,然后定义说:称这样的图形为线段。在所有描述性定义的教学中,阐述图形的性质是格外重要的,比如进一步述说:线段有两个端点。这样,线段的一边无限延长则称为射线,射线有一个端点;线段的两边无限延长则称为直线,直线没有端点。显然,这里所说的线段是直线段,在教学过程中不能过分强调"直",但又应当让学生感悟"直",因为通过这样的感悟可以得到直线段的一个根本性质:两点间的所有连线中直线段最短,这就为未来学习"距离"构建了直观。
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角是很难描述、也是很难理解的概念。在现行小学和初中的数学教材中,都是用"具有公共端点的两条射线组成的图形"来定义角,这样的定义是非常模糊的[^22]:角是组成图形哪里?是指射线之的面积吗?此外,这样的定义要求角的边的长度是无限的,与现实世界不符,用这样的定义很难解释现实生活中所遇到的角,比如三角形中的角。因此,这样的定义不仅令人费解,并且不可能揭示角的本质。
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图2 如何描述角、如何比较角的大小
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在义务教育阶段、特别是小学教育阶段,关于角还是应当给出描述性定义。比如,可以利用图2中的
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(a) 给出角的描述性定义:
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称上面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成,这两条线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边,角的大小与边长无关。
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在上面的描述性定义中,"角的大小与边长无关"这句话是本质的,因为这句话既包括了射线的情况,又利于对角的理解。在这句话的基础上,为了更好地理解角,教师可以引导学生进一步思考这样的问题[^23]:如果角的大小与边长无关,那么角的大小是由什么决定的呢?或者提出更加具体的问题:应当如何比较角的大小呢?
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显然,可以用图2的 (b)
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来解释如何比较角的大小:因为∠2包含∠1,因此可以说∠2大于∠1。在比较大小的过程中,可以让学生加深理解描述性定义所说的"角由两条线段所夹的部分组成"这句话的涵义。因为图2
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(c) 的解释与图2 (b) 的解释是一致的,因此可以用图2的 (c)
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来进一步定义角的大小:是由这个角所对应的单位圆的弦长决定的,或者说,是由这个角所对应的单位圆的弧长决定的。其中之所以用"单位圆"是为了统一度量标准,有利于统一比较角的大小;而所谓单位圆半径的大小是人为确定的。由此可以看到,角的大小与两点间的直线距离有关,这样,问题又回归到了欧几里得几何的本质,而三角形的内角和180度也与此有关。
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